Документ: Sb96063, страницы 11-15 | База учебных материалов

Материал: Sb96063

Смотрите также:

Для дробно-рациональных функций с действительными коэффициентами существует четыре вида простейших дробей, знаменатели которых есть натуральные степени всевозможных неприводимых делителей знаменателя исходной дробно-рациональной функции.

A

, A, a

R.

x a

A

, A, a R.

(x a)

Ax B

A, B, a,b, c R, b2 4ac 0.

ax2 bx c

Ax B

,

A, B, a,b, c R, b2

4ac

0.

(ax2 bx c)

При интегрировании дробно-рациональных функций необходимо придерживаться следующего алгоритма:

1. Если степень числителя больше или равна степени знаменателя (аналог неправильной дроби), то выделить ее целую часть.

Для выделения целой части можно пользоваться различными приемами. Наиболее надежный – разделить числитель на знаменатель «уголком». В результате деления получится многочлен, являющийся целой частью дробно-ра- циональной функции. Для оставшегося выражения степень числителя будет меньше степени знаменателя (аналог правильной дроби).

Пример 11. Выделить целую часть функции x3 2x 1 . x 2 1

Окончательно:	x3	2x 1	x	2x 1		.
		x2 1		x2	1

2. У полученной дробно-рациональной функции знаменатель нужно разложить в произведение степеней неприводимых многочленов. Методов разложения существует достаточно много. Наиболее распространенные: нахождение (в том числе и подбором) корней многочлена, метод группировки и использование формул сокращенного умножения.

11

3. Разложить дробно-рациональную функцию в сумму простейших дробей и проинтегрировать каждое из слагаемых. Методы разложения представлены в [1]. Разберем метод интегрирования каждой из простейших дробей для функций с действительными коэффициентами.

A

d (x a)

dx A

Aln

x a

c.

x a

(x a) 1

A

d (x a)

dx A

A

c.

(x a)

1

Заметим, что в обоих случаях использовалось «подведение под знак дифференциала».

коэффициенты k и p подбираются таким образом, чтобы преобразованный числитель был равен исходному. Следующим шагом интеграл разбивается на

два интеграла 2ax b k p dx

2ax b k

dx

p

dx .

2

ax

2

bx c

ax

2

bx c

ax

bx

c

Первый интеграл вычисляется «подведением под знак дифференциала»:

2ax b k

dx k

2ax b

dx

k

d ax2 bx c

k ln

ax

2

bx c

c1.

2

ax

bx c

ax

bx c

ax

bx c

Во втором интеграле

выделяем в

знаменателе полный квадрат:

p

dx p

dx

, где коэффициенты t и h подбираются таким

2

ax

bx c

a x t

h

образом, чтобы преобразованный знаменатель был равен исходному. Далее в зависимости от знака перед h интеграл заменой переменных сводится или к 8- му или к 13-му табличным интегралам.

Ax B

Процесс взятия интеграла (ax2 bx c) dx отличается от предыду-

щего только тем, что после разделения на две части ко второму интегралу надо применить рекуррентную формулу:

	dx	I n , In	x	1	2n 3	In 1.
(x 2	a 2 )n		2a2 (n 1)(x2 a2 )n 1	a2	2n 2

Таким образом, зная, как берутся интегралы от всех простейших дробей, можно найти интеграл от любой дробно-рациональной функции.

12

1.2.5. Метод Остроградского

Работа с рекуррентными формулами вычислительно сложна. В качестве альтернативы рассмотрим метод Остроградского, позволяющий проинтегрировать произвольную дробно-рациональную функцию.

Рассмотрим f (x)dx , где	f (x)	Pn (x)	, где	Pn (x) и Qm (x) – много-
		Qm (x)

члены степеней n и m соответственно.

Пункты 1 и 2 приведенного выше алгоритма – выделение целой части, если подынтегральная дробь неправильная (т. е. n m ), и разложение знаменателя на множители – остаются без изменений. Соответственно, теперь будет рассматриваться ситуация, когда подынтегральная функция – правильная дробно-рациональная функция (т. е. n m ).

Разложение знаменателя на множители: Q

(x)

p s1

... p

k

sk qt1 ... qtr ,

m

1

r

где p a x b , q

j

x2

j

x

j

,

2 4

j

0 ,

s

,t

j

N , 1 i k,

i

j

i

1 j r. Если ввести дополнительное обозначение:

M p1 ... pk q1 ... qr ,

S ps1 1

... psk 1 qt1 1

... qtr

1. Тогда Q

M N , причем многочлен M

1

k

1

r

m

имеет степень v k 2r , а многочлен N имеет степень w m v .

Метод

Остроградского при

предположении

n < m

утверждает,

что

Pn (x)

dx

Pn (x)

dx

Dv 1(x)

dx

Gm v 1(x)

,

где Dv 1(x),Gm v 1(x) –

Q (x)

M N

M

N

m

многочлены с неопределенными коэффициентами степеней v 1 и m v 1 соответственно.

Обратите внимание! В правой части знаменатель выражения под интегралом при разложении на простейшие даст только простейшие дроби типов, интегрирование которых не требует применения рекуррентной формулы.

Остается найти коэффициенты многочленов Dv 1(x) и Gm v 1(x) . Для этого продифференцируем полученное равенство и получим:

P (x)

D

(x)

G

D

(x)

G

(x)N

(x)

(x) N G

n

v 1

m v 1

v 1

m v 1

.

Qm (x)

M

N

M

N 2

Затем нужно привести обе части равенства к общему знаменателю и перейти к равенству числителей. После этого остается раскрыть скобки, привести подобные слагаемые, и, опираясь на равенство многочленов, найти неопределенные коэффициенты.

13

x2 2x 6

Пример 12. Вычислить (x 1)(x 2)(x 4) dx .

Подынтегральная функция – правильная дробь, значит, выделять целую часть не нужно и первый шаг алгоритма пропускаем. Знаменатель дан в виде произведения неприводимых множителей, значит, и второй шаг пропускаем тоже. Следующим шагом необходимо разложить подынтегральную дробь на простейшие. Используем для разложения метод неопределенных коэффици-

ентов:

x2

2x 6

A

B

C

.

(x 1)(x 2)(x 4) x

1

x

2 x

4

Приводим дроби в правой части к общему знаменателю, записываем ра-

венство для числителей и, сравнивая значения, найдем коэффициенты:

x2 2x 6

A(x 2)(x 4) B(x 1)(x 4) C(x 1)(x 2)

;

(x 1)(x

2)(x 4)

(x 1)(x 2)(x

4)

x2 2x 6 A(x 2)(x 4) B(x 1)(x 4) C(x 1)(x 2) ,

при x 1

9 3A A 3,

при x 2

14 2B B 7,

при x 4

30 6C C 5.

Итак, исходная дробь представима в виде суммы простейших дробей сле-

дующим

образом:

x2

2x 6

3

7

5

. В итоге

(x 1)(x 2)(x 4)

x 1

x

2

x 4

x2 2x 6

dx

3

dx

7

dx

5

dx

3ln

x 1

7 ln

x 2

(x 1)(x 2)(x 4)

x 1

x 2

x 4

5ln

x 4

c.

Пример 13. Вычислить

x

dx .

(x 1)(x3

1)

Подынтегральное выражение – правильная дробь, т. е. выделять целую часть не нужно.

Разложим знаменатель в произведение степеней неприводимых много-

членов: (x 1)(x3 1) (x 1)2 (x2 x 1) . Дискриминант второго множителя отрицателен, следовательно, перед нами – искомое разложение.

Выпишем разложение подынтегральной функции в сумму простейших дробей с неопределенными коэффициентами:

14

x

A

B

Cx D

.

(x 1)

2

(x

2

x 1)

x 1

(x 1)

2

x

2

x 1

Приведем правую часть последнего равенства к общему знаменателю и перейдем к равенству числителей:

x

A

B

Cx D

=

(x 1)2 (x2

(x 1)2

x2 x 1

x 1)

x 1

A(x 1)(x2

x 1) B(x2 x 1) (Cx D)(x 1)

2

;

(x 1)2

(x2 x 1)

x A(x 1)(x2 x 1) B(x2 x 1) (Cx D)(x 1)2.

Найдем неопределенные коэффициенты. Можно использовать как подстановку некоторых значений (лучше корней знаменателя), так и равенство коэффициентов при одинаковых степенях.

Подставим x 1:1 3B B 13 ;

подставим x 0 : 0 A B D A D 13 .

Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях: x3 : 0 A C A C,

x 2 : 0 B D 2C						1	D 2C D 2C					1		,
x 2 : 0 B D 2C							D 2C D 2C							,
					3						3
x : 1 B C 2D				2	C 2D			2	C 2(2C						1	) 0 3C C 0.
x : 1 B C 2D					C 2D				C 2(2C							) 0 3C C 0.
				3				3							3
Тогда D	1	, A 0.
Тогда D		, A 0.
3
									1								1
							x
Итак, разложение							x		3									3	.

			(x 1)2 (x2 x 1)							(x 1)2			x2				x 1

Запишем исходный интеграл в виде суммы интегралов:

1

x

1

dx

3

dx

.

(x 1)

2

(x

2

x 1)

(x 1)

2

x

2

x 1

3

(x 1)

2

x

2

x 1

Вычислим полученные интегралы по отдельности:

15

выделяем в числителе

2ax b k p dx , где

производную знаменател я