Материал: Астахов Механика. Конспект лекций 2011
Если известны пути Si (рис.1.2) и соответствующие им промежутки времени ti (i = 1,2,...,n) такие, что выполняются равенства:
S = ( |
|
|
|
n |
|
S1 |
+ |
S2 + ... + |
Sn )= ∑ Si , |
(1.9) |
|
|
|
|
|
i=1 |
|
t = ( |
|
|
|
n |
|
t1 |
+ |
t2 + ... + |
tn )= ∑ ti , |
(1.10) |
i=1
n
(знак ∑ означает сумму n слагаемых, см. приложение 4), то сред-
i=1
няя путевая скорость за весь промежуток времени t может быть найдена по формуле:
y |
|
|
Si |
|
ri |
<v> |
r |
|
|
Рис. 1.2 |
x |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
∑ Si |
|
|
|
v |
= |
i=1 |
. |
(1.11) |
|
n |
|||||
s |
|
|
|
||
|
|
∑ ti |
|
|
i=1
Путевая скорость (мгновен-
ная) vs СФВ, равная пределу отношения пути S к промежутку времени t, за который этот путь был пройден, при бесконечном уменьшении промежутка времени:
vs = lim |
S |
= |
dS |
(1.12) |
|
t |
dt |
||||
t→0 |
|
|
( dSdt производная пути по времени, см. приложение 4).
Средняя скорость <v> ВФВ, равная отношению перемещения r к промежутку времени t, за который это перемещение произошло:
v = |
r . |
(1.13) |
|
t |
|
|
6 |
|
Направление средней скорости за некоторый промежуток времени t совпадает с направлением перемещения м.т. за этот же промежуток времени (см. рис.1.2).
Если известны перемещения ri (см. рис.1.2) за соответствующие им промежутки времени ti (i = 1,2,...,n) такие, что выполняются следующие равенства:
r = ( |
|
|
|
n |
|
r1 |
+ |
r2 + ... + |
rn )= ∑ ri , |
(1.14) |
|
|
|
|
|
i=1 |
|
t = ( |
|
|
|
n |
|
t1 |
+ |
t2 + ... + |
tn )= ∑ ti , |
(1.15) |
|
|
|
|
|
i=1 |
|
то средняя скорость за промежуток времени |
t может быть найдена |
||
по формуле: |
|
|
|
|
n |
|
|
v = |
∑ ri |
|
|
i=1 |
|
(1.16) |
|
n |
|||
|
∑ ti |
|
|
i=1
Скорость (мгновенная) v ВФВ, равная пределу отношения перемещения r к промежутку времени t, за который это перемещение произошло, при бесконечном уменьшении промежутка времени:
v = lim |
r |
= |
dr |
|
t |
dt |
|||
t→0 |
|
( |
dr |
|
производная радиус-векто- |
y |
dt |
|
ра материальной точки по времени, которая может обозначаться также как r ).
Скорость направлена по касательной к траектории в данной точке (на рис.1.3 — в т.Н).
Единица скорости метр в O
секунду: [v] = м/с.
(1.17)
v
ri ( t→0)
Н
<vi>
x
7
Соотношение между скоростями |
|
Путевая скорость равна модулю скорости: |
|
vs = v. |
(1.18) |
Средняя путевая скорость равна среднему значению модуля скорости:
vs = v . |
(1.19) |
Скорость м.т. связана со средней скоростью равенством (6.7), а ее модуль со средней путевой скоростью — равенством (6.6).
§2. Равномерное движение
Равномерное движение движение, при котором за любые
равные промежутки времени ( |
ti = const) пути материальной точки |
|
одинаковы ( Si = const). |
|
|
Это движение с постоянной путевой скоростью: |
|
|
vs |
= const, |
(2.1) |
при этом траектория может быть как прямолинейной, так и криволинейной.
v |
|
|
|
|
vn |
|
|
|
|
v1 |
|
vi |
Sn |
|
|
S1 |
|
||
|
Si |
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
tнi |
tкi |
t |
|
|
Рис. 2.1 |
|
|
При равномерном движении:
путевая скорость
vs = vs , |
(2.2) |
путь (зависимость от времени)
S = v t. |
(2.3) |
Пусть имеется n участков равномерного движения, на каждом из которых скорость может быть от-
личной от скорости на любом другом участке.
Путь Si за промежуток времени ti в системе координат vОt равен площади (выраженной в единицах пути) прямоугольника (на рис.2.1 i = 1,2,3), ограниченного графиком vi(t), осью времени от начального (tнi) до конечного (tкi) моментов времени и отрезками
8
прямых t = tнi и t = tкi.
Зависимость пути от времени на i-м участке имеет следующий
вид:
Si = SHi + vi (t − tHi ), (2.4)
где Sнi путь м.т. в момент време-
ни tнi (он равен Sк(i-1)), vi модуль скорости в промежутке времени ti, причем на первом промежутке при
Sн1 = 0 и tн1 = 0
S1 = v1t. |
(2.5) |
S 
Sкn
Sкi
Sнi
О |
tнi |
tкi tкn t |
График зависимости S(t) пред-
ставляет собой линию, исходящую из начала координат и состоящую из n (на рис.2.2 n = 3) отрезков прямых. Тангенс угла наклона i-го отрезка прямой к оси времени пропорционален (кгр коэффициент пропорциональности) модулю i-й скорости:
tgαi = кгрvi, |
(2.6) |
и чем больше модуль скорости, тем больше этот угол.
Средняя путевая скорость при таком движении на всем пути может быть найдена из равенства:
|
|
n |
|
|
|
|
|
∑vi |
ti |
|
|
v |
= |
i=1 |
|
, |
(2.7) |
n |
|
||||
s |
|
|
|
|
|
|
|
∑ ti |
|
||
i=1
где vi модуль скорости на i-м участке траектории в течение соответствующего промежутка времени ti.
Равномерное прямолинейное движение движение, при кото-
ром за любые равные промежутки времени ( ti = const) перемещения материальной точки одинаковы ( ri = const).
Это движение с постоянной скоростью:
v = const. |
(2.8) |
9
При равномерном прямолинейном движении: |
|
|
средняя скорость |
|
|
<v> = v, |
|
(2.9) |
перемещение |
|
|
r = v t, |
|
(2.10) |
радиус-вектор |
|
|
r = rн + v |
t, |
(2.11) |
координата |
|
|
x = xн + vx |
t, |
(2.12) |
где хн — начальная координата, vx — проекция скорости на ось Ох,
путь
S = Sн + v t. |
(2.13) |
Если tн = 0, то t = t и, например, зависимость радиус-вектора от времени принимает следующий вид:
r = rн + vt. |
(2.14) |
Зависимость у(х) при прямолинейном равномерном движении
(в плоскости хОy) является линейной функцией и при vx ≠ 0
|
v |
y |
|
|
v |
y |
|
(2.15) |
y = yн − |
|
xн |
+ |
|
x. |
|||
vx |
|
|
||||||
|
|
|
vx |
|
||||
График зависимости у(х) прямая линия (рис.2.3), угол наклона которой к оси Ох определяется отношением проекций скорости на оси Oy и Оx.
y |
|
|
|
|
v |
|
rн |
rк |
|
|
|
О |
|
x |
|
|
Рис. 2.3 |
Приращение координаты м.т. по оси Ох за промежуток времени t при прямолинейном равномерном движении
x = vx t. |
(2.16) |
Приращение координаты хi (в системе координат vхОt) за промежуток времени ti равно площади (в единицах перемещения) прямоуголь-
10