Материал: Экономико-математические методы и модели. Гасилов В.В., Околелова Э.Ю

1.4. Классификация экономико-математических моделей

Математические модели, используемые в экономике, можно разделить на классы по ряду признаков, относящихся к особенностям моделируемого объекта, цели моделирования и используемого инструментария.

Взависимости от типа моделируемого объекта модели бывают макро-

имикроэкономические.

Макроэкономические модели описывают экономику как единое целое, связывая между собой ее укрупненные показатели: ВВП, инвестиции, производительность труда, занятость, процентную ставку и др. показатели.

Микроэкономические модели описывают взаимодействие структурных и функциональных составляющих экономики либо поведение одной такой составляющей в рыночной среде. Вследствие разнообразия типов экономических элементов и форм их взаимодействия на рынке микроэкономическое моделирование занимает основную часть экономико-математической теории.

В зависимости от целей моделирования могут разрабатываться теоре-

тические и прикладные модели.

Теоретические модели позволяют изучать общие свойства экономики и ее характерных элементов. Прикладные модели дают возможность оценить параметры функционирования конкретного экономического объекта и сформулировать рекомендации для принятия практических решений.

В моделировании рыночной экономики особое место занимают равновесные модели, которые описывают состояние экономики, когда результирующая всех сил, стремящихся вывести ее из данного состояния, равна нулю, например, модели рыночного равновесия спроса и предложения.

Оптимизационные модели в рыночной экономике обычно строятся на микроуровне, например, максимизация прибыли или минимизация затрат при фирменном планировании.

В зависимости от используемого инструментария и от характера изу-

чаемых процессов все виды моделирования могут быть разделены на детерминированные и стохастические, дискретные и непрерывные, статические и динамические, линейные и нелинейные.

Детерминированное моделирование отображает детерминированные процессы, т.е. процессы, в которых предполагается отсутствие всяких случайных воздействий.

Стохастическое моделирование отображает вероятностные процессы и события. В этом случае анализируется ряд реализаций случайного процесса и оцениваются средние характеристики процесса.

Дискретное моделирование служит для описания процессов, которые предполагаются дискретными, т.е. прерывистыми, состоящими из отдельных частей.

6

Непрерывное моделирование позволяет отобразить непрерывные процессы в системах.

По временному признаку модели могут быть статическими и динамическими. В статических моделях описывается состояние экономического объекта в конкретный момент или период времени, а динамические модели включают взаимосвязи переменных во времени (например, за пятилетний период).

По степени огрубления формы структурных отношений исследуемого объекта модели подразделяются на линейные и нелинейные. В линейных моделях все искомые переменные записаны в первой степени, а на графиках они могут быть представлены в виде прямых линий. В нелинейных моделях искомые переменные записаны в степени выше первой или в виде их произведений.

В зависимости от формы представления объекта можно выделить мысленное и реальное моделирование.

Мысленное моделирование часто является единственным способом моделирования объектов, которые практически нереализуемы в заданном интервале времени либо существуют вне условий, возможных для их физического созерцания. Мысленное моделирование может быть реализовано в виде наглядного и математического.

При наглядном моделировании на базе представлений человека о реальных объектах создаются различные наглядные модели, отражающие явления и процессы, протекающие в объекте.

В основу гипотетического моделирования исследователем закладывается некоторая гипотеза о закономерностях протекания процесса в реальном объекте, которая отражает уровень знаний исследователя об объекте и базируется на причинно-следственных связях между входом и выходом изучаемого объекта.

Аналоговое моделирование основывается на применении аналогий различных уровней. Наивысшим уровнем является полная аналогия, имеющая место только для достаточно простых объектов.

Мысленный макет может применяться в тех случаях, когда протекающие в реальном объекте процессы не поддаются физическому моделированию.

Символическое моделирование может быть языковым или знаковым. В основе языкового моделирования лежит некий тезаурус, т.е. словарь, очищенный от неоднозначности, присущей обычному словарю (например, слово

"КЛЮЧ").

Знаковое моделирование позволяет с помощью знаков отображать набор понятий, т.е. составить цепочки из слов и предложений и таким образом дать описание реального объекта.

7

Математическими моделями называют комплекты математических зависимостей, отображающие существенные характеристики изучаемого явления. Во многих случаях математические модели наиболее полно отображают моделируемый объект. В то же время математические модели более динамичны, на них лучше найти оптимальные параметры объекта. Для моделирования экономических явлений другие модели, кроме экономикоматематических, как правило, использовать нельзя. Экономикоматематические модели, в свою очередь, бывают двух типов: аналитические и имитационные.

Для аналитического моделирования процессы функционирования записываются в виде некоторых функциональных отношений (алгебраических, конечно-разностных и т.д.). При имитационном моделировании имитируются элементарные явления, составляющие процесс, с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени.

Реальное моделирование является наиболее адекватным, но его возможности с учетом сложности моделируемых объектов очень ограничены.

1.5. Объекты моделирования

Объектами моделирования в строительстве являются: инвестиционностроительный комплекс в целом, его отдельные составляющие, например жилищное строительство, предприятия, отдельные подразделения предприятий и производственные процессы в них.

Не всякую экономическую задачу можно представить в виде экономи- ко-математической модели с целью нахождения оптимума. Для этого необходимо наличие определенных условий, допускающих моделирование данной проблемы, а именно:

1)все требования и условия задачи должны быть выражены математически в виде уравнений и неравенств;

2)данная задача должна допускать многовариантность решения (иметь альтернативы);

3)необходимо наличие четкой математической формулировки цели с возможностью получения однозначного ответа, поскольку методы оптимизации (за исключением многокритериальных задач) не допускают формулирования более чем одной цели.

1.6.Цель, критерий и ограничения

вэкономико-математических моделях

При решении экономических задач мы ставим перед собой определен-

ную цель, которую желаем достичь. Цель - это то, во имя чего осуществляется моделируемый производственный процесс.

8

Для выбора из множества возможных путей достижения цели наилучшего служит критерий оптимальности, т.е. признак, по которому могут сравниваться и оцениваться варианты достижения цели. Критерий оптимальности характеризует качество решения, эффективность намечаемого пути достижения цели. В качестве критерия оптимальности обычно принимают экономическую величину, экстремальное значение которой определяют в процессе решения задачи. Критерий оптимальности должен иметь стоимостную, натуральную или временную размерность. Критерием оптимальности могут быть: объем строительно-монтажных работ (СМР) в натуральном или в стоимостном выражении, прибыль, приведенные затраты, производительность труда и т.д.

Критерий оптимальности может быть локальным и глобальным. Глобальный критерий оценивает эффективность функционирования системы или организации с учетом согласованных между собой общих интересов системы или организации и внутренних интересов ее структурных подразделений.

Понятие глобального критерия может рассматриваться применительно к народному хозяйству в целом. Возможной формулировкой народнохозяйственного критерия оптимальности служит интегральная общественная полезность благ и услуг, максимизация валового внутреннего продукта (ВВП).

Для планирования деятельности отдельных отраслей народного хозяйства необходимы локальные критерии оптимальности, отличающиеся от глобального. Для отрасли строительства это может быть максимальный ввод в

эксплуатацию объектов и сооружений. Локальный критерий оптимальности конкретизирует требования глобального таким образом, чтобы интересы каждого предприятия и его звеньев совпадали с интересами народного хозяйства

вцелом.

Всвою очередь критерий оптимальности функционирования отрасли, если рассматривать ее как относительно обособленную систему, является глобальным по отношению к локальным критериям функционирования предприятий и организаций отрасли.

Искомыми параметрами являются переменные, обеспечивающие достижение цели при экстремальном значении критерия оптимальности. Такими переменными могут быть:

- набор объектов, этапов и комплексов работ, максимизирующий программу работ строительной организации; - распределение объемов выполняемых работ по способам производст-

ва, минимизирующее приведенные затраты на их выполнение и т.д. Математическая интерпретация критерия оптимальности задач в виде

функции многих переменных носит название целевой функции. Целевая

функция обычно имеет вид

9

n

F = ∑Cj ×X j → min(max). (1.1)

j=1

Коэффициенты Cj при искомых переменных Xj представляют собой величину критерия оптимальности в расчете на единицу соответствующей переменной.

Система ограничений задачи представляет собой совокупность равенств или неравенств, с помощью которых устанавливают связь между искомыми переменными и определяют допустимые границы их изменения. Ограничения имеют вид

j=1

где Qij – норматив затрат i-го вида ресурса на единицу j-ой переменной; bi - величина i-го вида ресурса.

Ограничения могут быть по выпускаемым изделиям и потребляемым материалам, основным и оборотным фондам, трудовым ресурсам, способам выполнения работ, срокам и т.д. Строгое равенство используют для реализации ограничений по потребностям, величина которых жестко фиксирована: объемы работ, количество ресурсов и т.д.

Неравенства вида ≤ записывают по лимитированным ресурсам: машинам, рабочим, капитальным вложениям и т.д. Неравенства вида ≥ характеризуют ограничения по нелимитированным ресурсам и определяют минимально необходимый объем работ, минимальный выпуск продукции и т.д.

Если система ограничений содержит равенства и неравенства, то она может оказаться несовместной, т.е. неразрешимой. Несовместность системы ограничений, как правило, может быть установлена только в процессе решения задачи. Потребность в трудовых и материально-технических ресурсах на единицу искомой переменной Xj - Qij задается в виде коэффициентов при переменных в ограничениях.

ЭММ с формально математических позиций представляет собой задачу, в которой необходимо определить значение неизвестных переменных, обращающих в минимум или максимум величину целевой функции при соблюдении ограничений, принятых для решения задачи.

Вопросы и задания

1.Что такое экономико-математическая модель?

2.Что является объектом моделирования?

3.Какие ограничения применяются в экономико-математических моде-

лях?

4. Приведите примеры процессов, для описания которых используется дискретное моделирование.

10