Материал: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.3.2003
òðè êîýôôèöèåíòà. Êîýôôèöèåíòû
a
0
,
a
1
,
a
2
ñëåäóåò âûðàçèòü ÷åðåç ïîòåíöèà-
ëû óçëîâ (â äàííîì ñëó÷àå âåðøèí) ýëåìåíòà, ñâÿçàâ òåì ñàìûì âåëè÷èíû
a
1
,
a
2
,
a
3
âûðàæåíèÿ
U
(
x
,
y
) =
a
n
n
n
j
å
ñ êîýôôèöèåíòàìè
a
0
,
a
1
,
a
2
.
Ðåøàÿ ñèñòåìó óðàâíåíèé
U
x
y
U
x
y
U
x
y
i
i
i
j
j
j
k
k
k
=
+
+
=
+
+
=
+
+
a
a
a
a
a
a
a
a
a
0
1
2
0
1
2
0
1
2
(çäåñü
x
i
,
y
i
,
x
j
,
y
j
,
x
k
,
y
k
– êîîðäèíàòû âåðøèí
i
,
j
,
k
ýëåìåíòà) îòíîñèòåëüíî âåëè-
÷èí
a
0
,
a
1
,
a
2
, ïîëó÷àåì:
a
a
a
0
1
2
=
+
+
=
+
+
=
+
+
U b
U b
U b
U c
U c
U c
U d
U d
U d
i
i
j
j
k
k
i
i
j
j
k
k
i
i
j
j
k
k
,
ãäå êîýôôèöèåíòû
b
,
c
,
d
îïðåäåëÿþòñÿ ÷åðåç êîîðäèíàòû âåðøèí òðåóãîëüíèêà.
Ñîïîñòàâëåíèå âûðàæåíèé
U
(
x
,
y
)
=
a
0
+
a
1
x +
a
2
y
=
U
i
b
i
+ U
j
b
j
+ U
k
b
k
+
+ (
U
i
c
i
+ U
j
c
j
+ U
k
c
k
)
x
+ (
U
i
d
i
+ U
j
d
j
+ U
k
d
k
)
y
è
U
(
x
,
y
)
=
a
i
j
i
(
x
,
y
)+
a
j
j
j
(
x
,
y
) +
+
a
k
j
k
(
x
,
y
) ïîêàçûâàåò, ÷òî
a
i
=
U
i
,
a
j
=
U
j
,
a
k
=
U
k
è
j
i
(
x
,
y
)
=
b
i
+c
i
x + d
i
y
,
j
j
(
x
,
y
)
=
b
j
+ c
j
x + d
j
y
,
j
k
(
x
,
y
)
=
b
k
+ c
k
x + d
k
y
.
Êàê âèäíî, áàçèñíàÿ ôóíêöèÿ
j
i
(
x
,
y
) ðàâíà 1 â âåðøèíå
i
ýëåìåíòà è, ÿâëÿÿñü
ëèíåéíîé ôóíêöèåé êîîðäèíàò
x
,
y
, îáðàùàåòñÿ â íóëü â âåðøèíàõ
j
,
k.
Àíàëî-
ãè÷íûì ñâîéñòâîì õàðàêòåðèçóþòñÿ è áàçèñíûå ôóíêöèè
j
j
(
x
,
y
),
j
k
(
x
,
y
).
 îáùåì ñëó÷àå, êîãäà ýëåìåíò èìååò
p
óçëîâ, ââåäåíèå ìàòðèö
|| aa ||
ò
= ||
a
0
,
a
1
,
…
a
p
||
,
||
U
||
ò
= ||
U
1
,
U
2
, …
U
p
||
,
||
x
|| = ||
1,
x
,
y
,
z
,
x
2
,
y
2
,
…
||
,
|| jj || = ||
j
1
,
j
2
,
…
j
p
||
ïîçâîëÿåò çàïèñàòü âûðàæåíèå
U x y
( , )
=
x
aa
è ïîñëå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ
U X
=
aa,
ãäå
X
=
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
,
,
, ,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
x y z x
x y z x
x
y
z x
p
p
p
p
K
K
K
K
,
K
ìàòðèöà ðàçìåðíîñòüþ
p
´
p
, íàéòè âåëè÷èíó
aa =
X
–1
U
è âûðàçèòü ïîòåíöèàë
U
(
x
,
y
) ÷åðåç áàçèñíûå ôóíêöèè:
U
(
x
,
y
)
=
x X
-1
U
= jj
U
.
Ðàññìîòðèì ôîðìèðîâàíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé ìåòîäà êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ
ïðè ðàñ÷åòå ïëîñêîïàðàëëåëüíîãî ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ.
Ãëàâà 24. Ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå
81
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé ôóíêöèîíàë
J
( )
(
)
U
U
ds
s
=
-
ò
e
grad
2
-
ò
2
r
Uds
s
ñëåäóåò ïðåäñòàâèòü ÷åðåç ñóììû ôóíêöèîíàëîâ
J
e
ýëåìåíòîâ. Îïðåäå-
ëèì âèä ìàòðèöû ñèñòåìû óðàâíåíèé
¶
¶
=
=
å
J
e
n
e
M
U
0
1
,
n
= 1, 2, ...,
N
,
ãäå
M
— ÷èñëî ýëåìåíòîâ îáëàñòè,
N
— ÷èñëî óçëîâ âíóòðè îá-
ëàñòè
s
.
Ïóñòü óçåë ñ íîìåðîì
i
ÿâëÿåòñÿ îáùèì äëÿ íåñêîëüêèõ
òðåóãîëüíûõ ýëåìåíòîâ (ðèñ. 24.37).
Ïðîèçâîäíàÿ
¶
¶
J
e
i
U
ôóíêöèîíàëà ýëåìåíòà ñ óçëàìè
i
,
j
,
k
¶
¶
=
¶
¶
-
¶
¶
ò
ò
J
e
i
i
e
i
e
s
s
U
U
U
U ds
U
U
ds
e
e
2
2
e
r
(
)
(
)
grad
grad
.
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
grad
U
x
U
x
U
x
U
y
U
i
i
j
j
k
k
i
i
= ¶
¶
+
¶
¶
+ ¶
¶
æ
è
çç
ö
ø
÷÷ +
¶
¶
+
¶
i
j
j
j
j
j
j
j
j
k
k
y
U
y
U
¶
+ ¶
¶
æ
è
çç
ö
ø
÷÷
j
,
¶
¶
=
U
U
i
i
j
,
¶
¶
= ¶
¶
+ ¶
¶
(
)
grad
U
U
x
y
i
i
i
i
j
j
j
è ââîäÿ îáîçíà÷åíèÿ
a
x
x
y
y
ds
ii
e
i
i
i
i
e
s
e
=
¶
¶
¶
¶
+ ¶
¶
¶
¶
æ
è
ç
ö
ø
÷
ò
2
e
j j
j j
,
a
x
y
y
y
ds
ij
e
i
j
i
j
e
s
e
=
¶
¶
¶
¶
+ ¶
¶
¶
¶
æ
è
çç
ö
ø
÷÷
ò
2
e
j j
j j
,
a
x
x
y
y
ds
ik
e
i
k
i
k
s
e
e
=
¶
¶
¶
¶
+ ¶
¶
¶
¶
æ
è
ç
ö
ø
÷
ò
2
e
j j
j j
,
f
ds
i
e
i
e
s
e
= -
ò
2
rj
,
ïîëó÷àåì
¶
¶
=
+
+
+
J
e
i
i i
e
i
i j
e
j
i k
e
k
i
e
U
a U
a U
a U
f
.
Âõîäÿùèå â ýòî ñîîòíîøåíèå êîýôôèöèåíòû ïðè ïîòåíöèàëàõ âåðøèí ýëåìåí-
òîâ, êàê è âåëè÷èíó
f
i
e
, îáû÷íî ðàññ÷èòûâàþò àíàëèòè÷åñêè. Äëÿ ðàññìàòðèâàå-
ìîãî ñëó÷àÿ, êîãäà ýëåìåíò ñîäåðæèò òîëüêî òðè óçëà, ïðîèçâîäíûå âèäà
¶
¶
¶
¶
j
j
i
i
x
y
,
ïðèíèìàþò ïîñòîÿííûå çíà÷åíèÿ, è ñîîòâåòñòâóþùèå èíòåãðàëû âû-
÷èñëÿþòñÿ îñîáåííî ïðîñòî.
82
×àñòü 4. Òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
Ðèñ. 24.37
Ðàññ÷èòûâàÿ ïðîèçâîäíûå ôóíêöèîíàëîâ âñåõ ýëåìåíòîâ îáëàñòè ïî ïîòåíöèà-
ëó óçëà
i
è ñóììèðóÿ ñîîòâåòñòâóþùèå êîýôôèöèåíòû, íàõîäèì (ñì. ðèñ. 24.37)
k
a
ii
ii
e
e
=
å
,
k
a
ij
ij
e
e
=
å
,
k
a
ik
ik
e
e
=
å
,
k
a
il
il
e
e
=
å
,
k
a
im
im
e
e
=
å
,
F
f
i
i
e
e
=
å
.
Òàêèì îáðàçîì,
i
-ÿ ñòðîêà ìàòðèöû
K
ñèñòåìû àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé
K U
=
F
, ïîëó÷àåìàÿ ïðè âû÷èñëåíèè ïðîèçâîäíîé ôóíêöèîíàëà ïî ïîòåíöèà-
ëó
U
i
óçëà
i
, â äàííîì ïðèìåðå, êîãäà óçåë
i
ÿâëÿåòñÿ îáùèì ëèøü äëÿ 5 ýëåìåí-
òîâ, ñóòü 0, 0, ...0,
k
ii
,
k
ij
,
k
ik
,
k
il
,
k
im
,
k
in
, 0, ..., 0, 0, åñëè óçëû
i
,
j
,
k
,
l
,
m
,
n
íóìåðîâàíû
îäèí çà äðóãèì.
Ïîäîáíî ðàññìîòðåííîìó ìîæåì ðàññ÷èòàòü êîýôôèöèåíòû äðóãèõ ñòðîê
ìàòðèöû
K
. Îíà èìååò, êàê ïðàâèëî, íå áîëåå 10 % íåíóëåâûõ êîýôôèöèåíòîâ,
òàê êàê ïðîèçâîäíûå
¶
¶
J
e
i
U
ôóíêöèîíàëîâ ýëåìåíòîâ, êîòîðûå íå âêëþ÷àþò â ñåáÿ
óçåë
i
, îáðàùàþòñÿ â íóëü. Â ñâÿçè ñ òåì, ÷òî ìàòðèöà
K
ÿâëÿåòñÿ ðåäêîçàïîëíåí-
íîé, äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèé ìåòîäà êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ ïðèìåíÿþò ñïåöèàëü-
íûå ýêîíîìè÷íûå ìåòîäû, ó÷èòûâàþùèå ýòî ñâîéñòâî ñèñòåìû óðàâíåíèé.
Ðåøèâ óðàâíåíèå
KU
=
F
, ìîæåì ðàññ÷èòàòü íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ âíóòðè ýëå-
ìåíòîâ, à òàêæå äðóãèå äèôôåðåíöèàëüíûå è èíòåãðàëüíûå õàðàêòåðèñòèêè.
Ìåòîä êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ ïðèìåíÿþò ïðè ÷èñëåííûõ ðàñ÷åòàõ ïîëåé â íå-
îäíîðîäíûõ, àíèçîòðîïíûõ è íåëèíåéíûõ ñðåäàõ, êîãäà ïîëó÷åíèå àíàëèòè÷å-
ñêèõ ðåøåíèé çàòðóäíèòåëüíî.
Ãëàâà 24. Ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå
83
Ãëàâà äâàäöàòü ïÿòàÿ
Ðàñ÷åò ýëåêòðè÷åñêîé åìêîñòè
25.1. Åìêîñòü ìåæäó êðóãëûìè öèëèíäðàìè.
Åìêîñòü äâóõïðîâîäíîé ëèíèè ïåðåäà÷è
Åìêîñòü ìåæäó äâóìÿ óåäèíåííûìè ïðîâîäÿùèìè òåëàìè ðàâíà îòíîøåíèþ çà-
ðÿäà
q
1
=
q
îäíîãî èç òåë ê ðàçíîñòè èõ ïîòåíöèàëîâ
U
1
–
U
2
; ïðè÷åì ïðåäïîëàãà-
åòñÿ, ÷òî çàðÿäû òåë ðàâíû ïî àáñîëþòíîìó çíà÷åíèþ è ïðîòèâîïîëîæíû ïî çíà-
êó, ò. å.
q
2
=
–
q
1
=
–
q
. Âû÷èñëåíèå åìêîñòè ìåæäó äâóìÿ òåëàìè ñâîäèòñÿ ê
âû÷èñëåíèþ ðàçíîñòè èõ ïîòåíöèàëîâ â ýòèõ óñëîâèÿõ.  êà÷åñòâå âàæíîãî ïðè-
ìåðà íàéäåì âûðàæåíèå äëÿ åìêîñòè ìåæäó äâóìÿ ïàðàëëåëüíûìè êðóãëûìè
ïðîâîäÿùèìè öèëèíäðàìè. Öèëèíäðû áóäåì ïðåäïîëàãàòü áåñêîíå÷íî äëèííû-
ìè, åìêîñòü áóäåì îïðåäåëÿòü ìåæäó èõ îòðåçêàìè äëèíîé
l
.  §§ 24.12 è 24.13
áûëî èññëåäîâàíî ïîëå òàêèõ öèëèíäðîâ.
Ïîòåíöèàë â íåêîòîðîé òî÷êå, óäàëåííîé íà ðàññòîÿíèÿ
r
1
è
r
2
îò ýëåêòðè÷å-
ñêèõ îñåé öèëèíäðîâ (ñì. ðèñ. 24.12 è 24.15), îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé
U
r
r
C
k C
=
+
=
+
t
pe
t
pe
2
2
2
1
2
2
ln
ln
.
Íàñ èíòåðåñóåò ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ ñàìèõ öèëèíäðîâ. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ
ïîòåíöèàëîâ öèëèíäðîâ âûáåðåì íà èõ ïîâåðõíîñòÿõ òî÷êè, íàïðèìåð íàèáîëåå
áëèçêèå äðóã ê äðóãó òî÷êè
A
1
è
A
2
(ñì. ðèñ. 24.14 è 24.15). Ïóñòü
k
1
— çíà÷åíèå
îòíîøåíèÿ
r
2
/
r
1
äëÿ òî÷êè
A
1
è ñîîòâåòñòâåííî
k
2
— çíà÷åíèå ýòîãî îòíîøåíèÿ
äëÿ òî÷êè
A
2
. Èìååì
U
U
k
k
1
2
1
2
2
-
= t
pe
ln
.
Òàê êàê
q
= t
l
, òî
C
q
U
U
l
k
k
=
-
=
1
2
1
2
2
pe
ln
.
Îòíîøåíèå
r
2
/
r
1
äëÿ ëþáîé òî÷êè ïîëÿ ìîæåò áûòü âûðàæåíî ÷åðåç ðàäèóñ
R
îêðóæíîñòè ðàâíîãî ïîòåíöèàëà, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ýòó òî÷êó (ñì. ðèñ. 24.12),
è ÷åðåç ðàññòîÿíèå
h
=
|
x
0
| îò öåíòðà ýòîé îêðóæíîñòè äî ïëîñêîñòè ïîñòîÿííîãî
ïîòåíöèàëà (íà ðèñ. 24.12 — äî ïëîñêîñòè íóëåâîãî ïîòåíöèàëà). Âîñïîëüçîâàâ-
øèñü ôîðìóëàìè
h
k
k
b
= +
-
1
1
2
2
è
R
k
k
b
=
-
2
1
2
, ïðèâåäåííûìè â § 24.12, ïîëó÷àåì
h
R
k
k
= -
1
2
2
, îòêóäà
k
2
– 2
h
R
k
+ 1
=
0 è
k
h
R
h
R
=
±
-
2
2
1.
Çíàê ïëþñ ñëåäóåò áðàòü ïðè
k
> 1, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ñëó÷àþ
r
2
>
r
1
, ò. å. ðàñ-
ïîëîæåíèþ îêðóæíîñòè ðàâíîãî ïîòåíöèàëà ñëåâà îò ïëîñêîñòè
U
=
const (ñì.
ðèñ. 24.15). Çíàê ìèíóñ ñëåäóåò áðàòü ïðè
k
< 1, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ðàñïîëîæå-
íèþ îêðóæíîñòè ðàâíîãî ïîòåíöèàëà ñïðàâà îò ïëîñêîñòè
U
=
const.
Ðàññìîòðèì ÷àñòíûå ñëó÷àè.
1. Åìêîñòü êðóãëîãî öèëèíäðà îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè
(ðèñ. 25.1).
Äëÿ ïëîñêîñòè ïîñòîÿííîãî ïîòåíöèàëà
k
2
=
r
2
/
r
1
=
1,
òàê êàê ýòà ïëîñêîñòü ðàñïîëîæåíà ïîñåðåäèíå ìåæäó
ýëåêòðè÷åñêèìè îñÿìè (ñì. ðèñ. 24.12). Ñëåäîâàòåëüíî,
C
l
h
R
h
R
=
+ æ
è
ç
ö
ø
÷ -
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
ú
2
1
2
pe
ln
.
Çäåñü
h
— ðàññòîÿíèå îò îñè öèëèíäðà äî ïëîñêîñòè è
R
— ðàäèóñ öèëèíäðà. Ïî-
ëó÷åííîé ôîðìóëîé ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿ äëÿ âû÷èñëåíèÿ åìêîñòè îòíîñèòåëü-
íî çåìëè ïðîâîäà, ïîäâåøåííîãî íà âûñîòå
h
ïàðàëëåëüíî ïîâåðõíîñòè çåìëè.
Òàê êàê îáû÷íî
h
>>
R
, òî ïðèáëèæåííî
C
l
h
R
»
2
2
pe
ln
.
2. Åìêîñòü ìåæäó íåñîîñíûìè, íå îõâàòûâàþùèìè äðóã
äðóãà êðóãëûìè öèëèíäðàìè
(ðèñ. 25.2).
Èìååì
k
1
> 1 è
k
2
< 1, è, ñëåäîâàòåëüíî, ïåðåä çíàêîì
êâàäðàòíîãî êîðíÿ â ôîðìóëå äëÿ
k
1
íàäî âçÿòü çíàê ïëþñ,
à äëÿ
k
2
— çíàê ìèíóñ. Òàêèì îáðàçîì,
C
l
h
R
h
R
h
R
h
R
=
+ æ
è
çç
ö
ø
÷÷ -
æ
è
ç
çç
ö
ø
÷
÷÷
- æ
è
ç
2
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
pe
ln
ç
ö
ø
÷÷ -
æ
è
ç
çç
ö
ø
÷
÷÷
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
ú
2
1
.
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî äëÿ ëþáîãî ÷èñëà
x
ñóùåñòâóåò òîæäåñòâî
1
1
1
2
2
x
x
x
x
-
-
= +
-
,
ìîæåì ïåðåïèñàòü ôîðìóëó äëÿ åìêîñòè ìåæäó öèëèíäðàìè â âèäå
C
l
h
R
h
R
h
R
h
R
=
+ æ
è
çç
ö
ø
÷÷ -
æ
è
ç
çç
ö
ø
÷
÷÷
+ æ
è
ç
2
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
pe
ln
ç
ö
ø
÷÷ -
æ
è
ç
çç
ö
ø
÷
÷÷
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
ú
2
1
.
Ãëàâà 25. Ðàñ÷åò ýëåêòðè÷åñêîé åìêîñòè
85
Ðèñ. 25.1
Ðèñ. 25.2