Материал: Цифровая обработка сигналов. методические указания к выполнению лабораторных работ № 4. Кузьменко Р.В
рекурсивнаяЛДС, реакция которой зависит от текущего и предшествующих отсчетов воздействия и предшествующих отсчетов реакции, т. е.:
ak ≠0 хотя бы для одного значения k;
нерекурсивная ЛДС, реакция которой зависит только от текущего и= 0 длявсехотсчетов. воздействия, т. е.:
Рекурсивные и нерекурсивные ЛДС имеют соответственно бесконечную
и конечную ИХ, отсюда их тождественные названия:
БИХЛДС (IIR — InfiniteImpulseResponse); |
|
|
КИХЛДС (FIR — Finite Impulse Response). |
|
|
Импульсная характеристика КИХ ЛДС совпадает с коэффициентами bi |
||
РУ (1.2): |
( ) = , = |
(1.3) |
|
|
|
В MATLAB вычисление реакции по формуле свертки (1.1) выполняется с
помощью= (функции, ) :
где h — вектор отсчетов ИХ длины N1; бесконечная ИХ рекурсивной ЛДС ограничивается до конечной длины; x — вектор отсчетов воздействия длины N2; y — вектор отсчетов реакции длины L = N1 + N2 – 1 (длина свертки). Вычисление реакции по РУ (1.2) выполняется с помощью функции:
y = filter(b,a,x)
где b, a — векторы коэффициентов [b0, b1, ..., bN-1] и [1, a1, ..., aM-1]; x —
вектор отсчетов воздействия; y — вектор отсчетов реакции с длиной, равной длине воздействия.
Обратим внимание на то, что коэффициенты ak записываются без учета знака "минус", стоящего перед суммой в РУ (1.2).
Импульсная характеристика вычисляется с помощью функции: h = impz(b,a,N)
где b, a — определены ранее для функции filter; N — количество отсчетов (длина) ИХ; h — вектор отсчетов ИХ.
Импульсная характеристика может также вычисляться с помощью функции filter, если в качестве воздействия используется цифровой единичный импульс (7.10).
1.2. Описание ЛДС в z-области
Основной характеристикой ЛДС в z-области является передаточная функция H(z) — z-изображение ИХ h(n):
6
( ) ∞
= ( ) −
=0
Передаточной функцией ЛДС называют отношение z-изображения
реакции к z-изображению воздействия при ННУ:
( ) = ( )/ ( ).
Данное отношение легко получить, выполнив Z-преобразование РУ (1.2).
Передаточная функция рекурсивной ЛДС имеет |
вид дробно-рациональной |
|
|
∑=0−1 − |
(1.4) |
функции |
( ) = 1 + ∑=1−1 − |
|
|
|
|
Показатель степени z−i соответствует задержкам воздействия, а z−k — задержкам реакции; коэффициенты ak передаточной функции и РУ (1.2) имеют противоположные знаки.
Для нерекурсивных ЛДС передаточная функция, с учетом (1.3), принимает вид:
−1 |
= |
−1 |
|
( ) = − |
( ) − |
(1.5) |
|
=0 |
|
=0 |
|
Порядок рекурсивной ЛДС равен порядку знаменателя передаточной функции (M-1) при соблюдении условия (N-1) ≤(M-1) (по умолчанию).
Порядок нерекурсивной ЛДС равен (N-1) .
Нулями передаточной функции называют значения z, при которых она равна нулю, а полюсами (особыми точками) — значения z, при которых ее знаменатель равен нулю.
Картой нулей и полюсов называют z-плоскость с нанесенной единичной окружностью и символически изображенными нулями и полюсами.
По карте нулей и полюсов можно сделать вывод об устойчивости ЛДС: полюсы устойчивой ЛДС располагаются внутри единичного круга [1].
Комплексно сопряженные нули zk1,2 и полюсы z k1,2 |
представляют в |
||||
показательной форме, где аргументы — углы (в радианах |
) на комплексной z- |
||||
плоскости: |
|
1,2 |
= ± |
|
|
|
(1.6) |
||||
|
1,2 |
= |
± |
|
|
|
|
|
|
||
7
Помимо общего вида (8.4), передаточная функция рекурсивных ЛДС может быть представлена следующими своими разновидностями1:
произведение простейших множителей: |
|
|
|
(1.7) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
( ) = 0 |
|
(1 − −−11) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
(1 − |
|
) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
||||||
В |
|
, |
— соответственно k-е нуль и полюс передаточнойфункции (1.4). |
||||||||||||||
где |
|
|
|||||||||||||||
|
общем случае нули и полюсы — попарно комплексно сопряженные |
||||||||||||||||
числа; произведение множителей второго порядка: |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
−1 |
2 |
|
−2 |
|
(1.8) |
|
|
|
|
|
|
|
( ) = =1 |
1 + 1 −1 + 2 −2 |
|
|
||||||||
где b0k, b1k, b2k,a1k, a2k— вещественные коэффициенты рекурсивных |
|||||||||||||||||
звеньев |
|
int |
— |
= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2-го порядка, называемых также биквадратными; L — количество |
|||||||||||||||||
звеньев, |
|
равное |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
увеличения. |
|
|
|
функция округления |
до |
ближайшего целого в сторону |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В |
|
MATLAB используется |
представление |
|
передаточной |
функции в |
|||||||||||
эквивалентном виде, получаемом при вынесении за скобки коэффициентов b0k: |
||||||||||||
|
( ) |
|
|
|
−1−1 + 2 −−22 |
|
|
|||||
|
= 1 + 1 |
|
(1.9) |
|||||||||
|
|
=1 1 + 1 |
|
|
+ 2 |
|
|
= |
/ |
|||
где G=b01 |
|
|
|
|
= |
|
/ ; |
|||||
b02 … b0L — коэффициент усиления, а соответствующие |
||||||||||||
сумма простых дробей: |
|
1 |
|
1 |
|
|
2 |
2 |
|
|||
связаны соотношениями: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
коэффициенты |
|
|
= |
|
|
|
−1 |
|
|
|||
|
( ) = ( ) |
|
|
|
(1.10) |
|||||||
|
|
−1 |
−1 |
1 − |
|
|
|
|||||
|
|
=1 |
=1 |
|
|
|
||||||
1 Приведены разновидности, представленные в MATLAB стандартными функциями.
8
где z k — простой (не кратный) k-й полюс передаточной функции Ak — коэффициент разложения при k-м полюсе;Ak и z k — всегда числа одинакового типа, комплексные или вещественные.
При одинаковых порядках числителя и знаменателя (M − 1) = (N − 1) в
(1.4) будем иметь в (1.10) целую часть — вещественную константу C: |
|
|||
( ) = |
−1 |
|
+ |
(1.11) |
=1 |
1 − − 1 |
|
||
В MATLAB для представления передаточной функции (8.4) в виде произведения простейших множителей (8.7) используется функция:
[q,p,K] = tf2zpk(b,a)
где b, a — векторы коэффициентов числителя [b0, b1, ..., bN-1] и
знаменателя [1, a1, ..., aM-1] передаточной функции (1.4); q, p — векторыстолбцы нулей z°k и полюсов z k передаточной функции (1.7), представленные в алгебраической форме; K — коэффициент усиления b0 в (1.7).
Представление передаточной функции (1.4) в виде произведения множителей второго порядка (1.9) выполняется с помощью функции:
[s,G] = tf2sos(b,a)
где b, a — определены ранее для функции tf2zpk; G — коэффициент усиления G в (1 .9); s — матрица коэффициентов числителей и знаменателей
биквадратных звеньев передаточной функции (1.9) в виде: |
(1.12) |
|||
1 11 |
21 |
1 11 |
21 |
|
1 11 |
21 |
1 11 |
21 |
|
… … … … … … … … |
|
|||
1 1 |
2 |
1 1 |
2 |
|
Для представления передаточной функции (1.4) в виде суммы простых
[дробей, , ] (1=.11) применяется( , ) функция:
где b, a — определены ранее для функции tf2zpk; r, p — векторы-столбцы коэффициентов разложения Ak и полюсов z k в (1.11), представленные в алгебраической форме; c — целая часть C в (1.11); при ее отсутствии выводится пустая матрица c=[].
Карта нулей и полюсов передаточной функции выводится с помощью функции:
zplane(b,a)
9
1.3. Описание ЛДС в частотной области
Основной характеристикой ЛДС в частотной области является частотная характе-
ристика (ЧХ) H(e jω) — Фурье-изображение ИX h(n): |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ( ) − |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
где |
— нормированная частота: |
|
|
|
(1.13) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= (рад) |
|
|||||
Частотная характеристика H(ejω) связана с передаточной функцией H(z) |
||||||||||||||
соотношением: |
|
|
= ( )= |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
(1.14) |
|||||||||
что позволяет путем подстановки = в (1.4) получить ее в виде: |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
∑=0−1 − |
(1.15) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 + ∑=1−1 |
− |
|
|||||
Частотную |
характеристику |
( |
|
) |
(1.15) можно |
представить в |
||||||||
показательной форме: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
= arg( ) = ( ) ( ) |
(1.16) |
|||||||||
амплитудно- |
( ) |
и аргумент |
( ) |
частотной характеристики соответствуют |
||||||||||
Модуль |
|
|
|
|
|
|||||||||
частотной и фазочастотной характеристикам ЛДС.
Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) отображает частотную зависимость отношения амплитуды реакции к амплитуде гармонического воздействия в установившемся режиме.
Фазочастотная характеристика (ФЧХ) отображает частотную зависимость разности фаз реакции и гармонического воздействия в установившемся режиме.
10