Материал: Динамика материальной точки (90

5.3 Сила, зависящая от положения F = F(r)

Задача 5

Материальной точке, находящейся на поверхности Земли (радиус Земли равен

R), сообщена начальная вертикальная скорость V0 = 2gR (вторая космическая скорость). Определить уравнение движения точки, пренебрегая силой сопротивления воздуха.

Дано: R, Vo = 2gR ;

Определить: x = x(t)-?

Решение

Направим ось Ох вдоль линии движения точки (рисунок 6). Начало координат поместим в центре Земли (в данной задаче это удобнее). Начальные условия движения имеют вид:

Рисунок 6

31

На точку действует лишь сила F притяжения к Земле, по величине обратно пропорциональная квадрату расстояния от точки до центра Земли:

F = k . x2

Отсюда

k = Fx2

При x = R сила F = mg. Следовательно,

k = mgR 2

и

F

= mgR2

x2

Составим дифференциальное уравнение движения в проекции на ось Ох:

m&x& = −F

или

m&x& = - mgR2 x2

Для интегрирования этого уравнения применим подстановку

&x& = dx& = dx& × dx = x&dx& . dt dt dx dx

Уравнение (28) примет вид

x&dx& = - gR2 . dx x 2

Разделяем переменные

x&dx& = - gR2 dx x 2

и интегрируем

∫x&dx& = -∫ gR2 dx .

x2

После интегрирования получим

32

Подставляя начальные условия в уравнение (29), получим

Таким образом,

x&2 = gR 2

2 x

или

x&2 = 2gR 2 x

x& = 2g R (при извлечении корня взят знак

x

«плюс», так как рассматривается только движение вверх),

Разделяем переменные и интегрируем

∫ dxx = 2g R∫dt ,

получим

Используя начальные условия, из уравнения (30) найдем

Окончательно, из уравнения (30) получим искомое уравнение движения точки:

или

2

х = R 32 + 3R 2g × t 3 .2

33

Задача 6

Материальная точка М массы m движется прямолинейно по оси Ох (рисунок

7). Точка отталкивается от неподвижного центра О силой F, пропорциональной массе m и расстоянию, причем коэффициент пропорциональности равен k = 4.

Найти закон движения точки, если начальное расстояние ее от центра О равно х0 = 5

м, а начальная скорость V0 = 2 м/с.

Рисунок 7

Решение

Направим ось Ох вдоль линии движения точки (рисунок 7). Начальные

Решим полученное дифференциальное уравнение (32).

34

Первый способ.

Для интегрирования этого уравнения применим подстановку

&x& = dx& = dx& × dx = x&dx& . dt dt dx dx

Уравнение (32) примет вид

x&dx& =

kx .

dx

Разделяем переменные

x&dx& = kxdx

и интегрируем

∫x&dx& = 4 ∫xdx .

35