Материал: Астахов Механика. Конспект лекций 2011

где x = xк − xн.

Среднее значение функции равно константе постоянной функции, график которой на отрезке [xн,xк] является стороной AB прямоугольника ABFE (см. рис.П4.3), площадь которого равна пощади криволинейной трапеции CDFE.

91

ПРИЛОЖЕНИЕ 5

Векторы

Вектор — величина, определяемая направлением в простран-

→

A AB (т.A — начало вектора, т.В — конец вектора), или буквойG со стрелкой навер-

ху, например b , либо одной буквой, напечатанной полужирным шрифтом, например a.

Модуль (абсолютная величина) вектора — длина вектора в выбранном масштабе. Обозначается: |a| или а.

Векторы подразделяются на свободные (начало вектора может находиться в любой точке пространства), скользящие (начало вектора может находиться в любой точке прямой, проходящей через начало и конец данного вектора) и связанные (начало вектора находится в определённой точке пространства).

Равенство свободных векторов

Два свободных вектора равны между собой, если их направления одинаковы и модули равны. На рис.П5.1 показаны два равных вектора а и b.

Коллинеарные векторы — векторы, лежащие на параллельных прямых.

Сложение векторов

Для сложения двух векторов a и b необходимо осуществить параллельный перенос вектора а (либо b) таким образом, чтобы конец одного вектора совпал с началом другого (рис.П5.2).

Сумма двух векторов a и b — вектор

начало которого совпадает с началом вектора a, конец — с концом вектора b при условии, что начало вектора b совпадает с концом вектора a (правило треугольника, см. рис.П5.2).

92

Для вычисления модулей векторов и углов между ними в тре-

Сумма нескольких векторов

Для нахождения суммы n векторов можно параллельным переносом по очереди совместить начало последующего вектора с концом предыдущего вектора.

Суммой векторов ai (i = 1,2,...,n) является вектор

i=1

93

Умножение и деление вектора на скаляр

Произведением вектора a на скаляр n (действительное число)

является вектор

направление которого при положительном n (n>0) совпадает с направлением вектора а (рис.П5.4а,б), при отрицательном n (n<0) — противоположно вектору а (рис.П5.4,в,г), модуль которого

Из этого правила следует, что векторы а и −а направлены в противоположные стороны, а их модули равны (рис.П5.4,г).

При n = 0 получается нулевой вектор.

Нулевой вектор 0 — вектор, начало и конец которого совпадают.

Модуль нулевого вектора равен нулю.

Деление вектора а на скаляр n можно представить как его умножение на скаляр, равный 1/n.

начало которого совпадает с концом вектора b, а конец — с концом вектора a, при условии, что начало вектора a совпадает с началом вектора b (рис.П5.5,а).

Разность векторов а и b можно представить как сумму векторов а и −b (рис.П5.5,б):

94

Сумма и разность векторов a и b могут быть найдены также по правилу параллелограмма (рис.П5.6).

Проекция вектора на ось

Проекция вектора а на ось Оx (обозначается aх) — величина, определяемая равенством:

где а — модуль вектора а, α — угол между вектором а и осью Oх (рис.П5.7,а и П5.7,б).

Проекция вектора а на ось Oх может быть определена также из равенства:

где хк и хн — координаты конца и начала вектора а на ось Ох

(см. рис.П5.7,а и П5.7,б).

Проекция вектора а на ось Ох может быть определена через длину L отрезка AB между проекциями конца (т.B) и начала (т.А) вектора a на ось Оx: если угол между вектором а и положительной полуосью Oх (рис.П3.7,а) принадлежит полуинтервалу [0; π/2), то

95