Материал: Астахов Механика. Конспект лекций 2011

Если вектор равен сумме векторов (равенство П5.4), его про-

екция на какую-либо ось (например, ось Оx) равна сумме проекций этих векторов на данную ось аix:

Единичный вектор может быть записан в виде выражения:

96

где ax и ay — составляющие вектора a, параллельные осям Ox и Oy соответственно (см. рис.П5.9).

Любой вектор может быть представлен в виде суммы векторов, выраженных через орты:

где ax и ay — проекции вектора a на оси Ox и Oy соответственно. Вектор а (на плоскости) может быть задан двумя числами —

либо модулем а и углом α к какой-либо оси (например, оси Ox), либо проекциями на оси координат аx и аy.

Они связаны между собой равенствами:

Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение двух векторов a и b (обозначается a·b, (ab) или (a,b)) — скаляр

с = (a,b) = abcosα, (П5.23)

Скалярное произведение двух векторов может быть выражено через их проекции на координатные оси:

Свойства скалярного произведения:

1)(a,b) = (b,a) — скалярное произведение коммутативно;

2)(a,b) > 0, если угол α острый;

3)(a,b) < 0, если угол α тупой;

97

4)(a,b) = 0, если угол α прямой.

5)a2 = (a, a) = а2 — квадрат вектора равен квадрату его модуля.

Векторное произведение векторов

Векторное произведение двух векторов a и b (обозначается a×b, [ab] либо [a,b]) — вектор

который перпендикулярен плоскости, в которой находятся векторы а и b (рис.П5.11), причем векторы

cа,b и с образуют правую тройку векторов: поворот вектора a (век-

где а и b — модули векторов а и b, α — угол между векторами а и b, соединенными своими началами (0 ≤ α ≤π).

Векторное произведение двух векторов может быть выражено через их проекции на координатные оси и орты:

[a,b] = (aybz − azby)i − (axbz−azbx)j +(axby −aybx)k. (П5.27)

Свойства векторного произведения:

1)[a,b] = − [b,a] — векторное произведение некоммутативно;

2)[a,b] = 0, если угол α = 0 или α = π (векторы а и b коллинеарны).

98

ПРИЛОЖЕНИЕ 6

Методика решения задач

Целью решения задач является:

а) усвоение и проверка теоретических знаний по различным разделам физики;

б) научиться применять законы физики для решения конкретной задачи и правильно оформлять это решение.

Порядок решения задачи следующий:

1.Записать (если имеется) номер задачи.

2.Написать (по возможности кратко) данные задачи (желательно выразить их в единицах Международной системы единиц — СИ).

3.Сделать (если это возможно) рисунок (схему).

4.Написать необходимые теоретические формулы по теме за-

дачи.

5.Используя обозначения физических величин, приведенных в задаче, записать уравнения, связывающие известные величины и величины, которые требуется определить.

6.Если число неизвестных величин больше количества уравнений, то необходимо, используя условие задачи, составить такое количество дополнительных уравнений, чтобы общее число уравнений стало равным числу неизвестных величин.

7.Полученную систему уравнений решить (желательно) в общем виде, выразив искомую физическую величину в буквенных обозначениях через заданные в условии задачи величины.

8.В полученную формулу подставить числовые данные (если они имеются), константы и табличные данные (если необходимо) и определить численное значение искомой величины. После проведения расчетов округлить числа до необходимого количества значащих цифр (но не более, чем количество значащих цифр в исходных числовых данных). Для записи больших (или малых) чисел необходимо использовать степень десяти. В числах, начинающихся

сединицы, в большинстве случаев можно оставлять три цифры,

например, число 1847 записывать в виде 1,85 103, в остальных числах — оставлять две цифры, например, число 0,0478 записывать в

99

виде 4,8 10−2, при этом, если в числе последняя цифра пять, то при ее отбрасывании предыдущую цифру увеличивать на единицу. В ответе разрешается использовать приставки для образования десятичных кратных и дольных единиц, которые приведены в табл. П6.1.

Таблица П6.1.

9.Проверить единицу (или размерность) искомой физической величины, используя общий вид решения. Если возможно, оценить реальность значения искомой величины.

10.Записать ответ в общем и численном (совместно с единицами физических величин) видах.

11.Попробовать найти решение задачи другим способом.

100