Материал: Динамика материальной точки (90

Запишем основной закон динамики точки

ma = ∑Fk

или

ma = mg + N + Fтр

и составим дифференциальные уравнения движения материальной точки в проекции на ось х:

Так как точка движется по прямой х, то проекция ее ускорения на ось y будет равна нулю, т.е. &у& = 0.

Из уравнения (17) получим, что

N = mg .

Сила трения Fтр = fN = f × mg .

Уравнение (16) принимает вид

m&x& = mg ×α - f × mg .

После сокращения на m находим

&x& = g(α - f )

&x& = 9,81(0,087 - 0,02)

&x& = 0,657

Проинтегрируем дважды полученное дифференциальное уравнение:

26

Для определения постоянных интегрирования С1, С2, подставим в уравнения

(18) и (19) начальные условия движения (13), найдем, что С1 = Vо= 0, С2=0.

Подставив С1=0, С2=0 в (19) и (18), получаем уравнение движения вагона

S = 0,3285 ×102 » 33 м

Ответ: V = 6,57 м/с; S = 33 м.

5.2 Сила, зависящая от времени F = F(t)

Задача 3

К материальной точке массы m, находящейся в покое, прикладывается в момент времени t = 0 сила, изменяющаяся по гармоническому закону

F = F0 ×cosωt

Определить движение точки под действием этой силы.

Дано: m; Vo = 0; t0 = 0; F = F0 ×cosωt

Определить: x = x(t)-?

Решение

Принимаем линию действия силы F за ось Ох, а положение покоя точки за

начало координат (рисунок 4). Начальные условия движения имеют вид:

27

Рисунок 4

Запишем основной закон динамики точки:

ma = ∑ Fk

Таким образом, из уравнения (23) получаем искомый закон движения точки:

или

x = F0 (1- cosωt ) mω 2

Точка совершает гармоническое колебание.

28

Задача 4

Корабль водоизмещением m, движущийся прямым курсом, в момент включения двигателя имел скорость V0.Считая, что величина силы упора винтов Q

пропорциональна времени (Q = kt), а сила сопротивления воды Fc=const, определить путь S, пройденный кораблем за время t1 если за это время его скорость увеличилась в два раза.

Дано: m; Vo; t0 = 0; Q = kt; Fc=const, t1, V = 2Vo

Определить: S - ?

Решение

Примем корабль за материальную точку, а направление движения – за ось Ох,

взяв начало координат в начальном положении корабля (рисунок 5). Начальные условия движения имеют вид:

Рисунок 5

На корабль действуют силы: вес Р, выталкивающая сила (архимедова сила) N,

сила упора винтов Q, сила сопротивления Fc.

Составим дифференциальное уравнение движения в проекции на ось Ох:

m&x& = Q − Fc

или

m&x& = kt − Fc

29

После интегрирования получим

Получим уравнения, определяющие в любой момент времени скорость точки

30