Материал: Аналоговая и цифровая фильтрация сигналов (110
Это значит, что при подаче на ФНЧ с KF (ω) (5) дискретного сигнала sdis (t ) на его выходе сформируется сигнал sw(t ), спектр которого определится выражением
(6)
и этот спектр идентичен спектру SF (ω) восстанавливаемого сигнала s(t ). Отсюда вытекает, что сформированный на выходе ФНЧ временной сигнал sw(t ) со спектром SFDISW (ω) = SF (ω) идентичен исходному аналоговому сигналу: s(t ) = sw(t ).
Если Ωdis < 2Ωm ( t > π/ Ωm ), то соседние копии спектра SFdis (ω) перекрываются (рис. 6в) и накладываются друг на друга, так что на частот-
ном интервале −Ωm ≤ ω≤ Ωm спектр SFdis (ω) не будет идентичен спектру SF (ω) сигнала s(t ). Следовательно, спектр SFDISW (ω) на выходе ФНЧ, определяемый выражением (6), не будет совпадать со спектром SF (ω) и сформированный на выходе ФНЧ (5) сигнал sw(t ) не будет идентичен исходному аналоговому сигналу s(t ). Таким образом, если дискретизация аналогового сигнала не удовлетворяет условиям теоремы Котельникова ( t > π/ Ωm ), то восстановление аналогового сигнала s(t ) по дискретным
отсчетам без искажений невозможно.
Работа выполняется на ЭВМ с использованием программной среды
Maxima.
Задания на выполнение лабораторной работы № 2
Исследовать дискретное представление аналогового сигнала s(t ) и его восстановление по дискретным отсчетам; форма сигнала выбирается из табл. 1 в соответствии с номером вашего варианта.
Таблица 1
№ |
|
|
|
|
|
Сигнал |
|||||
варианта |
|
|
|
|
|
||||||
s(t) = s0 exp[−(t / t0)2 ],t0 = 0.01 |
|||||||||||
1 |
|||||||||||
2 |
s(t) = |
|
|
s0 |
|
|
,t0 = 0.004 |
||||
1 |
+cosh(t / t0) |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
s(t) = |
|
|
|
s0 |
|
|
, t0 = 0.013 |
|||
[1+exp(t / t0) |
2 |
2 |
|||||||||
|
|
|
] |
|
|||||||
|
s(t) = |
s0(1+ βt2 ) |
β = 0.83,t0 = 0.012 |
||||||||
4 |
|
, |
|||||||||
[1+ exp(t / t0)2 ]2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
№ |
|
|
|
|
|
Сигнал |
|||||
21
варианта |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
s(t) |
= |
|
|
|
|
s0(1+ βt2 ) |
|
|
|
|
,t0 = 0.008, β |
=1.17 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
[1+cosh(t / t0)] |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
6 |
s(t) = |
|
|
s0(1+ β | t |) |
|
|
, β = 0.74,t0 = 0.007 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
[1+cos(t / t0)] |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
7 |
|
s(t) = |
|
|
|
s0 |
|
|
|
|
|
|
, t0 = 0.011 |
|||||||
|
1+ |
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| sinh(t / t0) | |
|
||||||||||
8 |
s(t) = |
|
|
|
|
s0(1+ βt2 ) |
|
|
|
|
|
, β = 0.57, t0 |
= 0.01 |
|||||||
|
1+ | sinh(t / t0) | |
2 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
s(t) = |
|
|
|
1+ | sinh(t / t0) |2 ,t0 = 0.0077 |
|||||||||||||||
10 |
s(t) = |
|
|
|
|
s0(1+ β | t |) |
|
|
|
|
,t0 = 0.0081, |
β = 2.87 |
||||||||
|
1+ | sinh(t / t0) |2 |
|
|
|||||||||||||||||
11 |
s(t) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
2s0 |
|
|
|
|
|
|
,t0 = 0.0123, |
a = 2.37 |
||
2+ |
| a |
t / t 0 |
−a |
−t / t 0 |
| |
2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
12 |
s(t) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
2s0 |
|
|
|
|
,t0 = 0.0053, |
a = 3.03 |
||||
2 +(at / t 0 |
+ a−t / t 0 ) |
|||||||||||||||||||
Задание 1
Для заданного сигнала s(t ) ввести в компьютер значения его параметров и его аналитическое выражение. Далее выполнить следующие пункты задания:
−вычислить длительность сигнала и построить графическую зависимость s(t );
−используя прямое преобразование Фурье, вычислить и представить на графике амплитудно-частотный спектр (АЧС) сигнала s(t );
−вычислить максимальную частоту в спектре сигнала s(t ). Исходя из
условия теоремы Котельникова, вычислить интервал дискретизации t ;
− получить графическое представление совокупности дискретных отсчетов sdis (t ) (1) аналогового сигнала s(t ). Убедиться в соответствии зна-
чений аналогового сигнала s(t ) в дискретных точках (t = −2 t,t = 0,t =3 t )
изначений дискретных отсчетов sdis (t ) в этих же точках;
−используя совокупность дискретных отсчетов sdis (t ) и вычисленные
значения Ωm , t , представитьаналоговыйсигнал s(t ) рядомКотельникова(2).
Задание 2
Рассмотреть возможность восстановления аналогового сигнала s(t ) по его дискретным отсчетам. Для этого выполнить следующие пункты задания:
22
−вычислить и представить на одном графике нормированные на свои максимальные значения амплитудные спектры исходного аналогового сигнала s(t ) и дискретного сигнала sdis (t );
−найти сигнал и его амплитудно-частотный спектр, если дискретный сигнал sdis (t ) пропустить через идеальный фильтр нижних частот с часто-
той среза, равной максимальной частоте в спектре сигнала s(t ). Решить аналогичную задачу в случае, если фильтр представляет собой обычный RC-фильтр нижних частот с той же частотой среза;
− получить графическое представление спектра дискретного сигнала для случая, когда интервал дискретизации t1 аналогового сигнала s(t ) в 1.5 раза больше максимального значения интервала дискретизации, определяемого теоремой Котельникова, т.е. t1 =1.5 t =1.5π/ Ωm ;
− показать, что при воздействии на идеальный ФНЧ с коэффициентом передачи (5) сигнала с интервалом дискретизации t1 =15. t выходной сигнал ФНЧ существенно отличается по форме от восстанавливаемого сигнала s(t ). Предложить способ уменьшения ошибки восстановления сигнала в этом случае.
Пример выполнения лабораторной работы № 2
|
Примервыполнениязадания 1 |
|
|
|
В качестве примера рассмотрим сигнал вида |
|
|
||
|
s0 |
|
|
|
s(t ) = |
|
, −∞ <t < ∞, s0 = 2.3, t |
0 |
= 0.014. |
[1 + (t / t0)2 ]2 |
||||
Вводим в компьютер исходные данные:
kill(all)$
numer:true$ ratprint:false$ s0:2.3$ t0:0.014$ K:128$ s(t):=s0/(1+(t/t0)^2)^2$
Вычислим граничные значения сигнала T1 и T2, задаваясь критерием, в соответствии с которым в этих точках значения сигнала s(t ) уменьшаются до значения 0.01 от максимального значения s(t ). Для вычисления верхней границы T 2 набираем:
T2:find_root(s(t)/s(0)-0.01, t, t0, 20*t0)$
23
Так как s(t ) − четная функция времени, то длительность сигнала T может быть найдена следующим образом: T2 = T1 , T = T2 – T1 .
Строим график s(t ). Для этого набираем:
tK:makelist(k*2*T2/K-T2,k,0,K-1)$ sK:map(s,tK),numer$ wxplot2d([discrete,tK,sK]);
Вычислим теперь амплитудно-частотный спектр (АЧС) | SF(ω) | сигнала s(t ). Для этого набираем:
N:K$ SF(w):=2*quad_qawo(s(t),t,0,T2,w,cos,'epsabs=1d-2)[1]$ SF0:SF(0),numer$
SFF(w):=SF(w)/SF0$ wN:makelist((n-N/2)/T2,n,0,N-1)$ SFN:makelist(SFF(wN[n+1]),n,0,N-1),numer$ wxplot2d([discrete,wN,SFN]);
24
Здесь на последнем рисунке для наглядности изображен нормированный на максимум амплитудно-частотный спектр исследуемого сигнала.
Для нахождения максимальной частоты Ωm в спектре сигнала s(t ) будем использовать критерий, в соответствии с которым в точке ω= Ωm значение модуля спектра | SF(Ωm ) | уменьшается до значения 0.01 от максимального значения |SF (0)| . Для вычисления Ωm набираем:
Wm:find_root(SF(w)/SF0-0.01, w, 1/T2, 50/T2); 491.9008154654611
Интервал дискретизации в соответствии с теоремой Котельникова
Dt:%pi/Wm;
0.0063866384336384
Для графического представления совокупности дискретных отсчетов sdis (t ) набираем:
vmin:ceiling(-T2/Dt)-1$ vmax:ceiling(T2/Dt)$ tKK:makelist(k2*Dt,k2,vmin,vmax)$ sKK:map(s,tKK),numer$ wxplot2d([[discrete,tK,sK],[discrete,tKK,sKK]], [style,[lines],[impulses,2,1]]);
25