Документ: Частина2, страницы 1-5 | База учебных материалов

Матриця напружень (3.1) носить назву тензора напружень, а елементи цієї матриці називаються компонентами тензора напружень.

Тензор напружень {G} позбавлений фізичного змісту. Фізичний зміст мають лише ком-

поненти тензора напружень.

На основі закону парності дотичних напружень (див. 2.2), дотичні напруження, що виникають на двох взаємно перпендикулярних площинках, рівні і протилежні за напрямом. Тобто

txy	=	t yx	;	txz	=	tzx	;	t yz	=	tzy	(3.2)

Компоненти тензора напружень залежать від напрямків вибраних координатних осей. Тензор напружень володіє рядом властивостей. Зокрема певні комбінації компонент тензора напружень є інваріантними відносно вибору системи координат(на залежать від вибору системи координат). Тому інваріанти є основними характеристиками напруженого стану в точці.

Виділений з тіла елемент можна зорієнтувати таким чином, що по його площинках виникатимуть тільки нормальні напруження, а дотичні будуть рівні нулеві (рис. 3.1, в). Площинки, на яких дотичні напруження рівні нулеві– головні площинки. Нормальні напруження, що діють на головних площинках – головні напруження.

В кожній точці тіла можна вказати три взаємно перпендикулярні площинки, на яких діють головні напруження .

В залежності від того, скільки головних напружень відмінні від нуля, відрізняють об’ємний (рис. 3.2, а), плоский (рис. 3.2, б) і лінійний (рис. 3.2, в) напружений стан.

s3		s3
		s3
	s1	s1	s1
		s1	s1

s2

а)

б)

в)

рис. 3.2

На рис. 3.2 показані лише розтягуючі головні напруження, однак вони можуть бути як розтягуючими так і стискуючими.

При аналізі плоского (лінійного) напруженого стану виникають два типи задач:

1)при відомих головних напруженнях, визначити нормальні і дотичні напруження, що виникають на заданій площинці (пряма задача);

2)при відомих нормальних і дотичних напруженнях, що виникають на двох довільних взаємно перпендикулярних площинках, знайти положення головних площинок і визначити величину головних напружень (обернена задача).

-21 -

3.2. Аналіз плоского напруженого стану.

1. Пряма задача.

Плоским напруженим станом називають такий, коли три із компонент напружень рівні нулеві.

Нехай задано елементарний кубик, грані якого є головними площинками. На цих площинках діють головні напруженняs1 , s2 (рис.3.3. а) Потрібно визначити напруження на заштри-

хованій	s2
s3	s2
	na
	sa
s1	a

s1

ta

а)

б)

рис. 3.3

площинці, перпендикулярній до фасадної грані і довільно нахиленій до бокових граней, зовнішня нормаль до якої утворює з напрямком напруженняs1 кут a , який вважатимемо додатнім при відкладанні проти ходу стрілки годинника (рис.3.3, б).

Напруження на таких площинках знаходяться за формулами:

			2			2		ü
sa = s1 cos a +s2 sin							a	ü	(3.3)
sa = s1 cos a +s2 sin							a	ï	(3.3)
ta =	s	1	-s	2	sin 2a			ý
		1		2				ï
			2					ï
			2					þ

Приклад 3.1.

На гранях виділеного з тіла елемента діють головні напруження, що показані на

s3 =10 МПа

рис. 3.4. Визначити нормальні і дотичні напруження

на площинці, нахиленій до горизонтальної осі під вка-

заним на рисунку кутом a = 300 .

Із

формул (3.3), врахувавши,

що напруження

s1

s1 = 40 МПа

s3 = -10 МПа (стиск) і кут a = -300

(за ходом стріл-

ки годинника) отримуємо:

ta

a

sa = s1 cos2 a +s3 sin2 a =

æ

ö

2

æ 1 ö2

sa

3

+ (-10)

n

=

40 ×ç

÷

×ç

÷ = 27,5 МПа ;

a

ç

2

÷

è 2 ø

è

ø

s3

tа

=

s1

-s3

sin 2a =

2

рис. 3.4

- 22 -

= 40 - (-10) sin 2(-300 )= -21,5 МПа.
2
Тобто, на нахиленій площинці виникає розтягуюче напруження sa = 27,5 МПа і дотичне
напруження, що оббігає елемент проти ходу стрілки годинника (знак “-“) ta = -21,5 МПа .
2. Обернена задача.
При плоскому напруженому стані задані нормальні і дотичні напруження на двох взаємно
перпендикулярних площинках з нормалями, що паралельні до осейx і y (рис. 3.5). Потрібно
s y			знайти положення головних площинок і величину го-
s y			ловних напружень.
txy	s	2	Положення	головної площинки по		відношенню
		2	до площинки з	напруженнямs x задається		кутом a ,
	txy		до площинки з	напруженнямs x задається		кутом a ,
	txy		що знаходиться з формули
		sx	tg 2a = -	2t yx		(3.4)
			tg 2a = -			(3.4)
			s x -s y
		a	При чому, коли s x		> s y ,то знайдений кут a – це
		s1	кут між напрямками s x		і s1 , коли s x < s y	- між на-
		s1	прямками s x і s2 .
			прямками s x і s2 .
			Величина головних напружень знаходиться з ви-

рис. 3.5

разу :

s

1

ü

s

x

+s

y

æ s

x

-s

y

ö2

+t yx2

(3.5)

ý =

2

± ç

2

÷

s2 þ

è

ø

s y

= 10 МПа

Приклад 3.2.

Для

елемента,

що показаний

txy

s1

на рис. 3.6, знайти положення головних площинок

і визначити головні напруження.

a

sx

= 50 МПа

Положення головних площинок :

tg 2a = -

2t yx

= -

2 (-30)

= 1

s x -s y

txy

= 30 МПа

50 - (-10)

2a = 450 ,

a = 22030'

(проти

ходу

стрілки годин-

s2

ника).

Оскільки

s x > s y ,

то

знайдений кут a це

кут між напрямками s x і s1 .

рис. 3.6

Величина головних напружень:

s1 ü

s x

+s y

±

æ s x

-s y

ö2

2

=

50

+ (-10)

±

æ 50 - (-10) ö2

2

= 20

± 42, 3;

ý =

2

ç

2

÷

+t yx

2

ç

2

÷ + (-30)

s2 þ

è

ø

è

ø

s1 = 20 + 42,3 = 62,3 МПа

( розтяг)

s 2 = 20 - 42, 3 = -22, 3 МПа ( стиск ).

Головні напруження і їх напрямки показані на рис. 3.6.

- 23 -

3.3. Головні напруження та деформації при об’ємному напруженому стані.

Якщо відомий тензор напружень в системі координат0xyz, то напруження на довільній площадці, нормаль якої складає з осями системи координат кутиa , b , g , визначаються за формулами

X n

= s x cosa +txy cos b +txz cosg

Yn

=txy cosa + s y cos b +t yz cosg

Zn

= txz cosa +tzy cos b +s z cosg

На окремих площадках , які визначаються кутами a , b , g можуть виникати тільки но-

рмальні напруження. Ці площадки є головними.

Для об’ємного напруженого стану величини

z

Zn

головних напружень визначаються із кубічного рів-

няння

r

s

3

- I1 s

2

+ I2 s - I3

= 0 ,

(3.6)

n

де I1 , I2 ,

I3 –

інваріанти

напруженого

стану, що

Yn

знаходяться із виразів

X n

I1 = s x +s y +s z

ü

I2 = s xs y +s ys z +s zsx -txy2

-tyz2 -tzx2

ï

ý (3.7)

y

I

3

= s s s

z

+ 2t t t

-s t 2

-s t 2 ï

x y

xy yz zx

x

yz

y zx

z

xy þ

Величини (3.7) є інваріантними відносно ви-

x

бору системи координат .

При дії головних напруженьs1 , s2 , s3 в

рис. 3.7

виділеному з тіла безмежно малому елементі вини-

катимуть

в напрямку

цих

напружень деформації

e1 , e2 , e3 , які визначаються із узагальненого закону Гука:

e1 =

e2 =

e3 =

1

és

- m s

+s

ù

ü

E ë

1

(

2

3 )û ï

1

ï

és

- m (s

+s

)ù

ï

(3.8)

2

3

1

ý

E

ë

û

ï

1

és

3

- m

(

s

1

+s

ù

ï

E

ë

2 )ûï

þ

3.4. Розрахунок на міцність при складному напруженому стані. Теорії міцності.

Найважливішою задачею інженерного розрахунку елементу конструкції є оцінка міцності цього елементу при відомому напруженому стані.

Для лінійного напруженого стану(розтяг або стиск) це задача розв’язується просто, оскільки в цьому випадку значення граничних напружень можна визначити експериментально. За величиною граничних напружень знаходять допустимі їх значення, ввівши коефіцієнт запа-

су міцності і формулюють умову міцності для лінійного напруженого стану таким чином

- 24 -

smax

= s1 £ [s ]

(3.9)

Значно складнішим є випадок об’ємного чи плоского напруженого стану, коли в точках є два або три головні напруження s1 , s2 , s3 . Досліди показують, що для того самого матері-

алу граничний стан може наступати при різних граничних значеннях напружень s1 , s2 , s3 , в

залежності від співвідношень між ними. Тому експериментально встановити граничні значення головних напружень практично неможливо не тільки тому, що такі експерименти важко здійснити , але й тому, що їх треба було б проводити надзвичайно багато (при різних співвідношеннях s1 , s2 , s3 ). У зв’язку з цим, для розв’язування поставленої задачі пішли іншим шля-

хом – шляхом допущення про переважаючий вплив на міцність матеріалу того чи іншого фактору. Вважають, що руйнування матеріалу при довільному напруженому стані відбувається тільки тоді, коли величина цього фактору досягне граничного значення. Граничне значення фактору, що визначає міцність, визначають з експериментів, зокрема при лінійному напруженому стані (при розтягу або стиску), який легко здійснити.

Розрахунок на міцність при складному напруженому стані здійснюється виходячи із теорій (гіпотез) міцності, коли ця міцність оцінюється на основі механічних характеристик матеріалу, що одержані при його випробуванні при лінійному напруженому стані(при розтягу чи стиску).

Теорії міцності розділяють на три групи:

а) теорія міцності для крихкого руйнування; б) теорія міцності для пластичного руйнування;

в) теорія міцності для матеріалів, що по різному опираються розтягу і стиску (теорія міцності Мора).

Крихке руйнування – це руйнування матеріалів з дуже малими пластичними деформаціями. Це руйнування відбувається шляхом відриву однієї частини тіла від другої. Характеристи-

кою міцності матеріалу в цьому випадку є величина нормального напруження відривуs .

відр

Наближено приймають sвідр = s м , де s м – границя міцності матеріалу.

Пластичне руйнування – руйнування пов’язане з великими пластичними деформаціями, що виникають внаслідок зміщення (зсуву) одних частин тіла відносно інших. Деформація зсуву пов’язана з дотичними напруженнями t . Тому опір матеріалу пластичному руйнуванню характеризується величиною напруження tт , що відповідає границі текучості матеріалу.

На прикладі розтягу встановлено, що

s3

s2

	tт	=	sт	.

		2
	Серед теорій міцності для крихкого руйнування прак-
	тичне застосування знаходять :
	1)	теорія найбільших нормальних напружень(I			теорія
s1		міцності);
	2)	теорія найбільших лінійних деформацій(II			теорія

міцності).

Згідно з теорією найбільших нормальних напружень переважаючий вплив на міцність при об’ємному стані з -на пруженнями s1 ³ s2 ³ s3 (рис.3.8) має величина найбільшого

нормального напруження s1 . Вважається, що міцність пропадає тоді, коли

рис. 3.8

s1 = s гр

- 25 -

Материал: Частина2

Смотрите также: