Материал: Электромеханические аналогии. методические указания по дисциплине «Теоретическая механика». Переславцева Н.С., Бестужева Н.П

2. Электромеханическая аналогия максвелла

Проведем сравнительный анализ двух простейших колебательных систем – механической и электрической (рис. 1). Тело движется поступательно вдоль оси под действием переменной силы , зависящей от времени, силы упругости , пропорциональной смещению тела, и силы сопротивления , пропорциональной скорости тела. Начало координат соответствует недеформированной пружине в начальный момент времени.

Рис. 1. Первая электромеханическая аналогия

(аналогия Максвелла): механическая и электрическая

системы с одной степенью свободы

Уравнение движения тела имеет вид:

. (1)

Кинетическая и потенциальная энергии и функция рассеяния Релея, соответственно:

, , . (2)

Замкнутый колебательный контур представляет собой линейную электрическую цепь с сосредоточенными параметрами – сопротивлением , конденсатором , катушкой индуктивности и источником ЭДС . Обозначим заряд на конденсаторе , силу тока в цепи и запишем в данный момент времени известные соотношения для падения напряжения на сопротивлении, конденсаторе и катушке , и , соответственно:

, , .

Т.к. , то

. (3)

Сопоставление уравнений (1) и (3) показывает, что если обеспечить пропорциональность между коэффициентами, то решения этих уравнений при соответствующем подборе начальных данных будут отличаться лишь постоянным множителем. Физические системы считаются аналогичными, если они описываются одинаковыми дифференциальными уравнениями. Соответствие решений уравнений (1) и (3) позволяет экспериментально исследовать механическую систему с помощью измерений на электрической и наоборот.

Сведем аналогичные величины в таблицу 2.

3. Уравнения лагранжа второго рода

Пусть на систему, имеющую степеней свободы, наложены голономные связи и действуют потенциальные, диссипативные и вынуждающие связи. Уравнения ее движения в обобщенных координатах имеют вид:

, . (4)

Здесь – обобщенная координата, – обобщенная сила, отнесенная к обобщенной координате , – кинетическая энергия системы. Эти уравнения образуют систему уравнений Лагранжа второго рода. Число уравнений Лагранжа равно числу независимых обобщенных координат, т.е. числу степеней свободы системы.

Таблица 2 Система электромеханических

аналогий Максвелла

Уравнения Лагранжа для обобщенных координат являются обыкновенными дифференциальными уравнениями второго порядка, как и дифференциальные уравнения движения точки в декартовых координатах.

Обобщенная сила в общем случае вычисляется как коэффициент при приращении обобщенной координаты в выражении элементарной работы действующих на систему сил:

. (5)

Обобщенные потенциальная и диссипативная силы вычисляются по формулам:

, . (6)

4. Составление уравнений лагранжа для электрических цепей с сосредоточенными параметрами

Если использовать методику составления уравнений Лагранжа второго рода, но вместо обычных механических величин брать электрические (см. табл.), то уравнения (2.1) будут являться уравнениями многоконтурной электрической системы. Рассмотрим несколько примеров электромеханических аналогий

Пример 1. Применить методику составления уравнений Лагранжа второго рода для электрического контура с двумя степенями свободы, изображенного на рис. 2.

1. Определим число степеней свободы электрической цепи.

Каждая электрическая цепь состоит из ветвей и узлов. Совокупность ветвей и узлов, по которым возможен замкнутый обход, называется контуром. Токи, протекающие по ветвям, связаны законами Кирхгофа:

для каждого узла

, (7)

для каждого контура

. (8)

Рис. 2. Электрический контур с двумя

степенями свободы

Пусть цепь содержит ветвей и узлов. По ветвям протекают количества электричества с силами токов , . Соотношения (7) надо рассматривать как уравнения связи для . Для узлов число таких независимых уравнений будет равно .

Если в рассматриваемой цепи содержится источник ЭДС, то ток в этой ветви определяется данным источником. Если вся цепь содержит источников, то число степеней свободы электрической цепи вычисляется по формуле:

. (9)

Для многосвязных электрических контуров эта формула дает

, (10)

где – число односвязных контуров, , , – суммы соответствующих величин для многосвязного электрического контура.

Для рассматриваемого примера (рис. 2) задание силы тока на участке и на участке полностью определяет силу тока на любом участке. Следовательно, число степеней свободы данной электрической системы .

2. Составим выражения для , , как суммы соответствующих величин во всей цепи:

,

,

.

3. Вычислим обобщенные силы.

Вынуждающая обобщенная сила по первой координате определяется из условия по выражению для элементарной работы электрических сил с учетом (5):

.

Отсюда

Потенциальная обобщенная сила , соответствующая первой обобщенной координате , равна

.

Диссипативная обобщенная сила , соответствующая первой обобщенной координате , равна

.

Производные, входящие в уравнение Лагранжа второго рода для первой степени свободы, равны

, .