Материал: Алгебра. курс лекций часть 4. Майорова С.П., Завгородний М.Г

Например, матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису является ортогональной.

Контрольные вопросы и задания к п. 4.4

1.Сформулируйте определение ортогонального оператора.

2.Перечислите свойства ортогонального (унитарного) оператора.

3.Может ли собственное значение ортогонального операто-

ра быть равным 2, 0, 1, -1?

4.Верно ли, что ортогональный оператор любой ортонормированный базис переводит в ортонормированный?

5.Какому соотношению должна удовлетворять матрица ортогонального (унитарного) оператора в любом ортонормированном базисе?

§ 5. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

Рассмотрим сначала случай вещественного линейного пространства, а затем результаты обобщим на случай комплексного пространства.

5.1.Билинейные и квадратичные формы в линейном пространстве

Пусть L - вещественное линейное пространство.

1)A(x + y, z) = A(x, z) + A( y, z) ,

2)A(λx, y) = λA(x, y) ,

3)A(x, y + z) = A(x, y) + A(x, z) ,

4)A(x, λy) = λA(x, y) .

Определение. Билинейная форма A(x, y) называется

симметричной, если A(x, y) = A( y, x) x, y L .

Пример 55. Скалярное произведение в евклидовом пространстве

(x, y) = x1 y1 + x2 y2 +... + xn yn

является симметричной билинейной формой.

Пусть A(x, y) - симметричная билинейная форма. Положим x = y . Тогда получим квадратичную форму A(x, x) .

Или строго:

Определение. Квадратичной формой называется вы-

ражение A(x, x) , где A(x, y) - симметричная билинейная форма.

5.2.Выражение квадратичной формы в координатах. Матрица квадратичной формы

Пусть в пространстве L задан базис e1,..., en и пусть известно разложение вектора x по этому базису:

x = x1e1 +... + xnen .

Найдем выражение квадратичной формы A(x, x) в ко-

где обозначено aij = A(ei , e j ) . Замечаем, что коэффициенты aij зависят от базиса и не зависят от вектора x .

Таким образом, в заданном базисе квадратичная форма имеет вид:

e1,..., en .

Укажем свойства матрицы квадратичной формы.

1)A = (aij ) - квадратная матрица n -го порядка;

2)A = (aij ) - симметричная матрица, так как билинейная форма A(x, y) - симметричная, а значит

aij = A(ei , e j ) = A(e j , ei ) = a ji .

Получим вид квадратичной формы при n = 2 , т.е. при x = (x1, x2 ) . Имеем:

= a11x12 +a12 x1x2 +a21x2 x1 +a22 x22 .

Отсюда в силу условия a12 = a21 получаем

Поэтому при составлении матрицы квадратичной формы

n n

A(x, x) = ∑∑aij xi x j

i=1 j=1

все ее внедиагональные элементы aij ( i ≠ j ) мы должны разделить на два, а элементы aii записать на главной диагонали

без изменения.

Пример 56. Матрица квадратичной формы

A(x, x) = x12 +3x1x2 +4x22

5.3. Матричная запись квадратичной формы

Пусть в линейном пространстве L задан базис e1,..., en и пусть в этом базисе задана квадратичная форма

n n

A(x, x) = ∑∑aij xi x j .

i=1 j=1

Эта квадратичная форма может быть записана более компактно, если использовать матричные обозначения.

Обозначим:

A = (aij ) - матрица квадратичной формы,

x1

X = - столбец координат вектора x .

xn

Теорема 42. Для любой квадратичной формы A(x, x) в заданном базисе справедлива формула

A(x, x) = X T AX .

Доказательство. Формула проверяется непосредственными вычислениями.

Найдем сначала AX . По правилу умножения матриц получим

=x1(a11x1 +...+a1nxn)+x2(a21x1 +...+a2nxn)+...+xn(an1x1 +...+annxn) =

= ∑∑aij xi x j = A(x, x) . ■

i=1 j=1

5.4.Изменение матрицы квадратичной формы при переходе к новому базису

Как было показано выше (см. п.5.2) матрица квадратичной формы зависит от базиса пространства. Выясним, как будет меняться эта матрица при изменении базиса.

Найдем вид квадратичной формы в новом базисе. Используя матричную запись квадратичной формы, в

базисе B имеем

A(x, x) = X T AX .

Обозначим через P =TB→B′ матрицу перехода от базиса B к

5.5. Канонический вид квадратичной формы

В различных базисах пространства выражения квадратичной формы в координатах, вообще говоря, различны. Нас будет интересовать задача: привести квадратичную форму к максимально простому (каноническому) виду с диагональной матрицей.

Определение. Каноническим видом квадратичной фор-

мы называется представление

A(x, x) = λ1x12 +λ2 x22 +... +λn xn2 .

Базис, в котором квадратичная форма имеет такой вид, называется каноническим базисом квадратичной формы.

Теорема 43. Любая квадратичная форма приводима к каноническому виду.

Укажем способ построения канонического вида квадратичной формы.

Матрица квадратичной формы - это симметричная матрица с действительными элементами. Следовательно (в силу свойств самосопряженного оператора) существует ортонормированный базис из собственных векторов, в котором эта матрица имеет диагональный вид

где λi - собственные значения матрицы A . Тогда в таком

базисе из собственных векторов квадратичная форма имеет вид

Таким образом, квадратичная форма приведена к каноническому виду - сумме квадратов.

Сформулируем правило нахождения канонического базиса и канонического вида квадратичной формы.

1)Найти собственные значения матрицы квадратичной

формы.

2)Найти соответствующие собственные векторы.

3)Ортогонализировать и нормировать систему собственных векторов - получим канонический базис.

4)Выписать канонический вид квадратичной формы

A(x, x) = λ1(x1′)2 +... +λ1(xm′1 )2 +

+λ2 (xm′1+1)2 +... +λ2 (xm′1+m2 )2 +... +

+λk (xm′1+m2 +...+mk −1+1)2 +... +λk (xn′ )2 ,

где λ1 ,…, λk - различные собственные значения; ms ( s =1, k ) - число собственных векторов, соответствующих λs .

Операция построения ортонормированного базиса, в котором квадратичная форма имеет канонический вид, назы-

вается приведением квадратичной формы к главным осям.

Пример 57. Квадратичную форму

A(x, x) = x12 −2x22 + x32 +4x1x2 −8x1x3 −4x2 x3

приведем к каноническому виду и найдем соответствующий канонический базис.

1) Составим матрицу квадратичной формы:

2) Найдем собственные значения матрицы A . Для этого решим характеристическое уравнение | A −λE |= 0 :

откуда находим: λ1,2 = −3 , λ3 = 6 .

3) Найдем собственные векторы. Для этого при каждом λk решим систему уравнений (A −λE)X = 0 .

а) Для λ1,2 = −3 имеем:

2x1 + x2 −2x3 = 0 ,

откуда

x1 = − 12 x2 + x3 .

Полагая x2 , x3 - свободные переменные, находим фундаментальную систему решений:

При α = −2 получаем собственный вектор X3 = (2,1, −2) .