Материал: Алгебраические_уравнения
26 |
ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ |
ности, при = 12 |
уравнение принимает вид 12 + 6 = 12 |
(прямая 1 на рис. 2). Эта прямая пересекается с отрезком
в точке (1; 0). Если теперь мы начнем увеличивать значение параметра , прямая 12 + 6 = будет смещаться вверх параллельно самой себе. Когда прямая займет положение 2, она пересечет отрезок в точке , соответствующей случаю, когда Леша и Гоша работали по отдельности
= 56 ; = 46 , т. е. когда команда производила 12 + 6 = 14
единиц конечного продукта. Итак, со смещением прямой 1
вверх параллельно самой себе производительность команды растет. К сожалению, двигать прямую вверх без конца мы не можем. Действуют ограничения. Самое верхнее допустимое положение 1 – это 3, когда прямая пересекает отрезок в точке (34 ; 1). В этом случае 12 + 6 = 15.
Ответ: команда достигнет максимальной производительности труда – 15 единиц конечного продукта в час, если Леша три четверти часа будет заниматься текстами и четверть часа конвертами, а Гоша только текстами.
Немного теории. Если функция = ( ) определена и дифференцируема на всей вещественной оси или некотором ее интервале, в любой точке ее области определения существует касательная. Уравнение прямой, касающейся графика функции в точке с координатами ( , ( )), можно представить в виде = ( ) + ′( ) ·( − ). Когда принимает значения из области определения ( ), касательная принимает
§ 1.2. Уравнения с двумя неизвестными |
27 |
положения прямых соответствующего семейства. Сам график функции = ( ) является по отношению к полученному семейству прямых огибающей кривой, т. е. кривой, которая в каждой своей точке касается некоторой прямой данного семейства.
Пример 3. Дана функция ( ) = 3 − 4 . Построить |
188 |
однопараметрическое семейство касательных к графику ( ).
Решение. Производная ′( ) = 3 · 2 − 4. Следовательно, касательная к графику в точке ( , ( )) имеет вид
= 3 − 4 + (3 2 − 4) · ( − ) или (3 2 − 4) · − = 2 3.
Ответ: (3 2 − 4) · − = 2 3.
Семейство касательных изображено на рис. 3. Таким обра-
Рис. 3. Однопараметрическое семейство прямых
зом, каждому значению соответствует прямая, касающаяся графика функции в точке ( , ( )).
28 |
ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ |
Задачи к параграфу на с. 188, п. 1.
§ 1.3. Системы двух уравнений
20 35 Такую систему можно записать в виде
1 + 1 = 1;
(1)
2 + 2 = 2.
Здесь возможны следующие варианты:
1) Если 1 = 1 = 1 , система имеет бесконечное множество
2 2 2
решений. В таком случае обоим уравнениям соответствует одна прямая на плоскости (рис. 4а). Это значит, одно уравнение можно получить из другого, умножив его на некоторое вещественное число:
2 − 3 = 7;
4 − 6 = 14.
2) Система не имеет решений, если 1 = 1 ̸= 1 . Уравнениям
2 2 2
соответствуют две параллельные прямые (рис. 4б):
2 − 3 = 7;
4 − 6 = 6.
§ 1.3. Системы двух уравнений |
|
|
|
29 |
3) Система имеет единственное решение, если |
1 |
̸= |
1 |
. Та- |
2 |
2 |
кой системе соответствуют две пересекающиеся прямые на плоскости (рис. 4в). Поскольку две непараллельные прямые имеют на плоскости одну точку пересечения, решение здесь существует и единственно.
В школьном курсе математики обычно рассматривают два
Рис. 4. Прямые на плоскости
метода решения систем линейных уравнений с двумя неизвестными: «подстановка» и «вычитание». Решим систему (1) вторым из перечисленных методов. Пока будем считать, что все коэффициенты системы ненулевые. Умножим левую и правую части первого уравнения на 2, а левую и правую части второго – на 1:
1 2 + 1 2 = 1 2;
2 1 + 1 2 = 2 1.
Таким образом, коэффициенты при в обоих уравнениях стали одинаковыми. Теперь из левой части первого уравне-
30 |
ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ |
ния вычтем левую часть второго, а из правой части первого – правую часть второго. Получим линейное уравнение
( 1 2 − 2 1) · = 1 2 − 2 1. В дальнейшем в таком случае будем для краткости говорить о вычитании из одного уравнения другого. Аналогично сделаем одинаковыми коэффициенты при :
1 2 + 1 2 = 1 2;
1 2 + 2 1 = 2 1.
Вычитая из второго уравнения первое, получим уравнение
( 1 2− 2 1) = 2 1− 1 2. Теперь можем записать равенства
|
2 1 |
− 1 2 |
; |
(2) |
|||
|
= 1 |
2 |
− 2 |
1 |
|
||
= |
1 |
2 |
− 2 |
1 |
, |
|
|
|
|
1 |
2 |
2 1 |
|
||
|
|
|
− |
|
|
|
|
которые, однако, имеют смысл только при отличных от нуля знаменателях дробей: 1 2 − 2 1 ̸= 0 1 2 ̸= 2 1 или
1 ̸= 1 . Мы вернулись к хорошо известному нам условию
2 2
(см. рис. 4в). Если оно выполнено, остается найти единственное решение ( ; ). Только как запомнить формулы (2)? Для этого введем понятие «определитель»:
|
|
|
|
|
|
|
= · − · . |
||
|
|
|
|
|