Документ: Частина2, страницы 16-20 | База учебных материалов

M k	dA	M k = òtr × dA ×r = òtr × r × dA	(6.2)
M k

		При цьому вважається, що дотичні напруження tr перпендику-
r		При цьому вважається, що дотичні напруження tr перпендику-
r	tr	лярні до вектора r .
	tr	лярні до вектора r .
		Останній вираз дає інтегральну залежність між крутним момен-
		том М к і дотичними напруженнями tr	в перерізі вала. Ця залежність
		може задовольнятись при різних законах розподілуtr . Для того, щоб
рис. 6.3.		визначити величину tr із виразу (6.2)	потрібно знати дійсний закон
		розподілу дотичних напружень у поперечному перерізі. Цей закон мож-

на одержати лише на основі дослідних даних.

Якщо закручувати вал довільного поперечного перерізу, то плоскі до початку навантаження поперечні перерізи при навантаженні перестають бути плоскими, депланують. Лише при крученні стержнів круглого або кільцевого поперечних перерізів депланації відсутні. Для таких перерізів, на основі дослідних даних, встановлено, що при крученні:

а) поперечні перерізи вала, залишаючись плоскими і перпендикулярними до його ,осі повертаються один відносно одного на певний кут, що називається кутом закручування j ;

б) віддаль між перерізами при закручуванні не змінюється; в) прямі лінії (радіуси), проведені у поперечних перерізах вала при закручуванні не ви-

кривляються, тобто залишаються прямими.

Якщо використати ці факти і взяти до уваги, що при крученні має місце деформація зсуву і виконується закон Гука при зсуві (5.2), то отримаємо наступний закон зміни tr в поперечному перерізі вала

tr =G × gr

=G ×

dj

× r

(6.3)

dx

Підставивши останній вираз для tr в формулу (6.2), одержуємо

dj

M k

(6.4)

=

dx

G × I p

де I p = òr2 × d A - полярний момент інерції поперечного перерізу вала (див 4.3).

A

Після

підстановки виразу

tmax

для

dj

із

співвідношення(6.4)

в

tr

dx

рівняння (6.3), отримуємо формулу

r

для

дотичного напруження

при

d

кручення вала круглого перерізу:

tr =

M k ×r

(6.5)

I p

Епюри дотичних напружень

tmax

tr

для круглого і кільцевого пере-

різів вала показані на рис.6.4.

d

D

a)

б)

рис. 6.4.

- 36 -

Максимальне дотичне напруження виникає при

r =rmax . Якщо ввести позначення

I p

=Wp

(6.6)

rmax

де Wp - геометрична характеристика,

що називається полярним моментом опору поперечного

перерізу, то формула для визначення tmax

набирає вигляду

tmax

=

M k

(6.7)

Wp

Для круглого поперечного перерізу вала з радіусом r і діаметром d (рис.6.4а) полярний момент

опору

I p

=

pr 4

pr 3

pd 3

0,2d

3

(6.8)

Wp =

¸ r =

=

»

rmax

2

16

Для кільцевого перерізу (рис.6.4б)

Wp = pD4 (1 - a4 )¸ D = pD3 (1 - a4 )» 0,2D3 (1 - a4 ),

(6.9)

32

2

16

де a = d .

D

Вираз (6.4) служить для виведення формули для величини кута закручення j одного кінцевого

перерізу вала довжиною l відносно другого. Інтегруючи цей вираз, одержимо

j =

M k ×l

(6.10)

G × I p

6.3. Розрахунок валів на міцність і жорсткість.

При крученні вала, на його поверхні має місце напружений стан чистого зсуву з напру-

женнями tmax

(рис.6.5), що обчислюються за формулою (6.7). Головні напруження в цьому ви-

падку s1 =tmax ;s2 =0;s3 =- tmax . Якщо при розрахунку на міцність використати III теорію мі-

цності, то умова міцності набирає вигляду

sIII

£ [s]

σ3 = -τmax

= s - s

3

σ1 = τmax

екв

1

M k

або

sеквIII

= 2 × tmax £ [s].

τmax

Звідки tmax £ 0,5 ×[s].

Якщо

ввести

позначення

σ1

τmax

σ3

M k

0,5 ×[s]=[t], то умова міцнос-

ті набирає вигляду

рис. 6.5.

tmax

= M k

£ [t ]

(6.11)

Wp

Якщо при розрахунку на міцність використатиIV теорію міцності, то умова міцності

(6.11) залишиться без зміни, якщо прийняти

[t]= 0,58 ×[s].

Підставивши в умову міцності(6.11) значення Wp із формул (6.8), (6.9), отримаємо ви-

рази для підбору d круглого вала

d ³ 3	M k	(6.12)
	0,2[t ]

- 37 -

і діаметрів D і d кільцевого вала

	M k	(6.13)
D = 3	0,2[t ]×(1- a4 ); d = aD.	(6.13)

Зауважимо, що при передачі великих закручуючих моментів вали кільцевого перерізу є більш раціональні. Про це свідчать епюри t (рис.6.4) для круглих і кільцевих валів. З епюри t для круглих валів видно, що матеріал вала, який розташований біля осі вала, майже не працює.

Вкільцевому валі цей матеріал відсутній.

Вдеяких випадках, крім розрахунку на міцність, є необхідність виконати і розрахунок вала на жорсткість. Перевірка жорсткості полягає в порівнянні максимального кута закручування

віднесеного до одиниці довжини вала qmax з допустимим відносним кутом закручування [q]:

qmax £ [q],

(6.14)

де qmax = max j . l

Кут закручування j в радіанах обчислюється з формули (6.10).

Оскільки допустимі кути закручення [q] найчастіше задаються в градусах, то перейшовши в виразі (6.14) до градусів, одержуємо умову жорсткості

M k	×	1800	£ [q ]0	(6.15)
GI p		p

Приклад 6.2. Для зображеного на рис. 6.6 вала круглого поперечного перерізу побудувати епюру крутних моментів, та, виходячи з умови міцності, підібрати діаметр вала, якщо

[t ] = 6 кН / см2 .

Знаходимо величини крутних моментів на ділянках вала

M KAB = M1 = 10 кНм ;

M KBC = M1 - M 2 = -30 кНм ;

M KCD = M1 - M 2 + M 3 = 20 кНм .

M 4 = 20 kH × м M 3 = 50 kH × м M 2 = 40 kH × м M1 = 10 kH × м

Д C B A

	20
+	10	M k
	+	M k

-

30

За цими даними побудована епюра М к .

Як видно з епюриМ к

найбільший крутний момент виникає на ділянці

BC : max М к =30 кНм.

Розрахунок на міцність виконуємо для цього моменту. Діаметр круглого вала, знайдений із виразу

(6.12) :

d ³ 3	M k		= 3	30 ×100	;
	0,2[t ]			0,2 ×6

d ³ 13, 5 см .

рис. 6.6.

- 38 -

VII. Прямий згин.

7.1. Основні поняття. Навантаження і закріплення балок.

Стержень з прямою віссю, що працює на згин, називають балкою. Ознакою деформації

згину є зміна кривизни балки. Згин,

при якому скривлення осі відбувається в одній з її голо-

y

F

q

вних площин,

тобто

у пло-

M

щині, утвореній віссю балки

і однією з головних центра-

льних

осей

її

поперечного

x

а)

перерізу,

називають

прямим

z

згином. Коли ж зігнута вісь

балки не лежить в головній

площині, то згин називають

косим

згином.

Дослідимо

спочатку прямий згин балки

y

F

q

M

сталого

поперечного

перері-

зу,

що

має принаймі одну

x

б)

вісь

симетрії.

Вісь x

прямо-

кутної

системи

координат

сумістимо з віссю балки, а

осі y, z - з головними центра-

рис. 7.1.

льними осями її поперечного

перерізу,

причому

будемо

вважати, що вертикальна вісь y є віссю симетрії перерізу(рис.7.1а). Будемо вважати, що прикладене до балки навантаження лежить в площині симетріїOxy. Очевидно, що зігнута вісь балки буде лежати в цій же площині.

На розрахунковій схемі балку зображують у вигляді її осі(рис.7.1б). При цьому силова площина Oxy співпадає з площиною рисунка.

Для того щоб забезпечити нерухомість балки, при дії на неї навантаження, її слід закріпити. Конструктивні форми опор різноманітні. При розрахунку їх схематизують і представляють у вигляді трьох типів опор :

1)шарнірно-рухома опора (рис.7.2а), в якій виникає тільки одна складова реакції - Ra , що направлена вздовж опорного стержня.

2)шарнірно-нерухома опора (рис.7.2б), в якій дві складові Ra і H a .

3)жорстке защемлення (рис.7.2в), де виникають три складові – вертикальна Ra , гори-

	RA			RA	M A	RA
			H A		M A
A			H A	A	H A	A
A						в)


		a)		б)

рис. 7.2.

зонтальна H a , опорний момент

M a .

Для плоскої системи сил можна скласти три незалежних рівняння статики для визначення невідомих

реакцій.

Коли закріплення балки таке, що реакції в опорах можна визначити з рівнянь статики, балку називають статично визначною, а якщо реакцій більше ніж рівнянь статики – статично невизначною.

- 39 -

Найпростіші статично визначні балки:

а) балка, кінці якої на опорах (рис.7.3а). Це – проста балка б) балка з одним защемленим і другим вільним краєм (рис.7.3б). Це – консоль.

в) балка на двох опорах, що має одну або дві консолі(рис.7.3в). Таку балку називають консольною балкою.

A

B

A

B

б)

a)

в)

рис. 7.3.

Відстань між опорами балки або довжину консолі називаютьпрольотом. Бувають одно-

прольотні, двопрольотні і інші балки.

Навантаження на балку складають наступні сили (рис.7.4): зосереджені сили F [кН], па-

y

ри сил з моментом M [кНм], розподіле-

не по довжині навантаження з інтен-

RA

F

q

RB

M

сивністю q [кН/м]. Будемо вважати, що

H A

x

навантаження q розподілене по довжи-

A

B

ні рівномірно (q=const). Якщо до балки

прикладене розподілене навантаження,

то повинна бути вказана довжина, на

a

якій воно діє. Навантаження F і q вва-

жатимемо перпендикулярним

до осі

рис. 7.4.

балки.

Для визначення

опорних

реакцій в

опорах балки складають рівняння статики (рис.7.4):

а)

сума проекцій всіх сил на вісьx балки ( åX =0 ) ; звідки визначають H A . В випадку, коли

навантаження на балку перпендикулярне до осі балки, одержуємо H A =0 ;

б)

сума моментів всіх сил відносно опорного шарніруA рівна нулю åM A =0 . Звідки знахо-

дять величину RB ;

в)

сума моментів всіх сил відносно опорного шарніраB åM B =0 . Звідки знаходять величи-

ну RA .

Якщо реакції RA

i RB визначені, то слід перевірити чи вони визначені правильно. Для

цього використовують рівняння åY = 0 .

7.2. Поперечна сила Q(x) і згинальний момент M(x).

Під дією зовнішніх сил в перерізах балки, як протидія їм, виникають внутрішні сили. Для з’ясування характеру цих сил і визначення їх величин використовують метод перерізів. Встановлено, що цими внутрішніми силами єзгинальний момент M(x) і поперечна сила Q(x) (рис.7.5), для визначення яких можна сформулювати наступні правила:

·Поперечна сила Q(x) в довільному перерізі балки чисельно дорівнює алгебраїчній сумі проекцій на вертикальну вісьy зовнішніх сил, що знаходяться з однієї сторони(зліва або справа) від даного перерізу. Додатнім при цьому вважаються ліві сили, які напрямлені вгору, або праві – які напрямлені вниз.

-40 -

Материал: Частина2

Смотрите также: