Материал: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.3.2003

Òàêîìó ñîîòíîøåíèþ ïðèáëèçèòåëüíî è óäîâëåòâîðÿåò ïîëå, ïîñòðîåííîå íà

ðèñ. 24.21.

24.17. Ãðàôè÷åñêèé ìåòîä ïîñòðîåíèÿ êàðòèíû ïîëÿ

äëÿ íåîäíîðîäíîé èçîëèðóþùåé ñðåäû

Âñå âûøåèçëîæåííîå îòíîñèëîñü ê îäíîðîäíîé ñðåäå. Äîïóñòèì, ÷òî èçîëèðóþ-
ùàÿ ñðåäà ñîñòîèò èç íåñêîëüêèõ îäíîðîäíûõ äèýëåêòðèêîâ ñ ðàçëè÷íûìè çíà-
÷åíèÿìè

e

, ïðè÷åì ïîâåðõíîñòè ðàçäåëà ìåæäó äèýëåêòðèêàìè äëÿ ïëîñêîïàðàë-

ëåëüíîãî ïîëÿ ÿâëÿþòñÿ öèëèíäðè÷åñêèìè ïîâåðõíîñòÿìè è äëÿ ïîëÿ òåë
âðàùåíèÿ — ïîâåðõíîñòÿìè âðàùåíèÿ âîêðóã îáùåé îñè. Ïðè ýòîì ëó÷øå èçî-
áðàæàòü íà ðèñóíêå íå ëèíèè íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ, à ëèíèè ýëåêòðè÷åñêîãî ñìå-
ùåíèÿ, òàê êàê íà ïîâåðõíîñòè ðàçäåëà äâóõ äèýëåêòðèêîâ òðóáêè ñìåùåíèÿ íå
ïðåòåðïåâàþò ðàçðûâà.

Òàê êàê

D

= e

E

è

DY

D

= eDY

E

, òî áóäåì èìåòü äëÿ ïëîñêîïàðàëëåëüíîãî ïîëÿ

E

U

n

a

p

D

= -

=

D

D

DY

D

1

1

e

,

ãäå

Y

1

D

= Y

D

/

l

— ïîòîê ñìåùåíèÿ, ðàññ÷èòàííûé íà åäèíèöó äëèíû ïðîâîäíè-

êîâ. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ïëîñêîïàðàëëåëüíîãî ïîëÿ ïîëó÷àåòñÿ óñëîâèå

D
D

n
a

k

p

= e

1

,

ãäå

k

1

=

const è

e

p

— àáñîëþòíàÿ äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü â òîé îáëàñòè,

ãäå ñòðîèòñÿ ÿ÷åéêà ñåòêè ïîëÿ.

Äëÿ ïîëÿ òåë âðàùåíèÿ

E

U

n

r

a

p

D

= -

=

D

D

DY

D

1

2

p e

è

D
D

n
a

r

k

p

= e

2

,

ãäå

k

2

=

const.

Êðîìå òîãî, íåîáõîäèìî ïðèíÿòü âî âíèìàíèå óñëîâèå ïðåëîìëåíèÿ ëèíèé

ýëåêòðè÷åñêîãî ñìåùåíèÿ íà ïîâåðõíîñòè ðàçäåëà äâóõ äèýëåêòðèêîâ (ñì. § 24.6).

24.18. Òåëî èç äèýëåêòðèêà âî âíåøíåì ýëåêòðîñòàòè÷åñêîì ïîëå

Ïðàêòè÷åñêîå çíà÷åíèå èìååò çàäà÷à î ðàñ÷åòå ïîëÿ â ñëó÷àå, êîãäà òåëî èç äè-
ýëåêòðèêà âíîñèòñÿ â çàäàííîå âíåøíåå ïîëå. Ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåííûå ÷àñòè-
öû, âõîäÿùèå â ñîñòàâ àòîìîâ è ìîëåêóë âåùåñòâà, ñìåùàþòñÿ â íàïðàâëåíèè
ïîëÿ, à îòðèöàòåëüíî çàðÿæåííûå ÷àñòèöû — â ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè.
Íà ïîâåðõíîñòè òåëà ïîÿâëÿþòñÿ ñâÿçàííûå çàðÿäû ðàçíûõ çíàêîâ. Ýòè ñâÿçàí-
íûå çàðÿäû ñîçäàþò ñâîå ïîëå êàê âíóòðè òåëà, òàê è âíå åãî. Íàïðÿæåííîñòü

E

ðåçóëüòèðóþùåãî ïîëÿ ÿâëÿåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêîé ñóììîé íàïðÿæåííîñòè

E

0

âíåøíåãî ïîëÿ è íàïðÿæåííîñòè

E

1

ïîëÿ ñâÿçàííûõ çàðÿäîâ. Òðóäíîñòü çàäà÷è

Ãëàâà 24. Ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå

61

çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ïîëÿðèçàöèÿ âåùåñòâà, à ñëåäîâàòåëüíî, è ñâÿçàííûå çà-
ðÿäû îïðåäåëÿþòñÿ ðåçóëüòèðóþùåé íàïðÿæåííîñòüþ

E

, êîòîðàÿ ñàìà çàâèñèò

îò ñâÿçàííûõ çàðÿäîâ.

Åñëè òåëî èç äèýëåêòðèêà íàõîäèòñÿ â ñðåäå, äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü

êîòîðîé ìåíüøå äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè âåùåñòâà òåëà, òî âíóòðè òåëà
ïîëå ñâÿçàííûõ çàðÿäîâ íàïðàâëåíî ïðîòèâ âíåøíåãî ïîëÿ. Ýòî íåòðóäíî óñìîò-
ðåòü èç ðèñ. 24.22. Òàêîå ïîëå ñâÿçàííûõ çàðÿäîâ âíóòðè òåëà íàçûâàþò äåïîëÿ-
ðèçóþùèì ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì, è åãî íàïðÿæåííîñòü îáîçíà÷àþò ÷åðåç

E

ÌÉ

.

Çàäà÷à ðàñ÷åòà çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì. Íåîáõîäèìî íàéòè ðàñïðåäåëåíèå

ñâÿçàííûõ çàðÿäîâ, ñîçäàþùèõ òàêîå ïîëå, êîòîðîå, áóäó÷è íàëîæåííûì íà çà-
äàííîå âíåøíåå ïîëå, äàåò ðåçóëüòèðóþùåå ïîëå, óäîâëåòâîðÿþùåå ãðàíè÷íûì
óñëîâèÿì íà ïîâåðõíîñòè òåëà — ðàâåíñòâó êàñàòåëüíûõ ñîñòàâëÿþùèõ âåêòîðà

E

è ðàâåíñòâó íîðìàëüíûõ ñîñòàâëÿþùèõ âåêòîðà

D

ïî îáå ñòîðîíû ïîâåðõíî-

ñòè. Â ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå ðàññìîòðåí ïðîñòåéøèé ïðèìåð çàäà÷è òàêîãî òèïà.

24.19. Äèýëåêòðè÷åñêèé øàð âî âíåøíåì îäíîðîäíîì ïîëå

Ïóñòü øàð èç äèýëåêòðèêà âíåñåí âî âíåøíåå îäíîðîäíîå ïîëå íàïðÿæåííîñòè

E

0

, ñóùåñòâóþùåå â ïóñòîòå. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî øàð ïîëÿðèçóåòñÿ îäíîðîäíî,

ò. å. ÷òî îäíîðîäíî ðåçóëüòèðóþùåå ïîëå, ñîçäàþùåå ïîëÿðèçàöèþ, è, ñëåäîâà-
òåëüíî, îäíîðîäíî è äåïîëÿðèçóþùåå ïîëå.

Îáîçíà÷èì íàïðÿæåííîñòü äåïîëÿðèçóþùåãî ïîëÿ ÷åðåç

E

ÌÉ

. Ñëåäîâàòåëüíî,

íàïðÿæåííîñòü ðåçóëüòèðóþùåãî ïîëÿ âíóòðè øàðà áóäåò

¢¢ =

-

ÌÉ

E

E

E

0

.

Íàïðàâèì îñü

OZ

â ñòîðîíó âíåøíåãî ïîëÿ (ðèñ. 24.23). Âñëåäñòâèå ñèììåò-

ðèè îòíîñèòåëüíî îñè

OZ

äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü ïîëå â îäíîé ìåðèäèàííîé

ïëîñêîñòè.

Ïîòåíöèàë

¢¢

U

âíóòðè øàðà íàéäåòñÿ èç óñëîâèÿ

¢¢ = -

¢¢

E

U

z

¶

¶

,

îòêóäà

¢¢ = - ¢¢ +

U

E z

const

.

62

×àñòü 4. Òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ

Ðèñ. 24.22

Ïîëàãàÿ

¢¢

U

=

0 ïðè

z

=

0 è çàìå÷àÿ, ÷òî

z

=

r

cos

j

, ïîëó÷èì

¢¢ = -

-

ÌÉ

U

E

E

r

(

) cos .

0

j

Ïðè ýòîì ñîñòàâëÿþùàÿ –

E

0

r

cos

j

ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîòåíöèàë âíåøíåãî

ïîëÿ, à ñîñòàâëÿþùàÿ

E

ÌÉ

r

cos

j

— ïîòåíöèàë ïîëÿ ñâÿçàííûõ çàðÿäîâ âíóòðè

øàðà.

Âî âíåøíåì ïðîñòðàíñòâå îäíîðîäíî ïîëÿðèçîâàííûé øàð ñîçäàåò ïîëå òà-

êîå æå, êàê ýëåêòðè÷åñêèé äèïîëü, ïîìåùåííûé â öåíòðå øàðà. Äåéñòâèòåëüíî,
íåïîëÿðèçîâàííûé äèýëåêòðè÷åñêèé øàð ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñåáå êàê äâå íàëî-
æåííûå äðóã íà äðóãà ðàçíîèìåííî çàðÿæåííûå ñôåðû ñ çàðÿäàìè, ðàâíîìåðíî
ðàñïðåäåëåííûìè ïî èõ îáúåìó. Ýòè çàðÿäû îáðàçóþòñÿ ñîâîêóïíîñòüþ ïîëîæè-
òåëüíûõ è ñîîòâåòñòâåííî îòðèöàòåëüíûõ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö, âõîäÿùèõ â ñî-
ñòàâ ìîëåêóë äèýëåêòðèêà. Ïðè îäíîðîäíîé ïîëÿðèçàöèè âñå ìîëåêóëû ïîëÿðè-
çóþòñÿ îäèíàêîâî. Ïóñòü

d

— äëèíà îñåé ýëåìåíòàðíûõ äèïîëåé, ò. å. ñðåäíåå

ðàññòîÿíèå, íà êîòîðîå ñìåùàþòñÿ äðóã îò äðóãà â ìîëåêóëàõ çàðÿäû ïðîòèâîïî-
ëîæíûõ çíàêîâ. Âåñü ïîëÿðèçîâàííûé øàð ýêâèâàëåíòåí äâóì ðàâíîìåðíî è
ðàçíîèìåííî çàðÿæåííûì ñôåðàì, ñìåùåííûì äðóã îò äðóãà íà ðàññòîÿíèå

d

. Íî

êàæäàÿ ñôåðà ñîçäàåò âî âíåøíåì ïðîñòðàíñòâå òàêîå æå ïîëå, êàê åñëè áû âåñü
çàðÿä áûë ñîñðåäîòî÷åí â åå öåíòðå. Ñëåäîâàòåëüíî, äâå ñìåùåííûå îòíîñèòåëü-
íî äðóã äðóãà ñôåðû ýêâèâàëåíòíû äèïîëþ.

Òàê êàê ðàäèóñ

R

øàðà ìíîãî áîëüøå äëèíû

d

äèïîëÿ, òî âíå øàðà ïîòåíöèàë

ïîëÿ, âûçâàííîãî ïîëÿðèçàöèåé øàðà, îïðåäåëèòñÿ ïðèâåäåííîé â § 24.2 ôîðìó-

ëîé

p

r

cos

j

pe

4

0

2

, ãäå

p

— ýëåêòðè÷åñêèé ìîìåíò äèïîëÿ, ýêâèâàëåíòíîãî ïîëÿðèçî-

âàííîìó øàðó.

Íàëàãàÿ ýòîò ïîòåíöèàë íà ïîòåíöèàë âíåøíåãî îäíîðîäíîãî ïîëÿ, âíå øàðà

áóäåì èìåòü

¢ = -

+

U

E r

p

r

0

0

2

4

cos

cos

.

j

j

pe

Îáîçíà÷èì ðåçóëüòèðóþùóþ íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ è ýëåêòðè÷åñêîå ñìåùåíèå

âíå øàðà

¢

E

è

¢

D

. Èñïîëüçóåì ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ íà ïîâåðõíîñòè øàðà.

Ãëàâà 24. Ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå

63

Ðèñ. 24.23

Ïðè

r

=

R

èìååì

¢ = ¢¢

-

¢

æ
è

ç

ö
ø

÷

= -

¢¢

æ
è

ç

=

E

E

r

U

r

U

t

t

r R

èëè

1

1

¶

¶j

¶

¶j

ö
ø

÷

=

r R

,

ò. å.

-

+

= -

-

ÌÉ

E

p

R

E

E

0

0

3

0

4

sin

cos

(

) sin .

j

j

pe

j

Ñëåäîâàòåëüíî,

E

p

R

ÌÉ

=

4

0

3

pe

.

Êðîìå òîãî, ïðè

r

=

R

¢ = ¢¢

-

¢

æ
è

ç

ö
ø

÷

=

-

¢¢

æ
è

ç

=

D

D

U

U

n

n

r R

èëè

e

¶

¶j

e

¶

¶j

0

ö
ø

÷

=

r R

,

ò. å.

e

j

j

p

e

j

0

0

3

0

2

E

p

R

E

E

cos

cos

(

) cos .

+

=

-

ÌÉ

Ñëåäîâàòåëüíî,

e

p

e

e

0

0

3

0

2

E

p

R

E

E

+

=

-

ÌÉ

.

Èñïîëüçóÿ âûðàæåíèå

E

p

R

ÌÉ

=

4

0

3

pe

, ïîëó÷àåì

e

e

e

e

0

0

0

0

2

E

E

E

E

+

=

-

ÌÉ

ÌÉ

è

E

E

ÌÉ

=

-

e e

e + 2e

0

0

0

.

Òàêèì îáðàçîì, ìîìåíò ýêâèâàëåíòíîãî äèïîëÿ ðàâåí

p

R E

R

E

=

=

-

ÌÉ

4

4

0

3

3

0

0

0

0

pe

p e e e

e + 2e

.

Íàì óäàëîñü âûðàçèòü

p

è

E

÷åðåç íàïðÿæåííîñòü

E

0

çàäàííîãî âíåøíåãî

ïîëÿ. Ïðè ýòîì ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ íà ïîâåðõíîñòè øàðà óäîâëåòâîðÿþòñÿ äëÿ
âñåõ òî÷åê ïîâåðõíîñòè, ò. å. äëÿ ëþáîãî çíà÷åíèÿ

j

ïðè

r

=

R

. Ñëåäîâàòåëüíî,

íàøå ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî øàð â îäíîðîäíîì ïîëå ïîëÿðèçóåòñÿ îäíîðîäíî, ïðà-
âèëüíî.

Íåòðóäíî íàéòè ðàñïðåäåëåíèå ñâÿçàííûõ çàðÿäîâ ïî ïîâåðõíîñòè øàðà.

Èìåííî ïîâåðõíîñòíàÿ ïëîòíîñòü

s

ýòèõ çàðÿäîâ ðàâíà íîðìàëüíîé ñîñòàâëÿþ-

ùåé âåêòîðà ïîëÿðèçîâàííîñòè:

s

j

=

=

P

P

n

cos

,

64

×àñòü 4. Òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ

ãäå

P

p

R

E

E

=

=

-

=

ÌÉ

4

3

3

3

3

0

0

0

0

0

p

e e e

e + 2e

e

.

Ìû íàøëè ðàñïðåäåëåíèå ñâÿçàííûõ çàðÿäîâ èç óñëîâèÿ, ÷òî øàð ïîëÿðèçî-

âàí îäíîðîäíî. Ìîæíî âûñêàçàòü îáðàòíîå ïîëîæåíèå, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå ñâÿ-
çàííûõ çàðÿäîâ íà ïîâåðõíîñòè øàðà ñ ïëîòíîñòüþ, ïðîïîðöèîíàëüíîé cos

j

,

âûçûâàåò îäíîðîäíîå äåïîëÿðèçóþùåå ïîëå âíóòðè øàðà.

Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî òàêèì æå çàìå÷àòåëüíûì

ñâîéñòâîì ïîëÿðèçîâàòüñÿ îäíîðîäíî âî âíåøíåì
îäíîðîäíîì ïîëå îáëàäàåò ýëëèïñîèä. Øàð ÿâëÿ-
åòñÿ åãî ÷àñòíûì ñëó÷àåì.

Íåòðóäíî ñîîáðàçèòü, ÷òî òåëî ïðîèçâîëüíîé

ôîðìû áóäåò ïîëÿðèçîâàòüñÿ â îäíîðîäíîì ïîëå
íåîäíîðîäíî. Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, öèëèíäð êî-
íå÷íîé äëèíû, ïîìåùåííûé â îäíîðîäíîå ïîëå
òàê, ÷òî åãî îáðàçóþùèå ñîâïàäàþò ñ íàïðàâëå-
íèåì ïîëÿ (ðèñ. 24.24). Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî
öèëèíäð ïîëÿðèçóåòñÿ îäíîðîäíî, òî ñâÿçàííûå
çàðÿäû ïîÿâÿòñÿ òîëüêî íà åãî òîðöàõ. Î÷åâèäíî, ïðè ýòîì ïîëå ñâÿçàííûõ çàðÿ-
äîâ íå ìîæåò áûòü âíóòðè öèëèíäðà îäíîðîäíûì, à ñëåäîâàòåëüíî, íåîäíîðîä-
íûì áóäåò è ðåçóëüòèðóþùåå ïîëå, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ïðåäïîëîæåíèþ îá îäíî-
ðîäíîé ïîëÿðèçàöèè.

24.20. Îáùèé ìåòîä ðàñ÷åòà ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ

â íåîäíîðîäíîé ñðåäå. Ìåòîä èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé

 ïðåäûäóùèõ ïàðàãðàôàõ áûëè ðàññìîòðåíû íåêîòîðûå ÷àñòíûå ñëó÷àè ðàñ÷å-
òà ýëåêòðè÷åñêèõ ïîëåé â îäíîðîäíûõ ñðåäàõ. Â § 24.3 ïðèâåäåí îáùèé ìåòîä
îïðåäåëåíèÿ ïîòåíöèàëà â îäíîðîäíîé ñðåäå ïî çàäàííîìó ðàñïðåäåëåíèþ çàðÿ-
äîâ. Â § 24.18 ïîêàçàíî, ÷òî â ñëó÷àå íåîäíîðîäíûõ ñðåä íà ãðàíèöàõ ðàçäåëà îä-
íîðîäíûõ ñðåä ïîÿâëÿþòñÿ ñâÿçàííûå çàðÿäû. Åñëè ñðåäà íåîäíîðîäíà, òî ïîä
âîçäåéñòâèåì âíåøíåãî ïîëÿ ñâÿçàííûå çàðÿäû ïîÿâëÿþòñÿ ïî âñåìó åå îáúåìó.
Ðàñïðåäåëåíèå ýòèõ çàðÿäîâ îïðåäåëÿåòñÿ íå òîëüêî íàïðÿæåííîñòüþ ýëåêòðè-
÷åñêîãî ïîëÿ ñâîáîäíûõ çàðÿäîâ, íî è ñàìèìè ñâÿçàííûìè çàðÿäàìè. Íàïîìíèì,
÷òî òðóäíîñòü ðåøåíèÿ ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ïîëÿðè-
çàöèÿ âåùåñòâà, à ñëåäîâàòåëüíî, è ñâÿçàííûå çàðÿäû îïðåäåëÿþòñÿ ðåçóëüòè-
ðóþùåé íàïðÿæåííîñòüþ

E

, êîòîðàÿ ñàìà çàâèñèò îò ðàñïðåäåëåíèÿ ñâÿçàííûõ

çàðÿäîâ. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ïðèìåíåíèÿ ìåòîäà § 24.3 íåîáõîäèìî ïðèâåñòè íå-
îäíîðîäíóþ ñðåäó ê ýêâèâàëåíòíîé åé îäíîðîäíîé.

Äîïóñòèì, ÷òî ïîâåðõíîñòü

s

ðàçäåëÿåò îáúåì

V

i

ñ íåîäíîðîäíîé äèýëåêòðè-

÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòüþ

e

i

(

x

,

y

,

z

), è îáúåì

V

e

ñ îäíîðîäíîé äèýëåêòðè÷åñêîé

ïðîíèöàåìîñòüþ

e

e

=

const. Â îáúåìàõ

V

i

è

V

e

ðàñïðåäåëåíû çàðÿäû ñ îáúåìíîé

ïëîòíîñòüþ

r

i

è

r

e

ñîîòâåòñòâåííî (ðèñ. 24.25).

Ãëàâà 24. Ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå

65

Ðèñ. 24.24