Материал: Динамика материальной точки (90
или
2t = ln x + 
x2 − 24 − ln 5 + 
52 − 24 ,
2t = ln x + 
x2 − 24 . 6
Следовательно,
x + 
x2 − 24 = е2t ,
6
x + 
x2 − 24 = 6е2t .
Из этого соотношения находим
x2 − 24 = (6е2t − х)2 ,
откуда
х= 3е4t + 2
е2t
и, окончательно, искомый закон движения точки
х = 3е2t + 2е−2t .
Второй способ.
Так как в данном случае сила F = kmх является линейной функцией от х, то дифференциальное уравнение (32) является линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.
Запишем дифференциальное уравнение (30) в виде |
|
x − kx = 0 |
(33) |
&& |
|
Для решения этого уравнения воспользуемся теорией интегрирования линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и составим соответствующее характеристическое уравнение:
λ2 − k = 0
Найдем его корни:
λ1,2 = ±
k
36
λ1 = 2, |
λ2 = −2 . |
|
|
Корни действительные, следовательно, общее решение дифференциального |
|||
уравнения (33) ищем в виде: |
|
|
|
х = С е2t + С |
е−2t |
(34) |
|
1 |
2 |
|
|
Для нахождения постоянных интегрирования С1 и С2 составим ещё одно уравнение. Для этого найдем скорость точки, продифференцировав по времени t
уравнение (34):
х = 2С1е |
2t |
− 2С2 |
е |
−2t |
(35) |
& |
|
|
|
|
|
Постоянные С1, и С2 находим по начальным условиям движения (31) из уравнений (34) и (35):
5 = С1 + С2 |
С1 = 5 − С2 |
|
С1 = 5 − С2 |
С1 = 3 |
|||||||||
|
2 |
= 2С − 2С |
|
2 |
= 2(5 − С |
)− 2С |
|
4С |
|
= 8 |
|
|
= 2 |
|
2 |
2 |
2 |
С |
2 |
||||||||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
Таким образом, подставляя значения С1 и С2 в уравнение (34), получим искомый закон движения точки:
х= 3е2t + 2е−2t
5.4Сила, зависящая от скорости F = F(V)
Задача 7.
Тело А весом P, получившее начальную скорость V0, скользит вверх по шероховатой наклонной плоскости, испытывая сопротивление среды,
пропорциональное квадрату скорости тела, причем коэффициент пропорциональности равен mk (m – масса тела). Определить расстояние,
проходимое телом, как функцию его скорости, если коэффициент трения скольжения равен f, угол наклона плоскости к горизонту равен α (рисунок 8).
37
Рисунок 8
Дано: P, Vo, f, α, R = mkV2
Определить: x = x(V) – ?
Решение
Изображаем тело А в текущий момент времени (рисунок 9). Тело A
принимаем за материальную точку, так как оно движется поступательно.
Рисунок 9
38
Выбираем оси координат, как указано на рисунке 9, направим ось х вдоль наклонной поверхности вверх, начало отсчета совмещаем с начальным положением точки (точка О). Начальная скорость vo направлена вдоль оси х вверх.
Следовательно, начальные условия движения имеют вид: |
|
|
при |
to=0; xo=0; хo = vo |
(36) |
|
& |
|
Прикладываем к точке активную силу Р – вес тела и R – |
силу сопротивления |
|
среды. Освобождаем тело А от связи, заменяя действие связи реакцией. Связью является наклонная плоскость. Реакцию плоскости раскладываем на нормальную составляющую N и на касательную составляющую Fтр (Fтр – сила трения скольжения).
Запишем основной закон динамики точки
ma = ∑Fk
и составим дифференциальные уравнения движения материальной точки в проекции на ось х:
|
mx = -Р × sin α - Fтр - R |
|
|
|
(37) |
|
&& |
|
|
|
|
и на ось у: |
|
|
|
|
|
|
mу = mg ×соsα - N |
|
|
|
(38) |
|
&& |
|
|
|
|
Так как точка движется по прямой х, то проекция ее ускорения на ось y будет |
|||||
равна нулю, т.е. у = 0. |
|
|
|
|
|
&& |
|
|
|
|
|
Из уравнения (35) получим, что |
|
|
|
|
|
|
N = mg cosα . |
|
|
|
|
Сила трения Fтр = fN = fmg cosα . |
|
|
|
|
|
Уравнение (35) принимает вид |
|
|
|
|
|
&& |
|
2 |
|
|
|
= Рsinα - fmg cosα - mkV . |
|
|
|||
mx |
|
|
|||
Учитывая, что |
|
|
|
|
|
|
Р = mg , |
|
|
|
|
после сокращения на m находим |
|
|
|
|
|
|
&& |
|
2 |
] |
(39) |
|
х = -[g(sinα + f cosα) + kV |
|
|||
39
Для интегрирования этого уравнения применим подстановку
|
|
|
|
&& |
|
|
& |
|
& |
|
dx |
|
& & |
|
|
|
VdV |
|
|
|||
|
|
|
|
= |
dx |
= |
dx |
× |
= |
|
xdx |
= |
. |
|
||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
dt |
dt |
dx |
|
dx |
|
dx |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Тогда уравнение (397) запишется в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
VdV |
= -[g(sinα + f cosα) + kV 2 ]. |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разделяем переменные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
VdV |
|
|
|
|
|
|
|
= -dx |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
g(sinα + f cosα) + kV 2 |
|
|
|
|||||||||||||||
и интегрируем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
VdV |
|
|
|
|
|
|
|
= -∫dx |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
g(sinα + f cosα) |
+ kV |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
После интегрирования получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
ln[g(sinα + f cosα) + kV 2 ]= -x + C |
(40) |
|||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
|
2k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Постоянную интегрирования С находим по начальным условиям движения
(36) из уравнения (40):
|
|
|
1 |
ln[g(sinα + f cosα) + kV 2 |
]= C |
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2k |
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда уравнение (40) принимает вид |
|
|
|
|
||||
|
1 |
ln[g(sinα + f cosα) + kV 2 ]= -x + |
1 |
ln[g(sinα + f cosα) + kV 2 |
] |
|||
|
|
|
||||||
|
2k |
2k |
0 |
|
||||
|
|
|
||||||
Откуда находим искомое расстояние, проходимое телом, как функцию его скорости:
x = 1 ln g(sinα + f cosα) + kV 2 2k g(sinα + f cosα) + kV02
Задача 8.
Шар М массой m падает свободно без начальной скорости под действием силы тяжести из точки О. При этом падении шар испытывает сопротивление воздуха R, пропорциональное скорости, т. е. R = – μV, где μ – постоянный коэффициент пропорциональности. Найти закон движения шара.
40