Материал: Аналоговая и цифровая фильтрация сигналов (110
Для проверки найдем эти же характеристики, используя программу MC6. Для этого в соответствии с рис. 3 в окне редактирования рисуем цепи A и B, а далее, используя режим AC в меню Analysis, выводим на экран АЧХ и ФЧХ соответствующих цепей. Для примера ниже приведены графики АЧХ и ФЧХ цепи A, рассчитанные в среде MC6:
Сравните графики АЧХ и ФЧХ цепей A и B, полученные в средах Maxima и MC6, и определите, совпадают они или нет. Сделайте соответствующие выводы. По графикам АЧХ цепей A и B, полученным как с помощью программы Maxima, так и с помощью MC6, определить ширину полосы пропускания этих цепей (по уровню –3dB).
11
Для того чтобы найти спектральную плотность мощности процесса ξ(t) (рис.1), воспользуемся соотношением (6), а также тем, что на вход цепи A подается белый шум. Для этого в среде Maxima набираем
N0:1$ Wksi(omega):=(N0/2)*(abs(KA(omega)))^2$ wxplot2d(Wksi(omega),[omega,-100,100])$
Видим, что спектральная плотность мощности процесса при прохождении через линейную цепь изменяется в соответствии с формой амплитуд- но-частотной характеристики цепи.
Определим далее корреляционную функцию процесса ξ(t) (рис.1). Для этого воспользуемся выражениями (2). Верхний бесконечный предел во втором интеграле заменим на некоторое конечное число, учитывая следующее соображение. Пусть Ωmax − частота, при которой значение спектральной плотности мощности уменьшается в 100 раз по сравнению с ее максимальным значением. Эту величину и можно принять в качестве верхнего предела интеграла. Используя для графика функции W ξ(ω) процедуру решения нелинейных уравнений, находим Ωmax :
Omax:find_root(Wksi(omega)-0.01*Wksi(0),omega,0, 500); 99.49874371066201
Теперь можем вычислить функцию корреляции процесса ξ(t) :
Kksi(tau):=(1/%pi)*quad_qawo(Wksi(om),om,0, Omax,tau,cos,'epsrel=1d-2)[1]$ tauL:makelist(j/60,j,-30,30)$ KksiL:map(Kksi,tauL),numer$ wxplot2d([discrete,tauL,KksiL])$
12
Перейдем теперь к расчету спектральной плотности мощности процесса η(t) . Время задержки по условию T = 0.2 [с]. Учитывая, что η(t) = ξ(t) +ξ(t −T ) , определим вначале корреляционную функцию процесса η(t) . Нетрудно показать, что эта корреляционная функция равна (показать самостоятельно) Kη(τ) = 2Kξ(τ) + Kξ(τ−T ) + Kξ(τ+T ) . Вычисляя прямое преобразование Фурье от этой функции с учетом свойств преобразования Фурье, окончательно получаем следующее выражение для спектральной плотности мощности процесса
η(t) : W η(ω) = 2W ξ(ω)[1+cos(ωT )].
В среде Maxima вычисление корреляционной функции и спектральной плотности мощности процесса η(t) выглядит так:
T:0.2$ Keta(tau):=2*Kksi(tau)+Kksi(tau-T) +Kksi(tau+T)$
KetaL:map(Keta,tauL),numer$ wxplot2d([discrete,tauL,KetaL])$
13
Weta(omega):=2*Wksi(omega)*(1+cos(omega*T))$ omegaL:makelist(j*2,j,-50,50)$ WetaL:map(Weta,omegaL),numer$ wxplot2d([discrete,omegaL,WetaL])$
Меняя величину параметра T , проследить, как при этом будет меняться форма спектральной плотности мощности процесса η(t) .
Перейдем далее к определению спектральной плотности мощности процесса y(t) на выходе цепи B (рис.1). Очевидно, для этого достаточно воспользоваться соотношением (6).
В результате график спектральной плотности мощности процесса y(t) можно построить следующим образом:
14
Wy(omega):=Weta(omega)*(cabs(KB(omega)))^2$ omegaLy:makelist(j,j,-45,45)$ WyL:map(Wy,omegaLy),numer$ wxplot2d([discrete,omegaLy,WyL])$
Самостоятельно проанализировать изменения статистических характеристик случайного процесса n(t) при последовательном прохождении через линейные цепи (рис.1). Сделать выводы. Уменьшив сопротивление R1 в два раза, проанализировать, как изменяются при этом характеристики про-
цессов ξ(t), η(t) и y(t) .
Примервыполнениязадания 2
Рассмотрим в качестве детерминированного сигнал вида s(t) = 1/(1 + cosh (t/t0)). Причем параметр t0 может принимать два значения:
t01 =10−3 [с] и t02 =5 10−4 [с]. Зарисуем график этого сигнала для перечисленных значений параметра t0 :
kill(all)$
numer:true$ ratprint:false$ t0L:[1d-3,0.5d-3]$ s(t,t0):=1/(1+cosh(t/t0))$
wxplot2d([s(t,t0L[1]),s(t,t0L[2])],[t,-0.01,0.01])$
15