§ |
53] |
ВРАЩЕНИЕ ШАРА |
243 |
в |
то время как у |
Кокрэна, уточнившего |
решение для диска |
по методу Карманах), соответствующие коэффициенты имеют близкие значения: 2,59; 0,54 и —0,54.
Таблица 16
Значения характерных величин для пограничного слоя вращающегося шара
(по Л. Хоуарту)
|
|
и max |
V max |
|
8 |
|
9 |
X |
Hmax |
—Цг fud!! |
|
||
|
'tn |
%ax |
(com) /2 J |
(<OV)V2 |
||
|
|
|
R се |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2,57 |
0,000 |
0,000 |
0,22 |
0,000 |
0,62 |
10 |
2,58 |
0,039 |
0,174 |
0,22 |
0,054 |
0,62 |
30 |
2,74 |
0,110 |
0,500 |
0,22 |
0,164 |
0,60 |
50 |
3,12 |
0,127 |
0,766 |
0,21 |
0,276 |
0,56 |
70 |
4,06 |
0,180 |
0,940 |
0,19 |
0,395 |
0,50 |
80 |
5,28 |
0,161 |
0,985 |
0,16 |
0,459 |
0,44 |
90 |
СЮ |
0 |
1,000 |
0,00 |
0,497 |
0,00 |
Значения к, вычисленные по формуле (8.62), даны в таб лице 16. Формулы (8.58) при этом значении / = 0,2357 полу чают вид:
т,„,и»1о8» = (0.23576—0.564- 0,2929?- 0*.)02866.
V
Rm<s> sin ft = 1 — 1,5=-|- 0,5£3,
(8.63)
где Хо есть значение X при 8- — 0 (Xq = 2,57). Соответствующие значения этих величин даны в таблице 17. Как видно, про фили скоростей и к и сохраняют свой вид вдоль шара, изме няются лишь масштаб и амплитуда. Максимальное значение первой из величин (8.63) равно 0,22, второй—Г. Изменение
максимальных значения |
и |
и v (мтах и |
•итах) |
представлено |
||
в таблице 16; там же дано и их отношение. |
|
|
||||
Интегрирование |
первого |
соотношения |
(8.63) |
дает |
|
|
|
8 |
и dz = 0,0184Х3 sin ft cos ft, |
(8.64) |
|||
------!—ц- |
/* |
|||||
vо
1)См. сноску на стр. 16.
16*
244 ВРАЩЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ТЕЛА В ОСЕВОМ ПОТОКЕ [ГЛ. VIII
а из уравнения неразрывности |
[первое уравнение (8.51)] |
8 |
6 |
fudz+
оо
где т»5 — значения ту на внешней границе пограничного слоя. Используя (8.64), найдем:
w8 = — 0,0184 (wv)/a |
(к3 sin $■ cos (1)-f-к3 cos2D |
=0,0184(<jr>)11 £ (2 cos2&— sin2&) k3-|- -^-sin&cosS-^jJ,
иокончательно с учетом (8.61) получим:
w5 |
л люи / |
?/а 173,6 — 2k4COS2& |
(8.65) |
||
— — 0,0184 (wv)/a—I---- г------------. |
|||||
|
|
|
|
к |
|
Эти значения даны в |
последнем столбце таблицы |
16. |
|||
|
|
|
|
Таблица 17 |
|
Распределение скоростей по сечению |
|
||||
пограничного слоя вращающегося шара |
|
||||
|
(по Л. Хоуарту) |
|
|||
|
6 |
|
“'о |
V |
|
|
|
sin cos 9 |
sin & |
|
|
|
|
|
|
||
|
0,0 |
0,0000 |
1,0000 |
|
|
|
0,1 |
0,1246 |
0,8505 |
|
|
|
0,2 |
0,1944 |
0,7040 |
|
|
|
0,3 |
0,2205 |
0,5635 |
|
|
|
0,4 |
0,2133 |
0,4320 |
|
|
|
0,6 |
0,1386 |
0,2080 |
|
|
|
0,8 |
0,0450 |
0,0056 |
|
|
|
1,0 |
0,0000 |
0,0000 |
|
|
Из формулы (8.62) |
вытекает, |
что к (следовательно, и 8) |
|||
в окрестности |
экватора |
(0 = -/2) |
имеет вид ccos~/a&, т. е. |
||
уже нельзя пренебрегать |
первым |
членом (8.56), и |
поэтому |
||
полученное решение неприменимо для этой области. Однако природа особенности решения при & = тс/2 такова, что реше ние неприменимо лишь в узкой окрестности экватора, где так
§ 54] ВРАЩАЮЩИЙСЯ ПОЛУБЕСКОНЕЧНЫЙ ЦИЛИНДР 245
или иначе имеется взаимодействие течений из обоих полу
шарий. |
Интегральные же величины |
являются достоверными. |
||||||||
Из (8.63) |
следует, |
что в пограничном |
слое |
при & -> тг/2 |
||||||
л |
v |
1 |
то время как |
/ ди \ |
„ |
/ dv \ |
|
-■* |
_ |
О, |
и —> 0, |
-н------ > 1, в |
\ dz Jo |
—> 0, |
\ dz |
Jo |
|
||||
|
/?от® |
|
r |
|
|
|
|
|||
т. е. решение вблизи экватора представляет собой нечто
подобное отрыву. |
Заметим, что |
стремление |
и к |
нулю при |
|||
|
|
|
|
|
|
з |
|
&—>л/2 |
как будто |
противоречит тому, |
что *J |
и dz |
не равен |
||
нулю при & = к/2. |
В действительности |
о |
|
|
|||
же из условия сим |
|||||||
метрии |
не может |
быть |
протока |
через |
плоскость |
экватора, |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
поэтому |
2л/? J* adz при |
& = л/2 |
есть |
по сути дела поло- |
|||
о
вина количества жидкости, которое отходит от шара вблизи экватора; оно равно притоку жидкости в пограничный слой по поверхности полушария.
§54. Вращающийся полубесконечный цилиндр
воднородном потоке
Другим примером задачи об осевом обтекании вращаю щегося осесимметричного тела, который не охватывается
решением Шлихтинга (§ 48—51), |
является обтекание одно |
родным потоком со скоростью в |
бесконечности U вращаю |
щегося полубесконечного полого |
цилиндра, ось которого |
ориентирована вдоль потока1).
Уравнения (8.1) в этом случае примут вид:
|
ди |
, |
dw__ „ |
|
|
дх |
' |
dz |
’ |
dv |
, |
dv |
д-v |
|
и -з---- H w |
-jr- = v-s-s-. |
|||
dx |
1 |
dz |
dz?- |
|
Первые два уравнения имеют такой же вид, как уравне
ния движения при плоско-параллельном обтекании |
плоской |
1) См. приложение к цитированной выше работе |
Хоуарта |
(сноска на стр. 239). |
|
17 Зак. 944. Л. А. Дорфман
246 ВРАЩЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ТЕЛА В ОСЕВОМ ПОТОКЕ [ГЛ. VIII
пластинки. Так как и граничные условия совпадают с гра ничными условиями для плоской пластинки, то составляю щие и и w вектора скорости определяются из решения для пограничного слоя плоской пластинки1). Величина ujU пред ставляется в виде
(8.67)
где функция ср удовлетворяет дифференциальному уравнению
^"4-^ = 0 |
|
(8.68) |
|
с граничными условиями: |
|
|
|
Ср = ср' ----- 0 |
При 7] |
--- 0, |
|
< р' = 2 |
при |
т] —> со. |
|
Значения функции u/U протабулированы2). |
|
||
Для составляющей w получается |
|
|
|
w = |
(W'—?)• |
(8-69) |
|
Окружная составляющая v определится по известным зна чениям и п w согласно последнему уравнению (8.66) при
граничных условиях: |
|
|
|
|
• |
и = 0 |
при |
z = оо, |
|
< |
u = cbR |
при |
2 = 0. |
|
Нетрудно проверить, что |
решением будет |
функция |
||
|
v = ±u>R(2 — <f'). |
(8.70) |
||
Действительно, после подстановки величин (8.67), (8.69) и (8.70) в последнее уравнение (8.66) возвратимся к уравне нию (8.68).
Составляющие поверхностного трения будут равны
1 |
j |
тга. = 0,332Р(^-)2 , % = —0,332Р(о/?(-^)2. (8.71)
!) Лойцянский Л. Г., Механика жидкости и газа, Гостехиздат, 1957.
5) См. там же.
§ 55] |
ВЛИЯНИЕ СЖИМАЕМОСТИ |
247 |
Таким образом, вращение не оказывает влияния на сопро тивление цилиндра потоку. Эта тенденция наблюдалась при опытах Визельсбергера для цилиндра конечной длины (см. рис. 109) даже при наличии торца.
Момент, необходимый для поддержания вращения участка цилиндра длины L, равный моменту трения
M = JГ 2^zyI^dx= l,32827tP<o7?3(^f/)2.
о
Если теперь определить коэффициент момента по фор муле (8.42), то получим выражение
~= • 1>3282|/"А=8,346]ЛА-. (8.72)
Как и следует ожидать, при больших значениях L/R эта формула дает результат, близкий к случаю обтекания вра щающегося полутела, как нетрудно проверить по рис. 107 (стр. 234).
§55. Влияние сжимаемости
Вслучае осевого обтекания вращающегося тела сжимае мым газом уравнения движения в пограничном слое прини мают следующий вид:
|
|
-^-(Р^«) + -^(Р^) = О, |
|
(8.73) |
||||
( ди |
v^ dR . |
ди \ |
|
.. dU . |
д ( |
ди \ |
, |
|
р\“ дх |
R |
dx^ W dz)~^U~dT^~ 1)1 |
|
<8-74) |
||||
|
r |
дх |
1 |
dz |
dz L' |
dz |
J |
' |
Уравнение энергии можно записать следующим образом:
I |
dl . |
di X |
, |
|
|
|
,, |
dU |
|
|
|
|
|
Р ( ч |
дх |
F -тг- + |
r°° |
—г~ - |
|
|
|
|
|||||
' \ |
1 |
дг) |
1 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
д |
I |
|
д! \ . |
[7 ди \2 |
/ dv \2Ч |
J ' |
(8-76) |
|
|
|
|
Р |
|
|
dz |
V |
dz |
dz ) |
\ дг ) |
|||
|
К этим уравнениям следует еще присоединить уравнение |
||||||||||||
состояния |
|
|
|
|
|
6 — 1 |
, |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.77) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
?1 = Р |
|
|
|
17*