Материал: Дифференциальные уравнения. Провоторова Е.Н

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Поясним этот метод на примере. Пусть требуется проинтегрировать систему

(2.2).

Дифференцируя

первое

уравнение

системы,

имеем

d 2 x

откуда, используя

второе уравнение, получаем

dt2

d 2 x

x 0

— линейное дифференциальное уравнение Его

dt2

общее

решение

второго

порядка

постоянными

коэффициентами

одной неизвестной

функцией.

имеет

вид

x(t)

C1 cost

C2 sint.

В силу первого уравнения системы находим функцию

y(t)

C1 sint

C2 cost.

Найденные

функции,

как легко проверить,

при

любых

значениях C1 , C2 . удовлетворяют заданной системе.

3.3 Системы линейных дифференциальных уравнений.

Система дифференциальных уравнений называется линейной, если она линейна относительно неизвестных функций и их производных. Система n линейных уравнений первого порядка, записанная в нормальной форме, имеет вид

dxi

aif (t)xi

fi (t),i 1,2,..., n,

(3.1)

в матричной форме –

AX F,

(3.2)

x1 (t)

f1 (t)

a11 (t)

a12 (t) a1n (t)

где

x2 (t)

, F

(t)

, A

a21 (t) a22 (t) a2n (t)

xn (t)

fn (t)

an1 (t) an2 (t) ann (t)

Теорема

3.1.

Если

все

функции

aij (t)

fi (t) , i, j 1,2,..., n, непрерывны

на отрезке a

b , то

достаточно

малой

окрестности

каждой

точки

, x0

,..., x0 ) , где t

(a,b)

, выполнены условия теоремы

существования и единственности решения задачи Коми и, следовательно, через каждую такую точку проходит единственная интегральная кривая системы (3.1).

Действительно, в таком случае правые части системы (3.1) непрерывны по совокупности аргументов t, x1, x2 ,..., xn и

частные производные по xj , j 1,2,..., n ограничены, так как

эти производные равны непрерывным на отрезке [a, b] коэффициентам aij (t) .

Введем линейный оператор

L d / dt A .

Тогда система (3.2) коротко запишется в виде

L[X ] F.

(3.3)

Если матрица F — нулевая, т. е. fi (t) 0,i 1,2,..., n, на

интервале (а, b), то система (3.1) называется линейной однородной и имеет вид

L[X ] 0.

(3.4)

Приведем некоторые теоремы, устанавливающие свойства решений линейных систем.

Теорема 3.2. Если X(t) является решением линейной однородной системы L[X] = 0, то сХ(t), где с — произвольная постоянная, является решением той же системы.

Теорема 3.3. Сумма X1(t) X 2 (t) двух решений X1 (t) u X 2 (t) однородной линейной системы уравнений является решением той же системы.

						m
Следствие.		Линейная		комбинация		ci Xi (t) с
						i 1
произвольными	постоянными			коэффициентами		ci	решений
X1 (t),..., X m (t)	линейной			однородной			системы
дифференциальных уравнений				L[X ] 0	является решением
той же системы.			~
Теорема	3.4.	Если			решение		линейной
			X (t) есть

неоднородной системы L[X ] F , а X 0 (t) — решение соответствующей однородной системы L[X ] 0, то сумма

~
X (t) X 0	(t) будет решением неоднородной системы
		L[X ]	F .
				~
Действительно,		по	условию,	L[ X ] F, F[ X 0	] 0 .
Пользуясь свойством аддитивности оператора L, получаем
	~	~
	L[ X X 0 ]	L[ X ] L[ X 0 ]		F.

Это означает, что сумма	~	(t) есть решение
	X (t) X 0
неоднородной системы уравнений L[X ]		F .

Определение . Векторы X1 (t), X 2 (t),..., X n (t)

x1k (t)
x2k	(t)
X k		,

xnk (t)

называются линейно зависимыми на интервале a

существуют постоянные числа	1, 2 ,..., n
что

, где

tb , если такие,

1 X1(t) 1 X1(t) ... 1 X1(t) 0	(3.5)
при t (a,b) , причем по крайней мере одно из чисел	i не

равно нулю. Если тождество (3.5) справедливо только при

1	2	...	n	0 ,	то	векторы	X1 (t), X 2 (t),..., X n (t)
называются линейно независимыми на (a,b) .
	Заметим, что одно векторное тождество (3.5)
эквивалентно n тождествам:
		n
			k x1k (t)	0,
	k	1
		n
			k x2k (t)	0,			(3.5’)
	k	1					(3.5’)
	.......... .......... ....
		n
			k xnk (t)	0.
	k	1

Определитель

	x11 (t)	x12 (t) x1n (t)
W (t)	x21 (t)	x22 (t) x2n (t)


	xn1 (t) xn2 (t) xnn (t)
называется определителем			Вронского системы векторов

X1 (t), X 2 (t),..., X n (t) .

Определение . Пусть имеем линейную однородную систему

A(t) X ,

(3.6)

где A(t)

— n n -матрица

с элементами

aij (t) . Система

решений

X1 (t), X 2 (t),..., X n (t)

линейной однородной системы

(3.4), линейно независимых на интервале a

t b , называется

фундаментальной.

Теорема3.5.

Определитель

Вронского

W (t)

фундаментальной на

интервале

системы решений

линейной однородной системы (3.4) с непрерывными

на

отрезке

b коэффициентами

aij (t) отличен от нуля во

всех точках интервала (a,b) .

Теорема 3.6. (о структуре общего решения линейной

однородной системы). Общим решением в области a

b ,

| xk |

1,2,..., n , линейной однородной системы

A(t) X

(3.7)

с непрерывными на отрезке

коэффициентами aij (t)

является линейная комбинация n линейно независимых на интервале a t b решений X1 (t), X 2 (t),..., X n (t) системы

(3.7):

Источник: https://studfile.net/preview/16565560/

Смотрите также:

2731
imunnaya_s-ma1
Reyting_1_testy_vnachale
Алгоритм работы отдела транспортной логистики производственного предприятия
Естественные основания морали в свете современных научных исследований
Индекс жизненной удовлетворенности
Индексный метод в изучении производственных показателей (на примере основных производственных фондов)
ЛР-4 Корнаухова БТПп-16-01 статистика
Особенности правового статуса несовершеннолетних
Переход к внешнему управлению как метод предотвращения банкротства предприятия