Материал: Г. В. Савицкая Анализ хозяйственной деятельности предприятия

, определяются закономерности их развития и как итог — точнее обосновываются планы и управленческие решения, более объективно оцениваются итоги деятельности предприятий и более полно определяются внутрихозяйственные резервы.
7.2. Использование способов парной корреляции для изучения стохастических зависимостей

Формы стохастической связи. Приемы обоснования уравнения связи. Порядок расчета параметров уравнения прямой, параболы, гиперболы. Методика расчета коэффициентов корреляции при прямолинейной и криволинейной формах зависимости. Интерпретация результатов корреляционно-регрессионного анализа.

Одной из основных задач корреляционного анализа является определение влияния факторов на величину результативного показателя (в абсолютном измерении). Для решения этой задачи подбирается соответствующий тип математического уравнения, которое наилучшим образом отражает характер изучаемой связи (прямолинейной, криволинейной и т.д.). Это играет важную роль в корреляционном анализе, потому что от правильного выбора уравнения регрессии зависит ход решения задачи и результаты расчетов.

Обоснование уравнения связи делается с помощью сопоставления параллельных рядов, группировки данных и линейных графиков. Размещение точек на графике покажет, какая зависимость образовалась между изучаемыми показателями: прямолинейная или криволинейная.

Наиболее простым уравнением, которое характеризует прямолинейную зависимость между двумя показателями, является уравнение прямой:

_{Yx = a + bx,} (7.1)

где х — факторный показатель;

Y — результативный показатель;

а и b— параметры уравнения регрессии, которые требуется отыскать.

Это уравнение описывает такую связь между двумя признаками, при которой с изменением факторного показателя на определенную величину наблюдается равномерное возрастание или убывание значений результативного показателя. В качестве примера для иллюстрации корреляционного анализа прямолинейной зависимости могут быть использованы сведения об изменении урожайности зерновых культур (

Y)в зависимости от качества пахотной земли (x) (см. табл. 4.7).Значения коэффициентов а и bнаходят из системы уравнений, полученных по способу наименьших квадратов. В данном случае система уравнений имеет следующий вид: (7.2)где п — количество наблюдений (в нашем примере — 20).Значения ∑x, ∑y, ∑xy, ∑x² рассчитываются на основе фактических исходных данных (табл. 7.1).Т а б л и ц а 7.1Расчет производных величин для определения параметров уравнения связи и коэффициента корреляции

п	x	y	xy	x2	y2	Yх
1	32	19,5	624	1024	380,25	19,8
2	33	19,0	627	1089	361.00	20.2
3	35	20,5	717	1225	420,25	21.0
20	60	33.0	1980	3600	1089.00	31.0
Итого	900	500,0	22 900	41 500	12 860,00	500,0

Подставив полученные значения в систему уравнений, получимУмножив все члены первого уравнения на 45 (900/20), получим следующую систему уравнений:

Отнимем от второго уравнения первое. Отсюда 1000b = 400; b = 0,4,a = = 7,0. Таким образом, уравнение связи, которое описывает зависимость урожайности от качества почвы, будет иметь видY_x= 7,0 + 0,4x.Коэффициент а — постоянная величина результативного показателя, которая не связана с изменением данного фактора. Параметр b показывает среднее изменение результативного показателя с повышением или понижением величины фактора на единицу его измерения. В данном примере с увеличением качества почвы на один балл урожайность зерновых культур повышается в среднем на 0,4 ц/га.Подставив в уравнение регрессии соответствующие значения х, можно определить выравненные (теоретические) значения результативного показателя (Y)для каждого хозяйства. Например, чтобы рассчитать урожайность зерновых культур для первого хозяйства, где качество почвы оценивается 32 баллами, необходимо это значение подставить в уравнение связи:Y_x= 7 + 0,4 × 32 = 19,8 ц/га.Полученная величина показывает, какой была бы урожайность при качестве почвы 32 балла, если бы данное хозяйство использовало свои производственные возможности в такой степени, как в среднем все хозяйства района. Аналогичные расчеты сделаны для каждого хозяйства. Данные приведены в последней графе табл. 7.1. Сравнение фактического уровня урожайности с расчетным позволяет оценить результаты работы отдельных предприятий.По такому же принципу решается уравнение связи при криволинейной зависимости между изучаемыми явлениями. Если при увеличении одного показателя значения другого возрастают до определенного уровня, а потом начинают снижаться (например, зависимость производительности труда рабочих от их возраста), то для записи такой зависимости лучше всего подходит парабола второго порядка:Y_x = a + bx + cx². (7.3)В соответствии с требованиями метода наименьших квадратов для определения параметров a, b и с необходимо решить следующую систему уравнений: (7.4)Значения ∑x, ∑y, ∑xy, ∑x², ∑x³, ∑x⁴ находят основании исходных данных (табл. 7.2).Т а б л и ц а 7.2

Зависимость производительности труда (у) от возраста работников (х)

Средний возраст по группе (х)	Среднемесячная выработка (у)	x/10	ху	х2	х2у	х3	х4	ух
20	4,2	2,0	8,4	4,00	16,8	8,00	16	3,93
25	4,8	2,5	12,0	6,25	30,0	15,62	39	4,90
30	5,3	3,0	15,9	9.00	47,7	27,00	81	5,55
35	6,0	3,5	21,0	12,25	73,5	42,87	150	5,95
40	6,2	4,0	24,8	16,00	99,2	64,00	256	6,05
45	5,8	4,5	26,1	20,25	117,4	91,13	410	5,90
50	5,3	5,0	26,5	25,00	132,5	125,00	625	5,43
55	4,4	5,5	24,2	30,25	133,1	166,40	915	4,78
60	4,0	6,0	24,0	36,00	144,0	216,00	1296	3,70
Всего	46,0	36,0	183,0	159,00	794,0	756,00	3788	46,00

Подставив полученные значения в систему уравнений, получим

Параметры а, bи с находят способом определителей или способом исключения. Используем способ определителей.Сначала найдем общий определитель:Δ = == 9 × 159 × 3788 + 36 × 756 × 159 + 36 × 756 × 159  159³  36² × 3788  756² × × 9 = 2565;затем частные определители ∆а,