248 ВРАЩЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ТЕЛА В ОСЕВОМ ПОТОКЕ [ГЛ. VIII
и уравнение зависимости вязкости от теплосодержания (тем пературы)
Во внешнем потоке уравнение энергии имеет вид:
Лео — Zoo + -j U2 — const.
В случае, |
когда число Прандтля равно единице: Р=1, |
|||||
можно просто |
найти частное |
решение *) |
системы уравнений |
|||
(8.73)—(8.78), |
подобно тому |
как |
это |
было сделано |
в § 21. |
|
ГТ |
|
/О |
ТЕХ |
на |
v 4- |
сложим |
Для этого умножим уравнение (8.75) |
—1ъ—, |
|||||
с уравнением |
(8.74) и с уравнением |
энергии, разделенным |
||||
на и. Тогда после элементарных преобразований получим следующее уравнение:
pw(z+4zz2+l^+fe/?4+
+ Р IT i (z +1и2 + 4v2 +kRwv) =
=Tir(z+T“2+4t’2+A/?(OV)- (8-79)
частным решением которого является
Z-|-y (//2 +'П2)+= const. |
(8.80) |
Для того чтобы это решение было справедливо для обеих границ пограничного слоя, необходимо выполнение равенства
/со + |^ = (л + |)«)2/?2 + /от, |
(8.81") |
где г’ст есть значение теплосодержания на стенке.
Равенство (8.81) означает, что найденное решение спра ведливо только при параболическом изменении с радиусом R теплосодержания поверхности. Произвольная постоянная k выбирается в соответствии с конкретными условиями тепло отдачи.
i) Sc h eng То С h u, Т if f о г d A. N., The compressible lami nar boundary layer on a rotating body of revolution, JAS, № 5, 1954.
§ 55] |
ВЛИЯНИЕ СЖИМАЕМОСТИ |
249 |
|
Если |
вращающаяся |
поверхность |
теплоизолирована: |
= 0, то ее нагрев происходит только за счет тепла,
возникающего вследствие трения. Так как согласно (8.80)
2=0
=-<‘+i)M>L
то условие отсутствия теплоотдачи приводит к значению k = —1. При этом распределение поверхностного теплосодержания будет из (8.81) равно
Zct
(8.82) '
Наоборот, вращающееся тело с поверхностным теплосодержанием (температурой), равным полному теплосодержа
нию (температуре) |
внешнего потока, |
т. |
е. гст = Лоо, |
испыты |
|||||
вает теплообмен, |
так |
как |
из |
(8.81) |
при |
сказанных |
условиях |
||
. |
1 |
и |
уже |
( д1\ |
К |
|
|
||
следует, что k = |
g- |
I |
1 |
0. |
|
||||
Заметим, что, |
как |
и |
в |
случае |
плоской пластинки, обте |
||||
каемой в продольном направлении, температура (теплосо держание) в пограничном слое вращающегося тела зависит лишь от касательных составляющих скорости. Это иллю
стрируется формулой (8.80). |
Если обозначить через h пол |
||
ное теплосодержание в пограничном слое |
(без нормальных |
||
составляющих скорости): |
|
|
|
h = z + у (и2 + -л2), |
|
||
то из (8.80) следует: |
|
|
|
h — h, |
|
v |
(8.83) |
Лст — Лоо |
’ |
||
Эта формула показывает, |
что |
при числе |
Прандтля, рав |
ном единице, и квадратичном распределении поверхностного теплосодержания при любом законе вязкости распределе ние полного теплосодержания в пограничном слое подобно распределению окружной составляющей скорости. Это яв ляемся обобщением на случай больших скоростей отмеченного для диска (§ 23) подобия профиля температур в погранич ном слое профилю окружных скоростей.
250 ВРАЩЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ТЕЛА В ОСЕВОМ ПОТОКЕ [ГЛ. VIII
Если продифференцировать уравнение (8.83) вблизи стенки, то получим связь между напряжением трения и коэффициен том теплоотдачи вращающейся поверхности
дТ® \ _ / dv \ |
ст Т’осо |
(8.84) |
|
дг /о-\dT/0 |
^R |
||
|
где под То понимается абсолютная температура, соответствую щая полному теплосодержанию h = срТ0.
Уравнение (8.84) обобщает соотношение (5.40) на случай больших скоростей при осевом обтекании вращающегося тела. Особенно важно отметить, что полученные результаты не зависят от переменных свойств жидкости, а также от градиента давления в меридиональном направлении, т. е. от формы поверхности.
Для решения задачи при произвольном числе Прандтля
Иллингворт1), |
а также Тиффорд и Чжу |
Шень-до2) вводят |
||||||
функцию тока |
ф: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ dty |
?Rw |
дф |
|
,8,85» |
||
|
|
Рсо |
’ |
Роэ |
дх ’ |
|
|
|
с |
помощью которой можно |
перейти |
от |
переменных |
х, z |
|||
к |
переменным |
х, ф. Так |
как |
операция |
при |
этом |
пе- |
|
|
|
д |
г, р |
д ■ |
д |
пеРеХ0ДИТ |
||
реходит в операцию |
|
W ~д& ’ |
а ~дг |
|||||
ви , то уравнения (8.74)—(8.76) могут быть пред
ставлены в виде
ди
и -д— дх
д1 .
Р |
------ Н Р |
|
' |
дх |
' |
д (Rv) no д Г Р д (Rv) ]
дх |
с»ф L |
дф J |
|
|
(8.86) |
.. dU |
1 о-? |
Р |
д ( |
Р |
^1 |
\ |
|
j---- == Ъ |
R1------ УТ- I Ц ------ Ч |
дфл ■ |
) "Т- |
||||
U —dx |
Р |
|
рга |
дф V |
Рсо |
/ |
|
!) Иллингворт К., Ламинарный пограничный слой вращаю щегося осесимметричного тела, Механика, № 2 (24), 1954.
2) См. сноску на стр 248.
§ 56] |
ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ |
|
251 |
Рассмотрим, в |
частности, случай отсутствия градиента |
||
|
rfU |
п |
п |
давления в меридиональном направлении —= 0. |
Пусть пока |
||
затель п в формуле (8.78) зависимости вязкости от теплосо
держания равняется единице, так что, согласно (8.77) |
и (8.78) |
||
и р — const: |
|
|
|
|
|
W = PooPoo = const. |
(8.87) |
В этом случае уравнения (8.86) примут вид: |
|
||
ди |
v3 dR |
rv> д ( ди\ |
|
UTx-R
— ... 02 д L д (^)1
(8.88)
так что исчезает влияние переменности вязкости и можно целиком использовать решение для несжимаемой жидкости с постоянной вязкостью Vcq. Достаточно вначале решить пер вые два уравнения для динамического пограничного слоя,
азатем решить уравнение энергии.
Вобщем случае наличия меридионального градиента дав ления Иллингворт1) вводит еще преобразованиеСтепанова—Ман-
глера и получает систему уравнений условного «плоского» течения несжимаемой жидкости. В цитируемой работе при водится пример расчета для вращающегося круглого конуса
всверхзвуковом потоке.
§56. Турбулентное течение около вращающегося осесимметричного тела, обтекаемого осевым потоком2)
При турбулентном режиме течения уже не получается замкнутой системы уравнений, как это имеет место при ла минарном режиме. Поэтому приходится прибегать к различ ным приближенным приемам и к применению эмпирических зависимостей.
1) См. сноску 1) на стр. 250.
5) Truckenbrodt Е., Ein Quadraturverfahren zur Berechnung der Reibungsschicht an axial angestromten rotierenden Drehkorpern, Ingenieur—Archiv, t. 22, № 1, 1954.
252 ВРАЩЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ТЕЛА В ОСЕВОМ ПОТОКЕ [ГЛ. VIII
Для расчетов используются интегральные соотношения импульсов. В том виде, в котором они представлены фор мулами (8.3) и (8.8), эти соотношения, как нетрудно за метить, справедливы и для турбулентного режима. Дальнейшее изложение проводим в виде, объединяющем случаи турбу лентного и ламинарного режимов.
Рассмотрим интегральное соотношение импульсов (8.3) для меридионального направления.
Обратимся вначале к цилиндрическим участкам тела вра щения (/? = const). Расчет Хоуарта для ламинарного обте кания вращающегося полубесконечного цилиндра (§ 54) показывает, что в этом случае меридиональная составляющая напряжения трения не зависит от вращения. Поэтому можно и в рассматриваемом случае полагать
|
|
|
= |
\рс/ /tfo=O |
(Я = const) |
(8.89) |
|
|
|
|
|
|
|
Тогда уже из соотношения (8.3) непосредственно следует |
||||||
что |
и |
о# |
не зависят от вращения. |
|
||
В |
тех |
же |
местах, |
dR |
проявляется уже дополни |
|
где — =f= 0, |
||||||
тельное влияние центробежных сил, связанных с вращением. Однако и в этом случае можно, исходя из результатов Шлихтинга для ламинарного режима (§ 48—52), полагать
бд. и 8д. независимыми отвращения. |
Это наглядно видно, напри |
|||
мер, из графика зависимости 8^ от <о/а для диска (см. рис. |
102). |
|||
В таком случае получим из соотношения (8.3) формулу |
|
|||
= |
|
|
<8-90) |
|
Теперь рассмотрим интегральное соотношение (8.8) для |
||||
окружного направления. |
В случае R — const, т. е. и U — const, |
|||
из (8.3) и (8.8) получим: |
|
|
|
|
..** |
j»** |
vo ty0 |
/о о 1 \ |
|
_ Тж0 а°ху |
||||
dx~?U9-’ |
dx ~ |
U рг)2 • |
v |
’ |
Если принять теперь, что имеется подобие профилей |
||||
скоростей в окружном и меридиональном направлениях, |
т. |
е. |
||
|
v_ . |
и |
|
|
v0~~ — йг