Материал: Алгебра. курс лекций часть 4. Майорова С.П., Завгородний М.Г

Замечание. Матрица перехода всегда невырождена, т.е. | T |≠ 0 . Действительно, в противном случае (если | T |= 0 )

столбцы матрицы перехода будут линейно зависимы, а значит, векторы e1′, e2′ ,..., en′ будут линейно зависимы, а этого не

может быть, так как e1′, e2′ ,..., en′ образуют базис, и поэтому

являются линейно независимыми.

Задача 4. Найти матрицу перехода от базиса B : e1, e2 , e3 к базису B′: e1′, e2′ , e3′ , если

e1 = (0,0,1) , e2 = (0,1,0) , e3 = (1,0,0) ; e1′ = (1,1,1) , e2′ = (1, 2,3) , e3′ = (1,0,1) .

Решение. Разложим сначала векторы нового базиса B′ по старому базису B :

t13 =1 , t23 = 0 , t33 =1.

Записывая коэффициенты полученных разложений столбцами, получим матрицу перехода от базиса B к базису B′:

Рассмотрим аналогичный пример для пространства многочленов.

Задача 5. В линейном пространстве P[t](2) многочле-

нов степени ≤ 2 найти матрицу перехода от базиса

B : e1 =1, e2 =t, e3 =t2 к базису B′: e1′ = 2, e2′ =t −1, e3′ =(t −1)2 .

Решение. Разложим векторы нового базиса B′ по старому базису B . Сразу замечаем, что:

e1′ = 2 e1 +0 e2 +0 e3 ,

e2′ = −1 e1 +1 e2 +0 e3 ,

e3′ = t2 −2t +1 =1 e1 −2 e2 +1 e3 .

Следовательно, матрица перехода имеет вид:

1.4. Преобразование координат вектора при изменении базиса

Пусть (как в п.1.3) в линейном пространстве L заданы два базиса: B : e1, e2 ,..., en - старый базис и B′: e1′, e2′ ,..., en′ - новый базис. Выясним, как связаны координаты одного и

x1

X = и назовем старыми координатами; столбец коор-

xn

x1′

динат вектора x в базисе B′ обозначим X ′ = и назовем

xn′

новыми координатами.

Установим связь между старыми и новыми координатами вектора x .

Рассмотрим равенство (3) и вместо векторов e1′, e2′ ,..., en′

подставим их разложения по старому базису. Эти разложения мы уже записывали в п.1.3 при составлении матрицы перехода:

e1′ = t11e1 +t21e2 +... +tn1en ,

e2′ = t12e1 +t22e2 +... +tn2en ,

. . .

en′ = t1ne1 +t2ne2 +...+tnnen ,

n

или кратко ei′ = ∑tkiek . Тогда равенство (3) примет вид:

k=1

Внесем координаты xi′ под знак внутренней суммы, а затем

поменяем порядок суммирования (т.е. перегруппируем слагаемые). Получим

Итак, мы получили разложение вектора x по старому базису. Сравнивая полученное выражение с равенством (2), получаем, что выражение в скобках - это старые координаты вектора x , т.е.

n

xk = ∑tki xi′ , k =1, n , i=1

или в подробной записи:

x1 = t11x1′ +t12 x2′ +... +t1n xn′ ,

x2 =t21x1′ +t22 x2′ +... +t2n xn′ ,

. . .

xn = tn1x1′ +tn2 x2′ +... +tnn xn′ .

Используя введенные обозначения для столбца старых X и новых X ′ координат, а также для матрицы перехода TB→B′ ,

запишем полученный набор равенств в матричном виде:

X =TB→B′X ′.

Связь между старыми и новыми координатами вектора x L установлена.

Получим теперь выражение новых координат через старые. Умножая обе части полученного матричного равен-

ства слева на TB−→1 B′ (отметим, что обратная матрица T −1

всегда существует, так как матрица перехода T невырождена), имеем:

X ′ =TB−→1 B′X .

Из полученной зависимости между X ′ и X вытекает, что

Контрольные вопросы и задания к п. 1.3-1.4

1.Как составить матрицу перехода от одного базиса к другому?

2.Может ли матрица перехода быть вырожденной? Ответ обоснуйте.

3.Как изменится матрица перехода, если:

а) поменять местами два вектора первого базиса; б) поменять местами два вектора второго базиса;

в) записать векторы обоих базисов в обратном порядке?

4.Напишите формулы преобразования координат вектора при изменении базиса.

5.Найдите матрицу перехода от базиса e1, e2 , e3, e4 к базису:

e1, e2 , e3 к базису f1, f2 , f3 .

1.5.Подпространства линейного пространства

Пусть L - линейное пространство над полем P и L1 -

его подмножество.

Определение. Подпространством линейного про-

странства L называется такое его подмножество L1 , которое

само является пространством относительно введенных в L операций сложения векторов и умножения их на элементы поля P .

Теорема 2 (критерий быть подпространством). Не-

пустое подмножество L1 пространства L является подпространством тогда и только тогда, когда L1 замкнуто

относительно операций сложения векторов и умножения их на элементы поля P , т.е. когда

Доказательство. 1) Пусть L1 - подпространство, тогда L1 является линейным пространством, а поэтому замкнуто

относительно указанных операций в силу определения линейного пространства.

2) Обратно. Пусть множество L1 замкнуто относитель-

но сложения векторов и умножения их на элементы поля P . Докажем, что L1 является линейным пространством относи-

тельно этих операций

Покажем, что в L1 выполняются все восемь аксиом ли-

нейного пространства (см. определение в п.1.1). Аксиомы 1, 2, 5-8 заведомо выполнены в L1 , так как они выполняются во

всем линейном пространстве L . Проверим аксиомы 3 и 4 о

нулевом и противоположном векторах. По условию L1 замк-

нуто относительно операции умножения векторов на скаляры; следовательно, для произвольного вектора x L1 верно

0 x =θ L1 , (−1) x = −x L1 .

Таким образом, нулевой вектор θ из L будет лежать в L1 , и вместе с каждым вектором x L1 противоположный к нему вектор также лежит в L1 . Следовательно, L1 является линей-

ным пространством. ■

Теорема 3. Пусть L1 - подпространство линейного пространства L . Тогда dim L1 ≤ dim L .

Доказательство. Размерность пространства равна числу векторов базиса. Но L1 - более узкое множество, чем L .

Следовательно, число линейно независимых векторов в L1

должно быть меньше или равно числа линейно независимых векторов в L , т.е. базис L1 содержится в базисе L , а значит

dim L1 ≤ dim L . ■

Приведем примеры подпространств.

Пример 13. Само пространство L является своим подпространством.

Множество, состоящее из одного нулевого вектора θ пространства L , является подпространством в L . Оно называется нулевым подпространством.

Пример 14. В линейном пространстве V2 двумерных

геометрических векторов подпространство образуют:

1) множество всех векторов, лежащих на одной из координатных осей;

2) множество всех векторов, лежащих на прямой y = kx ( k ≠ 0 ). Размерность каждого из указанных подпро-

странств равна 1.

Множество векторов с концами на прямой y = kx +b ,

где b ≠ 0 , не является подпространством. Это следует уже из того, что нулевой вектор θ (это начало координат) не принадлежит прямой y = kx +b .

Пример 15. В линейном пространстве V3 трехмерных геометрических векторов подпространство образуют:

1)множество всех векторов, лежащих на прямой, проходящей через начало координат (это одномерное подпространство);

2)множество всех векторов, лежащих в плоскости, проходящей через начало координат (это двумерное подпространство).

Пример 16. В арифметическом пространстве Pn над полем P подпространство образуют:

1) множество векторов вида (x1,..., xn−1,0) , где x1,..., xn−1 P ;

2)множество векторов вида (α,α,...,α) , где α P ;

3)множество всех решений произвольной системы линейных однородных уравнений с n неизвестными над полем P .

Во всех приведенных примерах подпространства задавались путем описания всех их векторов. Другой распространенный способ задания подпространств основан на перечислении порождающей системы векторов.

Пример 17. Пусть L - пространство над полем P ,

dim L = n . Пусть e1, e2 ,..., en - базис в L . Тогда множество

векторов L1 ={x : x =αek α P} , где ek - фиксированный базисный вектор, является подпространством. Действительно, для любых x, y L1 и произвольного скаляра λ P

имеем: x + y =αek + βek = (α + β)ek L1 ;

λx = λ(αek ) = (λα)ek L1 .

Следовательно, L1 - подпространство и вектор ek служит базисом этого подпространства; dim L1 =1.

Аналогично, подпространством является совокупность всех векторов вида x =αek + βem , где ek , em - это фиксиро-

ванные базисные векторы. (Докажите!) Базис этого подпространства состоит из векторов ek , em и размерность равна

двум.

Пример 18. Пусть L - пространство над полем P , dim L = n . Пусть u1,u2 ,...,um ( m < n ) - система линейно не-

зависимых векторов в L . Рассмотрим множество всевозможных линейных комбинаций этих векторов:

L1 ={x : x =α1u1 +α2u2 +... +αmum},

где α1,α2 ,...,αm P - произвольные скаляры. Множество L1

является подпространством в L (докажите!), его называют подпространством, порожденным векторами u1,u2 ,...,um .

нейной оболочкой векторов u1,...,um , а также подпространством, натянутым на векторы u1,...,um .

нейно зависимой, и тогда для получения базиса нужно удалить из нее векторы, линейно выражающиеся через оставшиеся векторы.

Таким образом, в любом n -мерном пространстве существуют нетривиальные подпространства всех возможных размерностей от 1 до (n −1) .