Материал: Астахов Механика. Конспект лекций 2011

Проекция точки на ось — точка пересечения перпендикуляра,

где x1 и y1 — координаты точки N1, x2 и y2 — координаты точки N2 (см. рис.П3.2).

Прямоугольная декартова система координат в пространст-

zве — система, состоящая из трех взаимно перпендикулярных координатных осей, пересекающихся в одной точке, которая

Oz происходящим против хода часовой стрелки. Ось Oz называется также осью аппликат.

86

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

Скаляры. Функции и графики

Скаляр — величина, определяемая одним числом. Скаляр не зависит от направления в пространстве.

Две однородные скалярные физической величины равны, если при измерении их одной и той же единицей получаются одинаковые числа.

Приращение (изменение) некоторой величины A — разность между конечным (Aк) и начальным (Aн) значениями этой величины:

Убыль (разность) некоторой величины A — разность между начальным (Aн) и конечным (Aк) значениями этой величины:

Приращение и убыль некоторой величины может быть больше или меньше нуля или равняться нулю.

Между убылью и приращением величины A выполняется соотношение:

Функция y = f(x) или y = y(x) — правило, по которому каждому числу x сопоставляется число y.

Числа x называются значением аргумента функции, числа y — значением функции (в точке x).

Область определения функции D — множество X чисел x. Область значений функции R — множество Y чисел y.

График функции y(x) — множество точек на координатной

87

Графиком постоянной функции является прямая, параллельная оси Ох и пересекающая ось Оу в точке (0,с) или совпадающая с осью Ох. Постоянная функция есть частный случай линейной функции.

Линейная функция функция вида:

где а и b некоторые константы.

Графиком линейной функции является прямая линия. На рис.П4.1 приведены графики этой функции при различных постоянных а и b.

где а (а ≠ 0), b и с некоторые константы.

Графиком квадратичной функции является парабола.

Для построения графика квадратичной функции правую часть (П4.6) можно представить в виде:

что позволяет определить координаты вершины параболы. График квадратичной функции при а > 0 приведен на

88

рис.П4.2,а (ветви параболы направлены вверх), при а < 0 на рис.П4.2,б (ветви параболы направлены вниз).

Приращение функции y (соответствующее приращению аргумента x) — разность вида:

Производная функции у по аргументу х (обозначаетсяy′x , либо

dy/dx) — предел, к которому стремится отношение приращения функции к приращению аргумента при бесконечном уменьшении приращения аргумента:

(lim — означает предел).

Геометрический смысл производной

Производная функции y(x) в точке х0 равна тангенсу угла, образованного положительной полуосью Ох и касательной к графику функции в точке с абсциссой х0:

Производная линейной функции (П4.5) равна постоянной при аргументе.

89

Определение площади под графиком функции

На рис.П4.3 представлен график некоторой функции у(х) на отрезке [xн, xк].

Площадь S под графиком функции у(х) на отрезке [xн; xк] является площадью криволинейной трапеции CDFE, ограниченной графиком функции y(x), осью Ох от xн до xк и отрезками прямых х = xн и х = xк. Для определения этой площади отрезок [xн; xк] раз-

бивается на n отрезков [xi—1;xi], таких малых, что на каждом из них функцию можно считать либо постоянной, либо слабо изменяю-

щейся (максимальное изменение функции на любом малом отрезке значительно меньше минимального значения функции на этом отрезке).

Площадь под графиком функции равна пределу суммы произ-

ведений уi на приращения аргумента хi при бесконечном уменьшении всех хi:

Среднее значение функции y(x) на отрезке [xн,xк] — величина,

равная отношению определённого интеграла функции у(х) на отрезке [хн; хк] к приращению аргумента x на этом отрезке:

90