Материал: Электромеханические аналогии. методические указания по дисциплине «Теоретическая механика». Переславцева Н.С., Бестужева Н.П

, (21)

где индекс пробегает по всем независимым неголономным координатам, – независимые неголономные координаты, вводящиеся преобразованием:

, (22)

где – число старых голономных координат.

Направляющие косинусы преобразованных координат и кинетическая энергия системы, выраженная в неголономных координатах, вычисляются по формулам:

,

Величина кинетической энергии может быть также записана в виде:

,

Где – метрический тензор неголономных координат, – метрический тензор исходной системы голономных координат. Он определяется метрикой пространства:

.

Величина определяется через направляющие косинусы преобразования координат:

.

Введение новых координат диктуется удобством решения задачи. Неголономность координат зависит от интегрируемости соотношения (22). Оно состоит в выполнении равенства:

. (23)

Если условие (23) не выполняется, то новые координаты являются неголономными

Пример 5. Осуществить переход от осей, жестко связанных с ротором электродвигателя, к стационарным неподвижным осям. На рис. 9 изображены оси и , жестко связанные с ротором, вращающимся со скоростью , и – стационарные неподвижные оси, – угол, определяющий взаимное расположение неподвижных и вращающихся осей в момент времени, когда ротор совершил оборотов. Ось совпадает с осью вала ротора. – орты соответствующих осей координат.

Рис. 9. Переход от осей, жестко связанных с ротором электродвигателя, к стационарным неподвижным осям

Выберем обобщенные координаты в системе координат, связанных с ротором: , (количества электричества в проводниках вдоль осей и ), (угол поворота ротора). Обобщенные скорости и токи:

, , .

При переходе к стационарным осям преобразуются не сами обобщенные координаты, а их производные. В соответствии с рис. 9 получаем:

,

, (24)

Здесь , , – обобщенные скорости и токи в новых осях координат. Направляющие косинусы преобразования при этом имеют вид:

.

Преобразование токов играет роль кинематической связи. Проверим условии (23) неголономности новых координат. Применив дифференцирование, получаем:

,

,

.

Неравенство этих производных показывает, что новые координаты являются неголономными. Для описания электромеханизма в стационарных координатах необходимо пользоваться уравнениями движения (21) в неголономных координатах.

8. Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Составить контурные уравнения для электрической цепи, изображенной на рис. 10, используя аналогию Максвелла.

Рис. 10. Электрический контур с тремя степенями свободы

З

Рис. 11. Электродинамический датчик

адача 2. Схематическое изображение электродинамического датчика представлено на рис. 11. Якорь массы электродинамического датчика для записи механических колебаний опирается на две пружины с коэффициентами жесткости и при вертикальных колебаниях основания датчика имеет вертикальное смещение от положения покоя. Вследствие изменения воздушного зазора в магнитопроводе коэффициент самоиндукции катушки изменяется пропорционально вертикальному смещению якоря: . Катушка включена в электрическую цепь, состоящую из источника ЭДС и омического сопротивления . Составить дифференциальные уравнения движения якоря и тока в электрической цепи датчика.

З

Рис. 12. Вибратор

Шлейфного осциллографа

адача 3. Устройство вибратора шлейфного осциллографа изображено на рис. 12. Проволочная петля (1) (бифиляр) с одной стороны укреплена зажимами (2), к которым подключается источник ЭДС, с другой стороны натягивается с помощью пружины (3). Средняя часть петли опирается на острые ребра призм из диэлектрика (4). Эта часть петли располагается в зазоре постоянного магнита (5), благодаря чему при прохождении тока через проволочную петлю возникает электромагнитный вращающий момент. При закручивании бифиляра поворачивается закрепленное на нем зеркальце (6), отбрасывая световой зайчик на светочувствительную пленку. Составить уравнения Лагранжа для вибратора шлейфного осциллографа и установить коэффициенты электромеханической связи

Задача 4. Составить уравнения Лагранжа второго рода, линеаризовать их и установить коэффициенты электромеханической связи для виброизмерительного прибора электростатического типа (рис. 13). Основной частью прибора является плоский конденсатор, одна из пластин которого жестко скреплена с корпусом, а вторая играет роль сейсмической массы. Прибор служит для записи колебаний корпуса.

Рис. 13. Виброизмерительный прибор электростатического типа: 1 – корпус прибора,

2 – пластины конденсатора, 3 – сейсмическая масса,

4 – пружины, 5 – источник постоянной ЭДС,

6 – электроизмерительный прибор

Задача 5. На рис. 14 а) изображена конструкция электромагнитного телефона, состоящего из корпуса (1), постоянного магнита (4), двух последовательно соединенных катушек индуктивности (3) и упругой мембраны из магнитомягкого сплава (2). Постоянный магнит притягивает

Рис. 14. Устройство электромагнитного телефона

мембрану, при равновесии она находится в упругодеформированном состоянии. Когда по обмоткам катушек течет переменный ток, происходит наложение магнитных полей тока и постоянного магнита. Поле изменяется, то возрастая, то убывая по отношению к первоначальному уровню. Изменяющаяся вследствие этого магнитная сила вызывает колебания мембраны. Если изменения тока в катушках происходят с частотами звукового диапазона (20 – 2·10⁴ ), то колебания увлекаемого мембраной столба воздуха вызывают ощущения звука. Таков принцип действия этого устройства. Идеализированное представление этого устройства отражено на рис. 14 б), где упругая мембрана как механическая система представлена в виде совокупности сосредоточенной массы (ее называют якорем), и безмассовых пружин общей жесткостью , на которых якорь подвешен. В положении равновесия тока в катушках нет, и упругая сила деформированных пружин уравновешивается силой тяжести якоря и силой притяжения постоянного магнита. Составить уравнения движения мембраны и провести их линеаризацию при незначительном смещении якоря относительно положения равновесия.

Задача 6. Устройство электродинамического телефона изображено на рис. 15 а). В этом телефоне при подключении источника переменной ЭДС к катушке индуктивности (1) возникают колебания мембраны (2). Катушка жестко скреплена с мембраной и может перемещаться в воздушном зазоре магнитной цепи. В состав магнитной цепи входит постоянный магнит, имеющий форму полого цилиндра (3), нижний (4) и верхний (5) фланцы и керн (6), изготовленные из ферромагнитных материалов. Цилиндрический конец керна входит в круговое отверстие верхнего фланца неплотно. Между ними имеется воздушный зазор кольцеобразной формы, в котором вдоль направления радиусов замыкаются линии поля постоянного магнита. Катушка с током, погруженная в этот зазор, испытывает воздействие электромагнитной силы, величину которой можно установить по закону Ампера. Катушку помещают в зазор, строго центрируя, так что линии электрического тока и магнитной индукции везде взаимно перпендикулярны, а равнодействующая электромагнитной силы направлена вдоль оси катушки. В части воздушного зазора, занятой катушкой, поле постоянного магнита можно считать однородным. Идеализированное представление этого устройства отражено на рис. 15 б). Составить уравнения движения мембраны.

а) б)

Рис. 15. Устройство электродинамического телефона

Задача 7. Провести исследование систем, изображенных на рис. 16, на их эквивалентность. На рис. 16 а) изображен подвешенный на пружине груз, который может совершать колебательные перемещения в вертикальном направлении. Схема идеализированного представления этой механической системы содержит сосредоточенную приведенную массу , жесткость пружины, лишенной массы, и, наконец, участок, характеризуемый коэффициентом силы сопротивления, пропорциональной скорости перемещения груза. На систему действует возмущающая сила . Составить таблицу соответствий по механической системе и обеим электрическим цепям.

а) б) в)

Рис. 16. Эквивалентные механическая и