Материал: Электромеханические аналогии. методические указания по дисциплине «Теоретическая механика». Переславцева Н.С., Бестужева Н.П

6. Электрическое моделирование колебаний механических систем. Масштабные коэффициенты. Индикаторы подобия

Для того, чтобы при моделировании аналогичные явления были подобными, соотношения между моделируемыми и моделирующими величинами должны удовлетворять соответствующим условиям. Для установления этих условий вернемся к системам электромеханической аналогии Максвелла (см. рис. 7) и сравним их уравнения движения (1) и (3).

( ) ( , , )

Рис. 7. Электромеханическая аналогия Максвелла

. (16)

. (17)

Введем следующие отношения:

, , , , .

Так как скорости моделируемого и моделирующего процессов различны, то положим, что отношение времени моделируемого и времени моделирующего процессов равно числу .

Числа называют масштабными коэффициентами. Все они, кроме , имеют размерность.

Выразим механические величины через электрические с помощью масштабных коэффициентов:

, , , , , ,

, .

Подставив эти величины в уравнение (16) и преобразовав его, получим:

. (18)

Чтобы моделируемое и моделирующее явления были аналогичны, необходимо, чтобы уравнения (16) и (18) были идентичны, т.е. должны выполняться условия:

, , . (19)

Соотношения (19) называют индикаторами или критериями подобия. Шесть чисел связаны тремя соотношениями (19), следовательно только три масштабных коэффициента являются независимыми. Например, если – независимы, то для остальных чисел получаем соотношения:

, , . (20)

Если число степеней свободы системы больше 1, соотношения (19) сохраняются, так как сложные системы можно рассматривать как состоящие и нескольких простых, которые подобны как в отдельности, так и в целом, если соблюдено подобие сопряжения простых систем и граничные условия.

Пример 4. Осуществить подбор масштабных коэффициентов для механической системы, электрическая модель которой представлена на рис. 8. Дано: , , , , , , , , , (1 ).

Рис. 8. Механическая система и ее электрическая модель

Найдем

.

С другой стороны

.

Отсюда определяем

.

Аналогично находим

.

Поскольку

,

Вычисляем

.

Вычисляем

.

Определяем

.

Таким образом, в моделирующей электрической системе явления протекают в 500 раз быстрее, чем в механической.

Учитывая, что

,

находим

,

Вычисляем коэффициент

.

Некоторые радиотехнические электрические системы и их механические аналоги приведены в приложении.

7. Составление уравнений лагранжа для исследования неголономных систем

Рассмотрим динамическую систему, на движение которой наложена кинематическая связь. При этом вектор скорости одной из точек тела системы сохраняет свое направление по отношению к этому движущемуся телу. Для механической системы эта связь типична в случае, когда твердое тело, двигающееся по поверхности, имеет острие, врезающееся в неподвижную поверхность – вектор скорости точки острия сохраняет свое направление относительно тела. Для электромеханической системы кинематическую связь можно представить как проводник с током, положение которого не меняется относительно подвижной части системы (ротора). В этих случаях кинематическая связь, накладываемая на скорости (токи), является неинтегрируемой. Уравнения Лагранжа (4), записанные в голономных координатах, для исследования подобных систем неприменимы. Необходимо вводить новые неголономные координаты и использовать уравнения движения в этих координатах. Такие уравнения можно представить в виде (форма Лагранжа-Эйлера):