Материал: Динамика материальной точки (90

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Рисунок 1

Тогда согласно закону Гука о пропорциональности величины упругой силы относительному удлинению нити будем иметь:

____

F = -с×ОМ = -с× r ,

где учтено, что сила упругости F направлена вдоль ОМ от точки М к точке О.

Коэффициент пропорциональности с характеризует упругие cвойства нити и численно равен силе, растягивающей нить на единицу длины.

Проекции упругой силы на оси координат будут:

Fx = – cx; F y = – cy; F z = – cz.

4 Силы, зависящие только от скорости точки F=F(V).

С такими силами мы чаще всего встречаемся тогда, когда рассматриваем движение тел в какой-либо среде, например, в воде или в воздухе. Сила сопротивления зависит в основном от скорости движения и направлена противоположно скорости.

Решение второй задачи динамики сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений движения точки в координатной форме:

&&	= Fx ;
mx
&&	= Fy ;	(1)
my

m&z& = Fz

или в естественной форме:

m ×	dV	= F ;

	dt	τ

m ×	V 2	= F ;	(2)

	ρ	n

0 = Fb

В этих уравнениях под F понимают равнодействующую всех сил,

действующих на точку, в том числе и реакций связей, если точка не свободна. При интегрировании системы уравнений (1) в общем случае появляются шесть произвольных постоянных, которые определяют по начальным условиям.

Начальные условия берутся из текста задачи.

Под начальными условиями движения точки понимают значения координат и проекций скорости точки в начальный момент движения, т. е.

при t=0

х = х0 ;		&		;
	Vx0 = x0				(3)
у = у0 ;	Vy 0	= y0 ;
		&
z = z0 ;		&	;
	Vz 0 = z0

Если движение точки происходит в плоскости, то число уравнений (1)

сокращается до двух, а число начальных условий до четырех:

		х = х0 ;	&
при	t=0	х = х0 ;	Vx0 = x0 ;	(4)
при	t=0	у = у0 ;	&	(4)
		у = у0 ;	Vy 0 = y0 ;
При движении точки по прямой будем иметь одно дифференциальное
уравнение и два начальных условия.
при	t=0	х = х0 ;	Vx 0 = x0 ;	(5)
			&

1.2 Интегрирование дифференциальных уравнений движения

Интегрирование производят соответствующими методами, зависящими от вида полученных уравнений, т. е. от вида правой части в равенстве (1). В самом общем случае правые части дифференциальных уравнений зависят от времени (t),

положения точки (х, у, z) и скорости точки ( x&, y&, z& ). Такие дифференциальные уравнения интегрируются до конца только в частных случаях, когда, например,

правая часть является постоянной величиной, либо простейшей функцией только времени, либо только расстояния, проходимого точкой, либо только скорости точки и др.

В тех случаях, когда на точку, кроме постоянных сил, действует одна переменная сила, зависящая только от времени t или только от расстояния х или же

только от скорости V, уравнение движения можно проинтегрировать методом разделения переменных (см. задачи 5, 6, 7).

Когда по условию задачи нужно найти скорость точки как функцию ее текущих координат и сила зависит только от этих координат или скорости точки, то из дифференциальных уравнений переменную t исключаем с помощью подстановки:

= dx& = dx& × dx = x&dx&

&x&

dt dt dx dx

1.3 Определение постоянных интегрирования

Для определения постоянных интегрирования надо по данным задачи установить начальные условия в виде (3) или (4), или (5). При этом постоянные интегрирования можно определять непосредственно после каждого интегрирования.

Если дифференциальное уравнение движения является уравнением с разделяющимися переменными, то вместо введения постоянных интегрирования можно брать сразу от обеих частей равенства определенные интегралы в соответствующих пределах (см. задачу 6).

2 Контрольные вопросы

1.Что изучается в динамике?

2.Сформулировать законы механики Галилея-Ньютона.

3.Каковы две основные задачи динамики материальной точки?

4.Записать дифференциальные уравнения движения материальной точки в векторной, координатной и естественной формах.

5.Записать основной закон динамики материальной точки.

6.Записать начальные условия задачи.

7.Как определяются постоянные интегрирования при решении дифференциальных уравнений движения точки?

3 Лабораторная работа Д1

Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки

3.1 Содержание работы

В лабораторной работе Д1 студент решает одну задачу, номер которой определяется из таблицы 1. В таблице 1 по горизонтали указана первая цифра варианта, по вертикали – вторая цифра варианта. Номер задачи получается на пересечении соответствующих горизонтали и вертикали. Например, студент,

имеющий вариант 32, решает задачу № 89.

Цель работы: научиться составлять и интегрировать дифференциальные уравнения движения материальной точки.

Таблица 1 – Исходные данные

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9

0	1	23	41	24	18	77	37	67	49	40

1	76	2	54	17	82	58	75	30	98	66

2	53	80	3	89	4	81	19	96	56	20

3	21	42	68	16	88	25	69	36	97	74

4	50	22	100	52	5	86	60	83	39	35

5	79	57	32	43	94	51	95	26	55	64

6	31	65	99	14	6	44	10	85	78	87

7	48	71	13	38	91	28	92	9	62	45

8	73	12	46	15	93	70	34	84	8	63

9	11	47	33	29	72	59	90	27	61	7

Задачи 1; 61

Тело массы 10 кг начинает движение из состояния покоя под действием переменной силы F=10t H по горизонтальной шероховатой плоскости. Найти коэффициент трения f, если известно, что за время t=5c тело приобрело скорость

V=10 м/с. Ускорение силы тяжести g принять равным 10 м/с2.

Задачи 2; 62

Материальная точка массы 2 кг движетcя горизонтально под действием силы,

возрастающей пропорционально времени; в начальный момент сила равнялась 2 Н.

Найти закон движения точки, если ее движение начинается без начальной скорости,

а в момент t=1 c скорость равна 2 м/с.

Задачи 3; 63

Материальная точка массы 10кг движется горизонтально под действием силы

Fх=5+2t Н. Найти скорость точки через три секунды после начала движения, если ее

начальная скорость vо = 3 м / с.

Источник: https://studfile.net/preview/16724002/

Смотрите также:

_1966(~1
"Логистическая технология JIT"
«Анализ ликвидности и платежеспособности предприятия» (на материалах ОАО Московская кондитерская фабрика «Красный Октябрь»)
«Дизайнерские дети» как профилактика инвалидизации общества
«ЗЕМЕЛЬНЫЕ РЕСУРСЫ КРАСНОДАРСКОГО КРАЯ»
«Методы учета затрат на производство продукции, работ, услуг»Курсовая работа
[2 курс] Определения
00438
00463
05_ПЗ

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9

0	1	23	41	24	18	77	37	67	49	40

1	76	2	54	17	82	58	75	30	98	66

2	53	80	3	89	4	81	19	96	56	20

3	21	42	68	16	88	25	69	36	97	74

4	50	22	100	52	5	86	60	83	39	35

5	79	57	32	43	94	51	95	26	55	64

6	31	65	99	14	6	44	10	85	78	87

7	48	71	13	38	91	28	92	9	62	45

8	73	12	46	15	93	70	34	84	8	63

9	11	47	33	29	72	59	90	27	61	7

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9

0	1	23	41	24	18	77	37	67	49	40

1	76	2	54	17	82	58	75	30	98	66

2	53	80	3	89	4	81	19	96	56	20

3	21	42	68	16	88	25	69	36	97	74

4	50	22	100	52	5	86	60	83	39	35

5	79	57	32	43	94	51	95	26	55	64

6	31	65	99	14	6	44	10	85	78	87

7	48	71	13	38	91	28	92	9	62	45

8	73	12	46	15	93	70	34	84	8	63

9	11	47	33	29	72	59	90	27	61	7

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9

0	1	23	41	24	18	77	37	67	49	40

1	76	2	54	17	82	58	75	30	98	66

2	53	80	3	89	4	81	19	96	56	20

3	21	42	68	16	88	25	69	36	97	74

4	50	22	100	52	5	86	60	83	39	35

5	79	57	32	43	94	51	95	26	55	64

6	31	65	99	14	6	44	10	85	78	87

7	48	71	13	38	91	28	92	9	62	45

8	73	12	46	15	93	70	34	84	8	63

9	11	47	33	29	72	59	90	27	61	7