Материал: Электромеханические аналогии. методические указания по дисциплине «Теоретическая механика». Переславцева Н.С., Бестужева Н.П

Добавочная обобщенная сила по второй координате определяется из условия , тока на участке нет, источник ЭДС на отключен, на других источников нет и .

Далее вычисляем:

,

,

,

.

После подстановки в (4) получаем искомую систему двух уравнений:

Как видно из полученной системы, уравнения Лагранжа для электрической цепи выражают действительный баланс электродвижущих сил в -контурной цепи (второй закон Кирхгофа).

Пример 2. Составить контурные уравнения для электрической цепи, изображенной на рис. 3, используя аналогию Максвелла, и установить ее механической аналог.

Рис. 3. Электрический контур с четырьмя

степенями свободы

Как и в предыдущем примере определим число степеней свободы электрической цепи, составим выражения для , , , вычислим обобщенные силы и запишем систему уравнений.

.

– обобщенные координаты.

Уравнения Лагранжа в этом случае имеют вид:

, .

(Диссипативная функция равна нулю, т.к. в системе не содержатся сопротивления).

Вычисляем:

,

,

, , , .

Окончательно получаем систему четырех уравнений:

.

Эти уравнения аналогичны дифференциальным уравнениям вынужденных колебаний без учета сил сопротивления механической системы, изображенной на рис. 4.

Рис. 4. Механическая система с четырьмя

степенями свободы

Дифференциальные уравнения движения данной механической системы будут иметь вид:

.

Очевидно, что каждое уравнение данной системы вытекает из второго закона Ньютона, записанного для каждого из четырех движущихся тел. Система, изображенная на рис. 4, является механическим аналогом электрической системы, приведенной на рис. 4.

5. Электромеханические системы и примеры применения уравнений лагранжа для исследования колебаний этих систем

Колебательные процессы, как в механических, так и в электрических системах представляют собой явления, заключающиеся в преобразовании с течением времени одних форм энергии в другие.

Т.к. механическая и электромагнитная энергии взаимно обратимы, то механические и электрические системы могут быть объединены на основе преобразования энергии в соответствии с первым началом термодинамики (обобщенным законом сохранения энергии). При этом между механическими и электрическими переменными системы устанавливаются зависимости, определяемые уравнениями связи.

Уравнения Лагранжа имеют энергетическую основу, поэтому позволяют установить эти зависимости.

Электромеханические системы – это такие совокупности электрических и механических цепей, в которых механические и электрические процессы протекают взаимно обусловлено. Поэтому среди обобщенных координат системы должны быть параметры, характеризующие и электрические явления ( – количество электричества, протекающего по разным ветвям), и геометрические координаты.

Общее число независимых обобщенных координат равно общему числу степеней свободы системы:

, (11)

где – число электрических степеней свободы, т.е. число независимых количеств электричества, протекающих по разным ветвям, – число механических степеней свободы, т.е. число фиксируемых параметров, при которых система не совершает перемещений.

Аналогично должны быть представлены кинетическая и потенциальная энергии, функция рассеяния и обобщенные силы электромеханической системы:

, , , . (12)

Рассмотрим выражения для через параметры электрической цепи с степенями свободы. Связи полагаются идеальными, стационарными, голономными.

Энергия магнитного поля витка с током и постоянной индуктивностью равна . Добавочная энергия магнитного поля двух индуктивно связанных витков с токами и равна , где – коэффициент взаимной индукции. Полная кинетическая энергия системы двух витков равна

.

Если в контуре с током магнитный поток сцепления порожден не током другого контура, а постоянным магнитом, то добавочная энергия магнитного поля равна .

Таким образом, для цепи из ветвей, из которых связаны взаимной индукцией, а сцеплены с постоянными магнитами, электрокинетическая энергия вычисляется по формуле:

. (13)

Так как уравнения связей для токов линейны (законы Кирхгофа), то – квадратичная функция своих аргументов.

Коэффициенты и в вакууме постоянны, а в магнитной среде зависят от токов.

При наличии конденсаторов емкостью , электрическая система обладает потенциальной энергией, являющейся квадратичной функцией независимых количеств движения :

. (14)

Если электрическая система содержит омических сопротивлений, то электрическая диссипативная функция является квадратичной функцией независимых токов

. (15)

Пример 3. Конденсаторный микрофон (рис. 5) состоит из последовательно соединенных катушки самоиндукции с индуктивностью , омического сопротивления и конденсатора, пластины которого связаны двумя пружинами общей жесткости . Цепь подсоединена к элементу постоянной ЭДС , на пластину конденсатора действует переменная сила . Емкость конденсатора в положении равновесия , расстояние между пластинами при этом . Масса подвижной пластины конденсатора (диафрагмы) . Составить дифференциальные уравнения движения системы.

Рис. 5. Схема конденсаторного микрофона

Емкость конденсатора изменяется при колебаниях диафрагмы от звуковых волн. В результате изменяется сила тока в цепи и выходное напряжение , которое и обеспечивает в дальнейшем воспроизведение звука.

За первую обобщенную координату смешанной системы примем величину смещения подвижной пластины от положения равновесия , когда звуковое давление равно нулю (рис. 6). Если в положении пружины сжаты на длину , то в произвольном положении величина сжатия равна , а расстояние между пластинами .

Рис. 6. Выбор координаты : – произвольное

положение подвижной пластины, – положение

подвижной пластины при несжатых пружинах,

– начало отсчета, соответствующее условию

Емкость конденсатора обратно пропорциональна расстоянию между пластинами:

.

В положении равновесия при , отсюда получаем и

.

Полный заряд конденсатора равен

,

где – отклонение заряда от величины в равновесии при отсутствии звукового давления. Величину примем за вторую обобщенную координату.

Обобщенные кинетическая и потенциальная энергии системы

,

.

Функция Релея

.

Вынуждающие обобщенные силы

,

Составляем для системы уравнения Лагранжа:

Эти уравнения можно упростить, если учесть начальные условия: в положении равновесия , , , , . Получаем: