§ |
56] |
|
ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ |
|
253 |
||
то |
SfSJS |
и из |
(8.91) будет |
следовать |
|
|
|
ож;/ = ож |
|
|
|||||
|
|
|
^г/О ~ |
|
|
(8.92) |
|
|
По аналогии с |
пластиной, |
обтекаемой плоским |
потоком, |
|||
примем следующую зависимость: |
|
|
|||||
|
|
|
ZX0 |
|
|
|
(8.93) |
|
Тогда по |
(8.92) для |
получим: |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
(8.94) |
|
Для пластины |
л—1, |
а = 0,22 при ламинарном |
режиме, |
|||
п — г/е, а = 0,0065 при турбулентном режиме [по Фокнеру1)]. |
|||||||
и |
Примем, |
что |
соотношения |
(8.92) — (8.94) |
справедливы |
||
при R ф const, |
U 4= const. |
В подтверждение |
такого до |
||||
пущения приведем пример вращающегося диска, для которого эти соотношения справедливы (см. § 16).
Величину а в формулах |
(8.93), |
(8.94) |
удобней выразить |
|||
через |
коэффициент сопротивления |
пластины длины I, об |
||||
текаемой со |
скоростью |
Uco: |
|
|
|
|
|
|
(1 —|— «) а = |
|
|
(8.95) |
|
Это выражение получается из закона сопротивления пла |
||||||
стины |
|
|
|
та |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cf |
{U<x>l\ га+1 |
(8.96) |
|
|
|
|
=С ------- |
|||
|
|
|
' |
\ У / |
|
|
где |
п=1, |
с = 1,328 |
для |
ламинарного |
течения; п = 1/4, |
|
с = 0,074 для турбулентного течения (по Прандтлю). При больших числах Рейнольдса п = 76, с = 0,0306 (по Фокнеру).
Приступая к решению задачи, заметим, что из сказанного выше следует, что интегральные соотношения импульсов можно разрешать независимо друг от друга.
1) Falkner V. М., Aircraft Engineering, March, 1943.
254 ВРАЩЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ТЕЛА В ОСЕВОМ ПОТОКЕ [ГЛ. VIII
Если подставить выражение (8.90) в интегральное соот
ношение (8.3), то оно примет вид: |
|
0^й(О2«;)+^г = (М.-.- |
<8-97> |
Такой вид имеет интегральное соотношение пограничного слоя для обдуваемого осевым потоком невращающегося осе симметричного тела, решение для которого известно ‘). Это решение равно
Постоянная интегрирования С* определяется величиной
для ламинарного участка:
|
|
|
|
|
|
(8.99) |
В случае |
чисто турбулентного |
|
(чисто ламинарного) те |
|||
чения |
и С* = 0. |
|
|
|
|
|
Из интегрального соотношения (8.8) для окружного на |
||||||
правления и формулы (8.94) |
получаем: |
|
|
|||
|
г(у'г’8”«) = -^-.и'г’. |
(8.Ю0) |
||||
|
|
( |
|
/ |
|
|
|
|
\ V |
|
|
|
|
Это уравнение с помощью подстановки |
|
|||||
|
Г/р3 (» + **!)« |
/ ,г** \” |
|
|||
|
I |
- |
I |
|
||
|
X--- УК |
Jxy |
I |
|
||
i) Truckenbrodt Е., Ein Quadraturverfahren zur Berechnung |
||||||
der laminaren und turbulenten Reibungsschicht |
bei |
ebener und rota- |
||||
tionssymmetrischer Stromung, Ingenieur—Archiv, t. 20, № 4, 1952.
§ 56] |
ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ |
255 |
решается в квадратурах:
X
пfel + (l + n)a f UR^^dX
С =----------------- |
--------------------- • |
(8-101) |
|
ХУ |
ирЗ (1+и) |
' |
' |
Заменяя (1—лг)а через с? |
для пластины длины |
I, |
|
обтекаемой со скоростью Um |
[формула (8.95)], |
получим |
|
окончательно:
(8.102)
Uoo\ I)
где постоянная интегрирования /г* равна
(8.103)
|
Сопоставляя (8.98) и |
(8.102), |
замечаем, что |
изменение U |
|||||
вдоль |
тела |
оказывает |
большее |
|
** |
|
** |
||
|
влияние на |
, чем на о^д, |
|||||||
в |
то |
время |
как |
изменение R |
больше влияет |
на о^, |
чем |
||
на |
**S? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если для ламинарного режима точка отрыва определяется |
||||||||
значением параметра |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
, |
иъх |
Г 1 ли |
|
1 dR~\ |
|
|
|
|
|
* ~ |
v |
\_U dx~^\u) Rdx]’ |
|
|
||
равным **А =— 0,1567, |
то для |
турбулентного |
течения |
нет |
|||||
точной теории расчета отрыва. Поэтому введем Г по формуле
гI \ **S- Г1 ^77 I /Vo\a 1 dRl
Г=Ц~Г/ |
+ Ы |
(8Л04> |
что является обобщением *х [см. формулы (8.32) и (8.27)].
256 ВРАЩЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ТЕЛА В ОСЕВОМ ПОТОКЕ [ГЛ. VIII
|
В случае |
отсутствия вращения |
Г переходит |
в |
параметр |
|||||||||
Бурих) для осесимметричного тела; в |
этом |
случае |
можно |
|||||||||||
найти приближенное' значение Г = Гдо, |
при |
котором |
насту |
|||||||||||
пает отрыв, а затем |
рассчитать |
положение |
точки |
отрыва2*). |
||||||||||
Точку |
отрыва |
при |
вращении |
можно |
найти |
из |
условия |
|||||||
ГА-=ГЛ„> Т- |
е- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
J / иъх I |
Г 1 |
du , |
/VO\3 1 dAl |
|
_ / |
v |
1 |
'Jx |
1 |
du\ |
‘ |
|||
l\ |
v / |
6x[udx^\U) tfrfxJL |
—(\ |
|
UdxL |
|||||||||
|
|
|
|
|
,XA |
|
|
|
|
|
|
ISSA„ |
||
|
Так как |
отрыв наступает обычно при -^г< 0 |
и |
|
|
О, |
||||||||
то |
отсюда получаем |
8^* (х^) < 8^* |
(хд), |
т. |
е. |
|
отрыв |
при |
||||||
вращении наступает раньше. Это согласуется с результатами Шлихтинга (§ 52).
Момент трения определяется формулой (8.40), поэтому для коэффициента момента (8.42), согласно (8.102), будем иметь:
1
|
|
|
(8.105) |
где х2 соответствует точке отрыва |
или |
конечной точке по |
|
верхности. |
|
что при постоянной ско |
|
Из полученной формулы следует, |
|||
рости натекания |
коэффициент |
с,г |
обратно пропорцио |
нален скорости вращения. |
|
‘ |
|
При полностью ламинарном (полностью турбулентном) |
|||
течении ^ = 0, *й=0) |
из (8.105) следует: |
|
|
|
п |
1 |
п |
Uco/Ucol\ |
1+п |
/ £7оо\1+п / |
1+W |
Поэтому при постоянной окружной скорости
1
м~и1+п>
!) См. Шлих тинг |
Г., Теория пограничного слоя, ИЛ, 1956. |
2) См. сноску на стр. |
254. |
§ |
56] |
ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ |
257 |
т. |
е. |
в случае ламинарного течения (л = 1) |
М |
а |
при турбулентном режиме момент растет со скоростью |
||
почти линейно.
Рассмотрим примеры расчетов, приведенные в цитируемой работе Труккенбродта.
Рис. 114. Значение 8 для шара при ламинарном режиме (по Труккенбродту).
а) Вращающийся диск. В этом случае U—aR, x—R,
I — Rm. Тогда, положив |
%1 = 0(^* |
= 0), х2 = Rm, |
получим |
|
из (8.105) следующую формулу: |
|
___ «_ |
|
|
|
! |
|
(8.106) |
|
г — |
\ со / \ |
|
1+П |
|
.Ц |
м / |
’ |
|
|
где1' |
|
1 |
|
|
Д = 2«с(5 + 3л) |
1+и- |
(8.107) |
||
258 ВРАЩЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ТЕЛА В ОСЕВОМ ПОТОКЕ [ГЛ. VIII
Для ламинарного режима получим А = 2,95 вместо А = 3,17 для асимптотического решения ’), а для турбулентного А = 0,115 вместо 0,113 для асимптотического решения (§ 20).
Рис. 115. Значения S* для вращающегося шара при турбулентном режиме (по Труккенбродту).
б) Вращающийся шар. При = 0, т. е. *с = й* = 0, получим формулу
|
|
|
|
|
- » |
** |
С |
|
п |
|
J" sin4+3n»d& |
|
|
-о |
|||
^ху |
2\1 +» |
2 |
|||
|
|
|
з) |
sin4 9 |
1) См. сноску’) на стр. 33.