Материал: Sb95841

Требуется определить линейное перемещение uzC сечения x = 0.3 м и угол поворота uzD D сечения x = 0.4 м.

Решение:

1.Проведем оси координат. Начало координат выберем в крайнем левом сечении, направим ось x вдоль оси стержня, ось z – вниз, а ось y – перпендикулярно плоскости чертежа так, чтобы система координатных осей стала правой.

2.Обозначим на схеме (рис. 1.4) реакции опор A, H, B.

3.Определим неизвестные внешние силы (реакции опор) из уравнений статического равновесия стержня:

Pix 0 H 0;

i

i

4. Запишем выражения для определения прогиба и угла поворота произвольного сечения x стержня на четвертом участке:

6

5. Определим перемещения uzC и D . Воспользуемся формулами (1.2) и (1.3). Окончательно получим:

1.2. Энергетические методы определения перемещения

1.2.1. Работа силы. Понятие об обобщенной силе и обобщенном перемещении

Работа А постоянной по значению силы Р, совершаемая ею на упругом перемещении δ точки ее приложения, равна скалярному произведению векторов силы Р и перемещения δ:

А (P, δ).

Если сила Р изменяется вместе с δ и между ними существует определенная зависимость P(t) f δ(t) , то работа, совершаемая этой силой, может

быть найдена следующим образом. Рассматриваем два близких момента времени. В первом из них имеем P(t) и δ(t) , а во втором – P(t) dP(t) и δ(t) dδ(t) . Работа, совершаемая силой за отрезок времени между этими моментами, равна

dA P(t)dδ(t).

Работа, совершаемая силой dP(t) на перемещении dδ(t) , является величиной второго порядка малости, и ею можно пренебречь. Отсюда

Если зависимость между силой и перемещением линейная, т. е. P(t)αδ(t) , и, в частности, в конце роста силы P αδ , то работа А представляется в виде

7

Введем понятие обобщенной силы и обобщенного перемещения. Любая система уравновешенных сил есть обобщенная сила. Перемещение в направлении обобщенной силы есть обобщенное перемещение.

1.2.2. Потенциальная энергия твердого тела

Потенциальная энергия деформации, если не учитывать потери, равна работе силы на перемещение. В твердом деформированном теле в окрестности точки, где известны составляющие напряжений, выделим бесконечно малый элемент в виде куба с ребрами dx, dy, dz.

На рис. 1.5, а показаны нормальные составляющие напряжений, на рис. 1.5, б – касательные составляющие напряжений, действующие на выделенный элемент.

y

yxy

а

Рис. 4.4 Рис. 1.5

В соответствии с принципом (независимость действия сил) работа (потенциальная энергия деформации) сил, действующих на грани dy dz выделенного элемента, равна:

12 ζx dy dz dx 12 ηxy dy dz a,

где ζx dy dz – сила, действующая на грани dy dz выделяемого элемента в направлении оси координат x; dx – удлинение элемента в направлении оси координат x (перемещение); ηxy dy dz – сила, действующая по касательной к грани dy dz выделенного элемента; a – сдвиг грани (перемещение).

8

потенциальная энергия деформации от сил, действующих на грани dy dz выделенного элемента, может быть записана как

12 ζx dx dy dz εx 12 ηxy dx dy dz γxy.

Аналогично потенциальная энергия деформации запишется от сил, действующих на гранях dx dz и dx dy выделенного элемента:

12 ζ y dx dy dz ε y 12 η yz dx dy dz γ yz ,

12 ζz dx dy dz εz 12 ηzx dx dy dz γzx.

Потенциальная энергия деформации единицы выделенного объема равна

U0 12 ζxεx ζ yε y ζzεz ηxyγxy η yzγ yz ηzxγzx .

В полученное уравнение потенциальной энергии деформации вместо линейных и угловых деформаций подставим их выражения из закона Гука. В результате получим:

1.2.3. Потенциальная энергия стержня при различных видах деформации

На рис. 1.6, а показан стержень, испытывающий деформацию растяже- ния-сжатия. На рис. 1.6, б распределение составляющих напряжений ζx по сечению стержня. Выделим в стержне

элемент длиной dx.

9

Потенциальная энергия деформации элементарного объема стержня длиной dx

N 2dx Uax(N ) 2EF .

Потенциальная энергия деформации всего стержня длиною l

l N 2dx U N 0 2EF .

На рис. 1.7, а изображен стержень, испытывающий деформацию кручения; на рис. 1.7, б показано распределение действующих напряжений по сечению.

При деформации кручения полное касательное напряжение составляет

Потенциальная энергия деформации единицы объема, выделенного элемента стержня длиной dx ,

M 2 2 U0 M x x2 ρ .

2GJρ

Касательные напряжения, возникающие при кручении, изменяются по сечению стержня (рис. 1.7, б). Поэтому для расчета потенциальной энергии элементарного объема выделенного элемента необходимо в сечении выделить элементарную площадку dF и проинтегрировать полученное выражение потенциальной энергии по площади сечения F :

где интеграл вида ρ2dF есть полярный момент инерции сечения Jρ . Окон-

F

чательно имеем:

10