Материал: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.3.2003
Äëÿ íàõîæäåíèÿ âåëè÷èí ñâÿçàííûõ çà-
ðÿäîâ âîñïîëüçóåìñÿ âûðàæåíèÿìè
div
D
= r
,
D
= e
E
èëè div
div
e
e
e
E
E E
=
+ Ñ
.
Òîãäà â ñðåäå ñ äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàå-
ìîñòüþ
e
i
èìååì div
E
E
i
i
i
i
i
i
=
-
×Ñ
r
e
e
e
1
, à â
ñðåäå ñ äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòüþ
e
e
èìååì div
E
E
e
e
e
e
e
e
=
-
×Ñ
r
e
e
e
1
.
Äîïóñòèì, ÷òî ðàññìàòðèâàåìóþ çàäà÷ó ðàñ÷åòà ïîëÿ â íåîäíîðîäíîé ñðåäå
ìû õîòèì çàìåíèòü çàäà÷åé ðàñ÷åòà ïîëÿ â îäíîðîäíîé ñðåäå ñ äèýëåêòðè÷åñêîé
ïðîíèöàåìîñòüþ
e
. Äëÿ ýòîãî ñëåäóåò îïðåäåëèòü îáúåìíóþ ïëîòíîñòü çàðÿäîâ,
ñîîòâåòñòâóþùèõ íîâîìó çíà÷åíèþ äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè.
Äëÿ ñîõðàíåíèÿ íåèçìåííûìè âåëè÷èí div
E
i
è div
E
e
ïðè ïåðåõîäå ê îäíî-
ðîäíîé ñðåäå ñ äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòüþ
e
îáúåìíóþ ïëîòíîñòü
r
i
çàðÿ-
äà ñëåäóåò óìíîæèòü íà âåëè÷èíó
e
e
i
, à îáúåìíóþ ïëîòíîñòü
r
e
çàðÿäà — íà âåëè-
÷èíó
e
e
e
:
¢ =
-
Ñ = ¢ +
r
e
e
r
e
e
e
r
r
i
i
i
i
i
i
E
(*)
â îáëàñòè
V
i
è
¢ =
r
e
e
r
e
e
e
â îáëàñòè
V
e
.
Ïðè ñâåäåíèè ñðåäû ê îäíîðîäíîé íåîáõîäèìî àíàëî-
ãè÷íûì îáðàçîì ïðåîáðàçîâàòü ïîâåðõíîñòíóþ ïëîòíîñòü
s
çàðÿäà íà ãðàíèöå ðàçäåëà ñðåä. Äëÿ åå íàõîæäåíèÿ âîñ-
ïîëüçóåìñÿ âûðàæåíèåì
D s
d
q
s
ò
=
(ðèñ. 24.26).
Íîðìàëüíàÿ ê ïîâåðõíîñòè
s
ñîñòàâëÿþùàÿ íàïðÿæåí-
íîñòè ïîëÿ â îäíîðîäíîé ñðåäå ðàâíà
+ s
e
2
ñ îäíîé è
- s
e
2
ñ äðóãîé ñòîðîíû ïîâåðõíîñòè.
Íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â òî÷êå íà ãðàíèöå ðàçäåëà ñðåä ìîæíî
ðàçäåëèòü íà äâå ÷àñòè: îáðàçîâàííóþ âñåìè çàðÿäàìè çà èñêëþ÷åíèåì ïîâåðõ-
íîñòíîãî çàðÿäà, ðàñïîëîæåííîãî â ýòîé òî÷êå (
E
n
), è îáðàçîâàííóþ ïîâåðõíîñò-
íûì çàðÿäîì, ðàñïîëîæåííûì â ýòîé òî÷êå. Òîãäà íîðìàëüíûå ñîñòàâëÿþùèå
íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ ñ îáåèõ ñòîðîí ïîâåðõíîñòè ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî
E
E
E
E
ne
n
ni
n
=
+
=
-
s
e
s
e
2
2
,
.
66
×àñòü 4. Òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
Ðèñ. 24.25
Ðèñ. 24.26
Åñëè èõ ïîäñòàâèòü â âûðàæàþùåå ãðàíè÷íîå óñëîâèå ñîîòíîøåíèå
e
i
E
ni
=
= e
e
E
ne
, òî ìîæíî íàéòè âåëè÷èíó
s
:
s
e e
e
e
e
el
=
-
+
=
2
2
i
e
i
e
n
n
E
E
,
(**)
ãäå
l e
e
e
e
=
-
+
i
e
i
e
.
Òàêèì îáðàçîì, ïåðåõîä îò íåîäíîðîäíîé ñðåäû ê îäíîðîäíîé ìîæíî âûïîë-
íèòü, åñëè â òî÷êàõ íåîäíîðîäíîñòè ïîìåñòèòü ýëåêòðè÷åñêèå çàðÿäû, îáúåì -
íàÿ
r
è ïîâåðõíîñòíàÿ
s
ïëîòíîñòè êîòîðûõ îïðåäåëÿþòñÿ ÷åðåç íåèçâåñòíûå
âåëè÷èíû
E
è
E
n
,
êîòîðûå ñàìè çàâèñÿò íå òîëüêî îò çàäàííûõ ñòîðîííèõ, íî è îò
èñêîìûõ «âòîðè÷íûõ» çàðÿäîâ.
Äëÿ çàïèñè óðàâíåíèé, êîòîðûì óäîâëåòâîðÿþò îáúåìíàÿ
r
è ïîâåðõíîñòíàÿ
s
ïëîòíîñòè âòîðè÷íûõ èñòî÷íèêîâ, âûðàçèì âåëè÷èíû
E
è
E
n
÷åðåç ïëîòíîñòè
çàäàííûõ è âòîðè÷íûõ èñòî÷íèêîâ (ñì. § 24.3):
E
r
r
r
=
+
+
ò
ò
1
4
1
4
1
4
3
3
3
pe
r e
e
pe
r e
e
pe
r
i
i
V
i
e
e
V
e
V
i
e
i
r
dV
r
dV
r
ò
ò
+
dV
r
ds
i
s
1
4
3
pe
s
r
,
(
r
— âåêòîð, íàïðàâëåííûé îò òî÷êè, ãäå ðàñïîëîæåí çàðÿä, ê òî÷êå, â êîòîðîé
íàõîäèì âåëè÷èíó
E
, è ðàâíûé ðàññòîÿíèþ ìåæäó íèìè),
E
n
= ×
E n
è, ïîäñòàâ-
ëÿÿ èõ â ïîëó÷åííûå âûøå âûðàæåíèÿ (*), (**), íàõîäèì:
r
e
pe
r
e
pe
s
e
p
+
+
= -
ò
ò
grad
grad
grad
i
i
V
i
i
i
s
r
dV
r
ds
i
4
4
4
3
3
r
r
e
r
e
pe
r
i
i
V
i
i
e
e
V
r
dV
r
dV
i
e
¢
-
¢
ò
ò
r
r
3
3
4
grad
,
s
l
p
s
l
p
r
l
p
r
l
p
-
-
=
¢
+
ò
ò
ò
2
2
2
2
3
3
3
r n
r n
r n
r
d s
r
dV
r
dV
s
V
i
i
V
i
i
i
¢
ò
r
e
V
e
r
dV
e
r n
3
.
Ðåøàÿ ñèñòåìó èç äâóõ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé, ìîæåì îòðåäåëèòü ïëîòíî-
ñòè
r
è
s
çàðÿäîâ è ðàññ÷èòàòü íàïðÿæåííîñòü
E
ïîëÿ.
 êóñî÷íî-îäíîðîäíîé ñðåäå, êîãäà äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü
e
i
âåùå-
ñòâà òåëà, íàõîäÿùåãîñÿ â ñðåäå ñ ïðîíèöàåìîñòüþ
e
e
, èìååò îäèíàêîâîå çíà÷å-
íèå âî âñåõ òî÷êàõ, èìååì grad
e
i
=
0, âñëåäñòâèå ÷åãî ïðè ïåðåõîäå ê îäíîðîäíîé
ñðåäå ñ äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòüþ
e
«âòîðè÷íûå» èñòî÷íèêè ðàçìåùåíû
òîëüêî íà ïîâåðõíîñòè
s
è ïîä÷èíÿþòñÿ óðàâíåíèþ
s
l
p
s
l
p
r
l
p
r
-
=
¢
+
¢
ò
ò
ò
2
2
2
3
3
3
r n
r n
r n
r
ds
r
dV
r
dV
s
i
V
i
e
V
e
i
e
.
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
s
s
r n
r n
r
ds
,
r
ds
s
s
3
2
ò
ò
=
cos (
)
(ñì. ðèñ. 24.26), è îáîçíà÷àÿ ïðàâóþ
÷àñòü óðàâíåíèÿ ÷åðåç 2
el
E
0
n
, ïîëó÷èì îêîí÷àòåëüíî
s
l
p
sel
-
=
ò
2
2
2
0
cos (
.
r n
,
r
ds
E
s
n
)
(***)
Ãëàâà 24. Ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå
67
Ðåøåíèå èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé ÿâëÿåòñÿ ñëîæíîé çàäà÷åé è ìîæåò áûòü
íàéäåíî â îáùåì ñëó÷àå ÷èñëåííûìè ìåòîäàìè.  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ, êîãäà ïî-
âåðõíîñòü ðàçäåëà ÿâëÿåòñÿ ïëîñêîé, öèëèíäðè÷åñêîé ëèáî ñôåðè÷åñêîé, ìîãóò
áûòü ïðèìåíåíû àíàëèòè÷åñêèå ìåòîäû ðåøåíèÿ.
Ñâîéñòâà ïîëó÷åííûõ óðàâíåíèé, îòíîñÿùèõñÿ ê èíòåãðàëüíûì óðàâíåíè-
ÿì òèïà Ôðåäãîëüìà âòîðîãî ðîäà, çàâèñÿò êàê îò êîýôôèöèåíòà ïðè âõîäÿùåé
ïîä çíàê èíòåãðàëà èñêîìîé ïëîòíîñòè çàðÿäà, íàçûâàåìîãî ÿäðîì, òàê è îò çíà-
÷åíèÿ ìíîæèòåëÿ
l
. Ïðè ðàñ÷åòå òðåõìåðíîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ÿäðî èìååò
âèä
cos ( , )
r n
r
2
, òîãäà êàê ïðè ðàññìîòðåíèè ïëîñêîïàðàëëåëüíîãî ïîëÿ îíî, êàê
íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ñóòü
cos ( , )
r n
r
. Äëÿ äâóõìåðíûõ ïîëåé âõîäÿùèå â óðàâíå-
íèå èíòåãðàëû ïî îáúåìó ïåðåõîäÿò â ïîâåðõíîñòíûå, à èíòåãðàëû ïî ïîâåðõíî-
ñòÿì — â êîíòóðíûå.
Çíà÷åíèå ìíîæèòåëÿ
l
îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì äè-
ýëåêòðè÷åñêèõ ïðîíèöàåìîñòåé òåëà è îêðóæàþùåé åãî
ñðåäû è íàõîäèòñÿ â ïðåäåëàõ 0
£ l £
1, ïðè÷åì êðàéíèå
çíà÷åíèÿ ïîëó÷àþòñÿ ïðè
e
i
=
0 è
e
i
= ¥
.
 êà÷åñòâå ïðèìåðà ðåøåíèÿ çàäà÷è ðàñ÷åòà ýëåêòðè÷å-
ñêîãî ïîëÿ ìåòîäîì èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé ðàññìîòðèì
ñëó÷àé, êîãäà áåñêîíå÷íî äëèííûé öèëèíäð ðàäèóñîì
R
èç
äèýëåêòðèêà ñ àáñîëþòíîé ïðîíèöàåìîñòüþ
e
i
âíåñåí â ñðå-
äó ñ ïðîíèöàåìîñòüþ
e
e
. Ïðèíèìàÿ, ÷òî âíåøíåå ýëåêòðè-
÷åñêîå ïîëå íàïðÿæåííîñòüþ
E
0
íîðìàëüíî ê îñè öèëèíä-
ðà, ïðèâåäåì ñðåäó ê îäíîðîäíîé ñ ïðîíèöàåìîñòüþ
e
e
(ðèñ. 24.27).
Ïîñêîëüêó íà êîíòóðå öèëèíäðà âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå
cos ( , )
r n
r
R
=
1
2
, òî ïðè
dl
=
R d
j
èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå
s l
p
s e l
-
=
ò
cos (
r n
,
r
dl
E
l
e
n
)
2
0
ïåðåõîäèò â óðàâíåíèå
s
l
2p
s
j
e l
p
-
=
ò
d
E
e
n
0
2
0
2
.
 äàííîì ñëó÷àå ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ òðèâèàëüíî, òàê êàê âõîäÿùèé â
íåãî èíòåãðàë ðàâåí íóëþ âñëåäñòâèå ñèììåòðè÷íîãî ðàñïðåäåëåíèÿ çàðÿäîâ íà
ïîâåðõíîñòè öèëèíäðà:
s =
2
e
e
l
E
0
n
.
Ïðè óñëîâèè îäíîðîäíîñòè âíåøíåãî ïîëÿ èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå
E
0
n
=
=
E
0
cos
j
è, ñëåäîâàòåëüíî,
s =
2
e
e
l
E
0
cos
j
.
68
×àñòü 4. Òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
Ðèñ. 24.27
Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïîëó÷åííîå ðàñïðåäåëåíèå çàðÿäà ñîçäàåò âíóòðè öè-
ëèíäðà îäíîðîäíîå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå íàïðÿæåííîñòüþ
E
= l
E
0
= e
e
e
e
i
e
i
e
E
-
+
0
, â ñâÿ-
çè ñ ÷åì ðåçóëüòèðóþùåå ïîëå âíóòðè öèëèíäðà òàêæå ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíûì íà-
ïðÿæåííîñòüþ
E
=
(1 –
l
)
E
0
=
2
0
e
e
e
e
i
e
E
+
.
Ïðè
e
i
> e
e
äåïîëÿðèçóþùåå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå íàïðàâëåíî íàâñòðå÷ó âíåø-
íåìó, ÷òî èìååò ìåñòî ïðè
l >
0.
Ðåøèì ìåòîäîì èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé ðàññìîòðåííóþ â § 24.19 çàäà÷ó î
øàðå ñ äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòüþ
e
i
, âíåñåííîì â îäíîðîäíîå ïîëå íà-
ïðÿæåííîñòüþ
E
0
, ñóùåñòâóþùåì â ñðåäå ñ äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòüþ
e
.
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî íà ïîâåðõíîñòè øàðà ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå
cos ( , )
r n
r
Rr
2
1
2
=
,
èç èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ (***) ïîëó÷àåì
s
l
p
s
el
-
=
ò
4
2
0
R
r
ds
E
s
n
.
Òàê êàê
E
0
n
=
E
0
cos
j
, òî, èñõîäÿ èç óñëîâèÿ îäíîðîäíîñòè ïîëÿ âíóòðè øàðà,
áóäåì èñêàòü ðåøåíèå â âèäå
s = s
m
cos
j
.
Âû÷èñëèâ âõîäÿùèé â óðàâíåíèå èíòåãðàë
s
j
p s
j
m
s
m
r
ds
R
cos
cos ,
ò
=
4
3
íàõî-
äèì èñêîìóþ ïëîòíîñòü çàðÿäà
s
e l
l
j
e
e
e
e
e
=
-
=
-
+
6
3
3
2
0
0
E
E
i
i
n
cos
è íàïðÿæåí-
íîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ âíóòðè øàðà:
E
E
E
i
m
i
=
-
=
+
0
0
3
3
2
s
e
e
e
e
, ãäå
s
e
m
3
=
=
-
+
=
ÌÉ
e
e
e
e
i
i
E
E
2
0
— íàïðÿæåííîñòü äåïîëÿðèçóþùåãî ïîëÿ.
Àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ äëÿ ïëîòíîñòè âòîðè÷íûõ
èñòî÷íèêîâ ïðè íåîäíîðîäíîé ïîëÿðèçàöèè òåëà äàæå ïðè åãî ïðîñòîé ôîðìå
çàòðóäíèòåëüíî.  òàêèõ çàäà÷àõ èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå ðåøàþò ÷èñëåííî.
24.21. Ïðîâîäÿùåå òåëî âî âíåøíåì ýëåêòðîñòàòè÷åñêîì ïîëå.
Ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ýêðàíèðîâàíèå
Áîëüøîå ïðàêòè÷åñêîå çíà÷åíèå èìåþò òàêæå çàäà÷è, â êîòîðûõ ðàññìàòðèâà-
þòñÿ çàðÿæåííûå èëè íåçàðÿæåííûå ïðîâîäÿùèå òåëà, âíåñåííûå â çàäàííîå
âíåøíåå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå. Ïîëå âíóòðè ïðîâîäÿùåãî òåëà èñ÷åçàåò.  ïðî-
ñòðàíñòâå âíå òåëà âíåøíåå ïîëå èçìåíÿåòñÿ. Íà ïîâåðõíîñòè òåëà íàâîäÿòñÿ
(èíäóöèðóþòñÿ) ýëåêòðè÷åñêèå çàðÿäû. Ýòî íàçûâàåòñÿ ÿ â ë å í è å ì ý ë å ê -
ò ð î ñ ò à ò è ÷ å ñ ê î é è í ä ó ê ö è è. Íà ðèñ. 24.28 â âèäå ïðèìåðà ïîêàçàíî ðå-
çóëüòèðóþùåå ïîëå îêîëî ïðîâîäÿùåãî òåëà, âíåñåííîãî â ïîëå çàðÿæåííûõ
ïëàñòèí.
Ãëàâà 24. Ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå
69
Åñëè âíåñåííîå òåëî íå áûëî çàðÿæåíî, òî ñóììà íà-
âåäåííûõ íà íåì çàðÿäîâ îêàçûâàåòñÿ ðàâíîé íóëþ.
Ýòè çàðÿäû ðàñïðåäåëÿþòñÿ òàê, ÷òîáû èõ ïîëå âíóòðè
ïðîâîäÿùåãî òåëà â òî÷íîñòè ñêîìïåíñèðîâàëî ïîëå
âñåõ âíåøíèõ çàðÿäîâ. Íè÷òî íå èçìåíèòñÿ, åñëè ïðî-
âîäÿùåå òåëî áóäåò ïîëûì — âî âñåé ïîëîñòè òåëà ïîëå
òàêæå áóäåò îòñóòñòâîâàòü. Ýòèì îáñòîÿòåëüñòâîì øè-
ðîêî ïîëüçóþòñÿ äëÿ
ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ýêðàíèðî-
âàíèÿ
ýëåêòðè÷åñêèõ èçìåðèòåëüíûõ ïðèáîðîâ è ýëå-
ìåíòîâ èçìåðèòåëüíûõ ñõåì îò âíåøíèõ ýëåêòðè÷åñêèõ ïîëåé. Ñ ýòîé öåëüþ
ïðèáîðû ïîìåùàþò â çàìêíóòûå ìåòàëëè÷åñêèå îáîëî÷êè, íàçûâàåìûå
ýêðàíà-
ìè.
Êàê ïîêàçûâàåò îïûò, äîñòàòî÷íî âûïîëíèòü ýêðàíû èç ìåëêîé ìåòàëëè÷å-
ñêîé ñåòêè.
Åñëè æåëàòåëüíî ïðèäàòü ñàìîìó ýêðàíó ïîòåíöèàë, ðàâíûé íóëþ, òî ýêðàí
ñîåäèíÿþò ñ çåìëåé. Ýòî áûâàåò ïîëåçíî, íàïðèìåð, â ñëó÷àå, åñëè îò ïðèáîðà,
çàêëþ÷åííîãî â ýêðàí, âûõîäÿò ïðîâîäíèêè ê âíåøíåé ñõåìå, êîòîðàÿ íàõîäèòñÿ
ïðè ïîòåíöèàëå, áëèçêîì ê ïîòåíöèàëó çåìëè.
Çàçåìëåííûé ýêðàí ñïîñîáåí â ðàâíîé ìåðå çàùèùàòü âíåøíåå ïðîñòðàíñòâî
îò ïîëÿ çàðÿäîâ, ïîìåùåííûõ âíóòðè ýêðàíà.
Ïîäîáíóþ ýêðàíèðóþùóþ ðîëü èãðàåò çàùèòíàÿ ñâèíöîâàÿ îáîëî÷êà êàáå-
ëåé (ðèñ. 24.29,
à
). Ïîëå, ñóùåñòâóþùåå ìåæäó îòäåëüíûìè ïðîâîäàìè êàáåëÿ,
íå âûõîäèò çà ïðåäåëû ñâèíöîâîé îáîëî÷êè, è ýòèì èñêëþ÷àåòñÿ ýëåêòðîñòàòè-
÷åñêîå âëèÿíèå êàáåëÿ íà áëèçëåæàùèå ïðîâîäà ëèíèé ñâÿçè. Èíîãäà â êàáåëå
ýêðàíèðóþò êàæäûé ïðîâîä â îòäåëüíîñòè (ðèñ. 24.29,
á
), ÷åì äîñòèãàåòñÿ áîëåå
ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå ïîëÿ îêîëî êàæäîãî èç ïðîâîäîâ êàáåëÿ.
Èíòåðåñóÿñü ðåçóëüòèðóþùèì ïîëåì, êîòîðîå îáðàçóåòñÿ âíå ïðîâîäÿùåãî
òåëà, âíåñåííîãî âî âíåøíåå ïîëå, íàïðèìåð â ñëó÷àå, ïîêàçàííîì íà ðèñ. 24.28,
ìû äîëæíû ðàññìàòðèâàòü ýòî ïîëå êàê ðåçóëüòàò íàëîæåíèÿ ïîëÿ íàâåäåííûõ
íà òåëå çàðÿäîâ íà çàäàííîå âíåøíåå ïîëå. Åñëè, êðîìå òîãî, âíåñåííîå òåëî èìå-
åò ñóììàðíûé çàðÿä, îòëè÷íûé îò íóëÿ, òî íåîáõîäèìî íàëîæèòü åùå è ïîëå ýòî-
ãî çàðÿäà.
Ïðèìåð ðàñ÷åòà ðåçóëüòèðóþùåãî ïîëÿ ïðèâåäåí â ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå.
70
×àñòü 4. Òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
Ðèñ. 24.28
Ðèñ. 24.29