Материал: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.3.2003

24.22. Ìåòàëëè÷åñêèé øàð âî âíåøíåì îäíîðîäíîì ïîëå

Çàäà÷à, ðàññìîòðåííàÿ â § 24.19, ïîçâîëÿåò íàéòè ïîëå, îêðóæàþùåå ìåòàëëè÷å-
ñêèé øàð, âíåñåííûé âî âíåøíåå îäíîðîäíîå ïîëå. Âíóòðè øàðà ïîëå äîëæíî
îòñóòñòâîâàòü, è ïîòåíöèàë â îáúåìå øàðà äîëæåí èìåòü ïîñòîÿííîå çíà÷åíèå.
Ñëåäîâàòåëüíî, çàðÿäû, êîòîðûå íàâîäÿòñÿ íà ïîâåðõíîñòè øàðà, äîëæíû ñîçäà-
âàòü âíóòðè øàðà îäíîðîäíîå ïîëå, ïîëíîñòüþ êîìïåíñèðóþùåå âíåøíåå ïîëå.
Êàê âûòåêàåò èç ðàññìîòðåíèÿ, ïðîèçâåäåííîãî â § 24.19, òàêîå ïîëå îáðàçóåòñÿ
çàðÿäàìè, ïîâåðõíîñòíàÿ ïëîòíîñòü êîòîðûõ ïðîïîðöèîíàëüíà cos

j

. Âî âíåø-

íåì ïðîñòðàíñòâå ýòè çàðÿäû ñîçäàþò ïîëå òàêîå æå, êàê ýêâèâàëåíòíûé äèïîëü,
ïîìåùåííûé â öåíòðå øàðà. Òàêèì îáðàçîì, èíòåðåñóþùàÿ íàñ çàäà÷à ñâîäèòñÿ
ê ðàññìîòðåííîé â § 24.19 çàäà÷å î äèýëåêòðè÷åñêîì øàðå, åñëè â íåé ïðèíÿòü

E

²

=

E

0

–

E

ÌÉ

=

0, ò. å.

E

ÌÉ

=

E

0

. Ñîãëàñíî ôîðìóëå

E

E

ÌÉ

=

+

e - e

e

e

0

0

0

2

, ýòî ðàâåíñòâî

äîñòèãàåòñÿ â ïðåäåëå ïðè

e = ¥

. Ïîýòîìó ïîëÿ âåêòîðà

E

îäèíàêîâû äëÿ ìåòàë-

ëè÷åñêîãî øàðà è øàðà èç äèýëåêòðèêà ïðè

e = ¥

. Âíå øàðà â îáîèõ ñëó÷àÿõ îäè-

íàêîâû è ïîëÿ âåêòîðà

D

. Îäíàêî âíóòðè øàðà èç äèýëåêòðèêà âåêòîð

D

è ïðè

e = ¥

îñòàåòñÿ êîíå÷íûì è íå ðàâíûì íóëþ. Èìåííî, ó÷èòûâàÿ ðàâåíñòâà

P

=

3

e

0

E

è

E

ÌÉ

=

E

0

, èìååì

¢¢ =

¢¢ + = =

D

E

P

P

E

e

e

0

0

0

3

.

Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî òðóáêè ýëåêòðè÷åñêîãî ñìåùåíèÿ íåïðåðûâíû íà ãðà-

íèöå äèýëåêòðèêà è, ñãóùàÿñü âíóòðè òåëà ñ áîëüøîé äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíè-
öàåìîñòüþ, ïðîõîäÿò ÷åðåç òåëî áåç ðàçðûâîâ. Ñâÿçàííûå çàðÿäû íà ãðàíèöå äâóõ
äèýëåêòðèêîâ íå äàþò íà÷àëà íîâûì òðóáêàì ñìåùåíèÿ.

Âíóòðè æå ìåòàëëè÷åñêîãî òåëà èñ÷åçàåò íå òîëüêî ïîëå âåêòîðà

E

, íî è ïîëå

âåêòîðà

D

. Çàðÿäû, íàâåäåííûå íà ïîâåðõíîñòè òåëà, ÿâëÿþòñÿ òåïåðü ñâîáîäíû-

ìè, îáðàçîâàâøèìèñÿ âñëåäñòâèå êîíå÷íîé ïðîâîäèìîñòè òåëà. Òðóáêè ýëåêòðè-
÷åñêîãî ñìåùåíèÿ, ñóùåñòâóþùèå âíå òåëà, çàêàí÷èâàþòñÿ íà ýòèõ çàðÿäàõ è íå
ïðîíèêàþò âíóòðü òåëà. Îòñþäà âèäíî, ÷òî ðàññìîòðåíèå ïðîâîäíèêà êàê äè-
ýëåêòðèêà ñ

e = ¥

, ïî ñóùåñòâó, ÿâëÿåòñÿ ôîðìàëüíûì.

Áîëåå ñëîæíîé ÿâëÿåòñÿ çàäà÷à îïðåäåëåíèÿ ïîëÿ âîêðóã çàðÿæåííîãî èëè

íåçàðÿæåííîãî ìåòàëëè÷åñêîãî òåëà, âíåñåííîãî âî âíåøíåå íåîäíîðîäíîå ïîëå.
Åå ìîæíî ðåøèòü, èñïîëüçóÿ ìåòîä èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé, ôîðìàëüíî ðàñ-
ñìàòðèâàÿ äèýëåêòðèê êàê ïðîâîäíèê.

Ïðè

e

i

=

0 èìååì

l =

1, è óðàâíåíèå (***) § 24.20 äëÿ ñëó÷àÿ íåçàðÿæåííîãî

òåëà ïåðåõîäèò â èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå

s

p

s

e

-

=

ò

1

2

2

2

0

cos ( , )

,

r n

r

ds

E

s

n

êîòîðîå ïîçâîëÿåò ðàññ÷èòàòü ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåííûõ íà ïîâåðõíîñòè ïðîâî-
äÿùåãî òåëà ñâîáîäíûõ çàðÿäîâ.

Ãëàâà 24. Ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå

71

Åñëè ïîìåùåííîå âî âíåøíåå ïîëå ïðîâîäÿùåå òåëî èìååò çàðÿä

q

, òî, ïðè-

áàâëÿÿ ê îáåèì ÷àñòÿì ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ ñîîòíîøåíèå

1

s

ds

q

s

s

s

ò

=

, ïîëó÷à-

åì óðàâíåíèå

s

p

s

p

s

e

-

-

é
ëê

ù
ûú

= +

ò

1

2

2

2

2

0

cos ( , )

,

r n

r

ds

q

s

E

n

s

ó÷èòûâàþùåå çàðÿä òåëà.

24.23. Ìåòîä çåðêàëüíûõ èçîáðàæåíèé

Ðàñ÷åò ïîëÿ çàðÿæåííûõ ïðîâîäíèêîâ, ðàñïîëîæåííûõ âáëèçè ïëîñêèõ ïîâåðõ-
íîñòåé, îãðàíè÷èâàþùèõ ïðîâîäÿùóþ ñðåäó, ñâîäèòñÿ ïðè ïîìîùè ìåòîäà çåð-
êàëüíûõ èçîáðàæåíèé ê ðàñ÷åòó ïîëÿ íåñêîëüêèõ ïðîâîäíèêîâ ïðè îòñóòñòâèè
ïðîâîäÿùåé ñðåäû.

Ðàññìîòðèì ïîëå ïðÿìîëèíåéíîãî ïðîâîäà, ðàñ-

ïîëîæåííîãî íà ðàññòîÿíèè

h

îò ïëîñêîé ïîâåðõíî-

ñòè ïðîâîäÿùåé ñðåäû (ðèñ. 24.30). Ýòî ñîîòâåòñò-
âóåò, íàïðèìåð, ïðîâîäó, ïîäâåøåííîìó íà âûñîòå

h

íàä ïîâåðõíîñòüþ çåìëè. Âñå ëèíèè íàïðÿæåííîñòè
ïîëÿ, íà÷èíàþùèåñÿ íà ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåííîì
ïðîâîäå, çàêàí÷èâàþòñÿ ó ïîâåðõíîñòè ïðîâîäÿùåé
ñðåäû, ãäå ïîÿâëÿåòñÿ èíäóöèðîâàííûé îòðèöàòåëü-
íûé çàðÿä. Ïîëå îïðåäåëÿåòñÿ êàê çàðÿäîì ïðîâî-
äà, òàê è âñåì çàðÿäîì, ðàñïðåäåëåííûì ïî ïîâåðõ-

íîñòè ïðîâîäÿùåé ñðåäû. Ðàñïðåäåëåíèå èíäóöèðîâàííîãî çàðÿäà èç óñëîâèé
çàäà÷è íå èçâåñòíî è òàêæå ïîäëåæèò îïðåäåëåíèþ.

Íà ïåðâûé âçãëÿä çàäà÷à ðàñ÷åòà ïîëÿ â òàêîé ñèñòåìå êàæåòñÿ äîâîëüíî

ñëîæíîé. Îäíàêî îíà ðåøàåòñÿ âåñüìà ïðîñòî ïðè ïîìîùè

ìåòîäà çåðêàëüíûõ

èçîáðàæåíèé.

Óñòðàíèì ìûñëåííî ïðîâîäÿùóþ ñðåäó è çàìåíèì åå ïðîâîäîì,

ÿâëÿþùèìñÿ çåðêàëüíûì èçîáðàæåíèåì ðåàëüíîãî ïðîâîäà â ïîâåðõíîñòè ðàçäå-
ëà è èìåþùèì çàðÿä òîé æå âåëè÷èíû, ÷òî è çàðÿä ðåàëüíîãî ïðîâîäà, íî ïðîòè-
âîïîëîæíîãî çíàêà (ðèñ. 24.30). Äåéñòâèòåëüíûé ïðîâîä è åãî çåðêàëüíîå èçîáðà-
æåíèå ñîñòàâëÿþò äâóõïðîâîäíóþ ëèíèþ, ïîëå êîòîðîé èçîáðàæåíî íà ðèñ. 24.14.
Èç ðèñ. 24.14 âèäíî, ÷òî ïëîñêîñòü, ðàñïîëîæåííàÿ ïîñåðåäèíå ìåæäó äåéñòâè-
òåëüíûì ïðîâîäîì è åãî çåðêàëüíûì èçîáðàæåíèåì, ÿâëÿåòñÿ ïîâåðõíîñòüþ
ðàâíîãî ïîòåíöèàëà. Â äåéñòâèòåëüíûõ óñëîâèÿõ ïîâåðõíîñòü ïðîâîäÿùåé ñðå-
äû êàê ðàç ñîâïàäàåò ñ ýòîé ïëîñêîñòüþ è òàêæå ÿâëÿåòñÿ ïîâåðõíîñòüþ ðàâíîãî
ïîòåíöèàëà. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî

åñëè çàìåíèòü ïðîâîäÿùóþ ñðåäó çåðêàëüíûì

èçîáðàæåíèåì ïðîâîäà ñ èçìåíåíèåì çíàêà çàðÿäà, òî â îáëàñòè íàä ïðîâîäÿùåé
ñðåäîé ïîëå îñòàíåòñÿ òàêèì æå, êàê è â äåéñòâèòåëüíûõ óñëîâèÿõ.

 ýòîì è çà-

êëþ÷àåòñÿ ìåòîä çåðêàëüíûõ èçîáðàæåíèé.

Ýòîò ìåòîä ïðèìåíèì è ïðè ëþáîì ÷èñëå ïðîâîäîâ, ïðîòÿíóòûõ ïàðàëëåëüíî

äðóã äðóãó è ïàðàëëåëüíî ïëîñêîé ïîâåðõíîñòè, îãðàíè÷èâàþùåé ïðîâîäÿùóþ
ñðåäó (ðèñ. 24.31). Êàæäûé ïðîâîä äîëæåí áûòü çåðêàëüíî îòðàæåí â ïîâåðõíî-

72

×àñòü 4. Òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ

Ðèñ. 24.30

ñòè ïðîâîäÿùåé ñðåäû ñ èçìåíåíèåì çíàêà çàðÿäà, ïîñëå ÷åãî ïðîâîäÿùàÿ ñðåäà
ìîæåò áûòü ìûñëåííî óäàëåíà è ðàññìîòðåíî ïîëå ñîâîêóïíîñòè äåéñòâèòåëü-
íûõ ïðîâîäîâ è èõ çåðêàëüíûõ èçîáðàæåíèé. Â òàêîì ïîëå ïëîñêîñòü, ðàñïîëî-
æåííàÿ íà ìåñòå ïîâåðõíîñòè ïðîâîäÿùåé ñðåäû, ÿâëÿåòñÿ ïîâåðõíîñòüþ ðàâíîãî
ïîòåíöèàëà, òàê êàê çàðÿäû ïðîòèâîïîëîæíûõ çíàêîâ ðàçìåùåíû ñèììåòðè÷íî
îòíîñèòåëüíî ýòîé ïëîñêîñòè. Ñëåäîâàòåëüíî, íàéäåííîå òàêèì ïóòåì ïîëå è áó-
äåò äåéñòâèòåëüíûì ïîëåì â îáëàñòè íàä ïîâåðõíîñòüþ ïðîâîäÿùåé ñðåäû.

Ìåòîä çåðêàëüíûõ èçîáðàæåíèé òàêæå ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàí, êîãäà ïðîâî-

äÿùàÿ ñðåäà îãðàíè÷åíà äâóìÿ ïëîñêîñòÿìè, ñõîäÿùèìèñÿ ïîä óãëîì

a = p

/

n

,

ãäå

n

— öåëîå ÷èñëî, ïðè÷åì óãîë

a

îòñ÷èòûâàåòñÿ â äèýëåêòðèêå, ãäå ðàññìàòðè-

âàåòñÿ ïîëå. Ðàçäåëèâ âñå ïðîñòðàíñòâî íà îäèíàêîâûå ÷àñòè ïëîñêîñòÿìè, ïåðå-
ñåêàþùèìèñÿ ïîä óãëîì

a

(ñì. ðèñ. 24.32), ÷òî âîçìîæíî, òîëüêî åñëè

n

åñòü

öåëîå ÷èñëî, è ïîñëåäîâàòåëüíî îòðàæàÿ ïðîâîä â ýòèõ ïëîñêîñòÿõ, ïîëó÷èì ñèñ-
òåìó èç äåéñòâèòåëüíîãî ïðîâîäà è ñåðèè åãî çåðêàëüíûõ èçîáðàæåíèé. Â ïîëå
òàêîé ñèñòåìû ïëîñêîñòè

A – A

¢

è

B – B

¢

ÿâëÿþòñÿ ïëîñêîñòÿìè ðàâíîãî ïîòåí-

öèàëà, òàê êàê çàðÿäû ïðîòèâîïîëîæíûõ çíàêîâ ðàçìåùåíû ñèììåòðè÷íî ïî îò-
íîøåíèþ ê íèì. Ïîýòîìó ïîëå ýòîé ñèñòåìû ñîâïàäàåò ñ äåéñòâèòåëüíûì ïîëåì
â òîé ÷àñòè ïðîñòðàíñòâà, ãäå ïîñëåäíåå ñóùåñòâóåò.

Ìåòîä çåðêàëüíûõ èçîáðàæåíèé â ïîëíîé ìåðå ïðèìåíèì è äëÿ çàðÿæåííûõ

òåë ëþáîé ôîðìû, ðàñïîëîæåííûõ â äèýëåêòðèêå îêîëî ïëîñêîñòåé, îãðàíè÷è-
âàþùèõ ïðîâîäÿùóþ ñðåäó. Åñòåñòâåííî, ïîëå ïðè ýòîì óæå íå áóäåò ïëîñêîïà-
ðàëëåëüíûì.

Ìåòîä çåðêàëüíûõ èçîáðàæåíèé ìîæíî ïðèìåíèòü òàêæå â óñëîâèÿõ, êîãäà

ïëîñêàÿ ïîâåðõíîñòü ðàçäåëÿåò äâå ñðåäû ñ ðàçëè÷íûìè äèýëåêòðè÷åñêèìè ïðî-
íèöàåìîñòÿìè. Ïóñòü èñòî÷íèêîì ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëü-
íûé çàðÿä

q

, ïîìåùåííûé â ñðåäå

1

ñ äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòüþ

e

1

íà

ðàññòîÿíèè

h

îò ïëîñêîé ïîâåðõíîñòè ðàçäåëà ñðåä (ðèñ. 24.33).

Ïðè ñâåäåíèè ñðåäû ê îäíîðîäíîé ñ äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòüþ

e

1

ïî-

ìåñòèì íà ïëîñêîé ïîâåðõíîñòè ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä, ïëîòíîñòü êîòîðîãî, êàê
ñëåäóåò èç ñîîòíîøåíèÿ (**) § 24.20, ìîæíî îïðåäåëèòü ïî ôîðìóëå

s =

2

e

1

l

E

0

n

,

Ãëàâà 24. Ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå

73

Ðèñ. 24.31

Ðèñ. 24.32

òàê êàê ñîñòàâëÿþùàÿ íàïðÿæåííîñòè

E

n

(

s

) ïîëÿ, îáóñëîâëåííàÿ çàðÿäàìè íà

ïëîñêîñòè, îáðàùàåòñÿ â íóëü.

Ïðè

e

2

= ¥

, ò. å. ïðè ôîðìàëüíîé çàìåíå äèýëåêòðèêà ïðîâîäíèêîì, èìååì

l =

1 è

s =

2

e

1

E

0

n

. Òàê êàê íàïðÿæåííîñòü

E

=

E

(

q

) +

E

(

s

) ïîëÿ â ïðîâîäÿùåé ñðå-

äå, îáóñëîâëåííàÿ çàðÿäîì

q

è ðàñïðåäåëåííûì íà ïëîñêîñòè çàðÿäîì, ðàâíà

íóëþ, òî

E

(

q

)

=

–

E

(

s

) è, ñëåäîâàòåëüíî, ïîëå ïîâåðõíîñòíûõ çàðÿäîâ ýêâèâàëåíò-

íî ïîëþ çàðÿäà –

q

. Ïîýòîìó ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå â ñðåäå

1

îïðåäåëÿåòñÿ çàäàí-

íûì çàðÿäîì

q

è åãî çåðêàëüíî èçîáðàæåííûì çàðÿäîì

q

1

=

–

q

, à ïîëå â ïðîâîäÿ-

ùåé ñðåäå — çàðÿäîì

q

è çàðÿäîì –

q

, êîòîðûé ýêâèâàëåíòåí ïîâåðõíîñòíîìó è

ïîìåùåí â òó æå òî÷êó â ñðåäå

1

, ò. å. çàðÿäîì, ðàâíûì

q

2

=

q

–

q

=

0, ÷òî äàåò çíà-

÷åíèå íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ â ïðîâîäÿùåé ñðåäå

E

=

0.

Ïðè êîíå÷íîì çíà÷åíèè

e

2

èç âûðàæåíèÿ

s =

2

e

1

l

E

0

n

ñëåäóåò, ÷òî ýëåêòðè÷å-

ñêîå ïîëå ïîâåðõíîñòíûõ çàðÿäîâ ýêâèâàëåíòíî ïîëþ çàðÿäà, ðàâíîãî –

q

l,

â ñâÿçè ñ ÷åì ïîëå â ñðåäå

1

ìîæíî íàéòè ïðè íàëîæåíèè ýëåêòðè÷åñêèõ ïîëåé

çàäàííîãî çàðÿäà

q

è çåðêàëüíî èçîáðàæåííîãî çàðÿäà

q

1

=

–

q

l = -

-
+

e

e

e

e

2

1

2

1

q

.

Äëÿ ðàñ÷åòà ïîëÿ â îáëàñòè

2

íåîäíîðîäíóþ ñðåäó çàìåíÿåì îäíîðîäíîé ñ äè-

ýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòüþ

e

2

, ïðè÷åì äëÿ ñîõðàíåíèÿ íåèçìåííîé ñîñòàâ-

ëÿþùåé íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãî çàäàííûì çàðÿäîì

q

,

ïîñëåäíèé äîëæåí áûòü èçìåíåí è ñòàòü ðàâíûì

q

e

e

2

1

. Ïîëå â ñðåäå

2

îïðåäåëÿ-

åòñÿ íàëîæåíèåì ïîëåé çàðÿäà

q

e

e

2

1

â îáëàñòè

1

è çàðÿäà

-

-
+

e

e

e

e

e

e

2

1

2

1

2

1

q

, ïîìåùåí-

íîãî â òó æå òî÷êó:

q

q

q

q

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

1

=

-

-
+

=

+

e

e

e

e

e

e

e

e

2e

e

e

.

74

×àñòü 4. Òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ

Ðèñ. 24.33

Èçëîæåííûå ðàññóæäåíèÿ ñîõðàíÿþò ñèëó è â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà èñòî÷íèêîì

ïîëÿ ÿâëÿåòñÿ ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä, ðàñïðåäåëåííûé âäîëü ïðîâîäà ñ ëèíåéíîé
ïëîòíîñòüþ

t.

 ïîëó÷åííûõ ôîðìóëàõ äîñòàòî÷íî çàìåíèòü âåëè÷èíó

q

íà

t

.

24.24. Ïðèìåíåíèå ìåòîäà ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ

äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ ýëåêòðîñòàòèêè

Åñëè ïðîâîäíèêè îáëàäàþò ïðîñòîé ôîðìîé ïîâåðõíîñòè, íàïðèìåð ïëîñêîé,
öèëèíäðè÷åñêîé, ñôåðè÷åñêîé èëè êàêîé-ëèáî äðóãîé, êîòîðóþ ìîæíî îïèñàòü
ïðîñòûì óðàâíåíèåì â ïîäõîäÿùå âûáðàííîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, òî ïðè ïîìî-
ùè àíàëèòè÷åñêèõ ìåòîäîâ óäàåòñÿ ðàññ÷èòàòü ïîòåíöèàë ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî
ïîëÿ. Îáû÷íî íà ïîâåðõíîñòè ïðîâîäíèêîâ çàäàþò çíà÷åíèå ïîòåíöèàëà èëè ñî-
ñòàâëÿþùåé íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ, è çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê íàõîæäåíèþ ïîëÿ â ïðî-
ñòðàíñòâå ìåæäó ýëåêòðîäàìè. Ïðè óñëîâèè, êîãäà
ïîëå óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Ëàïëàñà, åãî ìîæíî
èñêàòü ìåòîäîì, îñíîâàííûì íà ðàçäåëåíèè ïåðå-
ìåííûõ óðàâíåíèÿ.

Ðàññìîòðèì çàäà÷ó ðàñ÷åòà ïëîñêîïàðàëëåëüíî-

ãî ïîëÿ, ñîçäàííîãî ñèñòåìîé çàðÿæåííûõ ýëåêòðî-
äîâ ïëîñêîé ôîðìû, ïîòåíöèàëû êîòîðûõ çàäàíû
(ðèñ. 24.34).

Ïðè ïðèìåíåíèè ìåòîäà ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ ïîòåíöèàë

U

(

x

,

y

) â óðàâíå-

íèè Ëàïëàñà

¶

¶

¶

¶

2

2

2

2

U

x

U

y

+

=

0

âíóòðè ïðÿìîóãîëüíîé îáëàñòè ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå

U

(

x

,

y

)

=

X Y

, ãäå

X

(

x

) —

ôóíêöèÿ òîëüêî

x

è

Y

(

y

) — ôóíêöèÿ òîëüêî

y

. Ïðè çàìåíå

U

(

x

,

y

) ïðîèçâåäåíèåì

X Y

óðàâíåíèå Ëàïëàñà ïðèíèìàåò âèä

Y

¶

¶

2

2

X

x

+

X

¶

¶

2

2

Y

y

=

0,

è ïîñëå åãî äåëåíèÿ íà

X Y

ïîëó÷àåì

1

1

0

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

X

X

x

Y

Y

y

X

X

x

Y

Y

y

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

+

=

= -

èëè

.

Òàê êàê ëåâàÿ ÷àñòü ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ çàâèñèò òîëüêî îò

x

, à ïðàâàÿ —

òîëüêî îò

y

, òî îíî óäîâëåòâîðÿåòñÿ äëÿ ëþáûõ

x

è

y

òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè è

ëåâàÿ è ïðàâàÿ åãî ÷àñòè ðàâíû íåêîòîðîé ïîñòîÿííîé âåëè÷èíå –

l

2

. Ïðè ýòîì

ñïðàâåäëèâû äâà óðàâíåíèÿ:

d X

dx

X

d Y

dy

Y

2

2

2

2

2

2

0

0

+

=

-

=

l

l

,

,

÷àñòíûå ðåøåíèÿ êîòîðûõ èìåþò âèä

X

C

x C

x Y

C

y C

y

=

+

=

+

1

2

3

4

sin

cos

,

.

l

l

l

l

sh

ch

Ãëàâà 24. Ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå

75

Ðèñ. 24.34