Материал: Журомский Нелинейные системы автоматического управления 2012

Эквивалентные нормированные логарифмические характеристики НЭ показаны на рис. 1.8.

Рис. 1.8. Эквивалентные логарифмические нормированные характеристики реле с гистерезисом

2.АНАЛИЗ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНОГО РЕЖИМА ГРАФОАНАЛИТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ НА ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ

Фазовые характеристики разомкнутой НСАУ определяются совместно фазочастотной характеристикой ϕ(ω) линейной части системы в функции частоты ω и фазовой характеристикой нелинейного элемента ϕ (μ) в зависимости от обобщенной амплитуды μ гармонического сигнала на входе НЭ.

Первое уравнение, определяющее возможность автоколебаний на частоте ω с амплитудой μ − «баланс фаз» − имеет вид

Коэффициент передачи разомкнутой НСАУ определяется совместно линейной частью |Wpаз( jω) | в функции частоты ω и коэф-

фициентом передачи J(μ) = Kн J0(μ) нелинейного элемента по

первой гармонике в зависимости от амплитуды μ входного для НЭ гармонического сигнала.

Второе уравнение, определяющее возможность автоколебаний на частоте ω с амплитудой μ − «баланс амплитуд» − имеет вид

Условием существования автоколебаний является совместность решений уравнений «баланса фаз» и «баланса амплитуд».

В инженерных приложениях целесообразен графоаналитический способ определения совместности решения уравнений «баланса фаз и амплитуд» на логарифмической плоскости, совместимый с приемами анализа линейных систем управления методом ЛАФЧХ.

Для этого уравнения (2.2) представляется в виде

В НСАУ с однозначными НЭ, не вносящими фазовые сдвиги в функции обобщенной амплитуды μ, уравнения «баланса фаз и амплитуд» упрощаются до

3. ПРИМЕРЫ АНАЛИЗА НСАУ

НСАУ с З-позиционным реле

Линейная часть НСАУ рис. 3.1 соответствует

Параметры НЭ: c = 3 и В = 1.

Рис. 3.1. НСАУ с 3-позиционным реле

линейной части системы Кс = Кн 3 =0, 42 3 =1, 26 .

В левой части листа строим ЛАФЧХ линейной части системы с учетом Kс , а в правой – обратную нормированную логарифмическую характеристику НЭ вида рис. 1.6, как показано на рис. 3.2.

− 13 −

Совместность или несовместность решения уравнения баланса фаз и амплитуд определяется на следующих основаниях:

1.Автоколебания возможны только на частоте ωавт, где фазовый сдвиг ϕ(ωавт) = − π (нелинейность однозначная), что являет решение уравнения «баланса фаз».

2.Любая горизонтальная линия в поле ЛАЧХ линейной части системы и графика −J0(μ) соответствует единичному значению

коэффициента передачи разомкнутой системы (при условии равенства масштаба по оси «дб» ЛАЧХ и 20lg J0(μ) ) и являет решение уравнения «баланса амплитуд».

Процедура графоаналитического определения совместности решения уравнений «баланса фаз и амплитуд» состоит в следующем:

•из точки ωавт на фазовой характеристике, где фазовый сдвиг

ϕ(ωавт) = − π, проводится вертикаль до пересечения с ЛАЧХ линейной части НСАУ;

•из полученной точки пересечения вертикали с ЛАЧХ линейной части НСАУ проводится горизонтальная линия («единичного

коэффициента передачи») вправо на поле графика « −20 lg J0(μ) ». Пересечение горизонтальной линии с графиком « −20 lg J0(μ) » означает существование совместного решения уравнений (2.4) и, следовательно, наличие автоколебаний с частотой ωавт и амплитудой μавт.

Величину Аавт определяют как Аавт = μавт c.

Характеристика J0(μ) двузначна. Только одно решение соот-

ветствует устойчивым автоколебаниям. Для выявления устойчивых автоколебаний виртуально увеличим амплитуду автоколебаний индицируемых, например, пересечением горизонтальной линией с правой ветвью J0(μ) на величину +δμ. Согласно построениям на

рис. 3.2. увеличение амплитуды автоколебаний приводит к появлению положительного «запаса по фазе», что является признаком устойчивости автоколебаний.

Если горизонтальная линия проходит ниже уровня −6 дб графика −20 lg J0(μ), то совместное решение уравнений «баланса фаз и

− 14 −

амплитуд» не существует, автоколебания в замкнутой НСАУ отсутствуют.

Рис. 3.2. Графоаналитический метод анализа автоколебательного режима НСАУ с 3-пози- ционным реле. НЭ – однозначный, фазовые характеристики разомкнутой НСАУ определяются только линейной частью НСАУ

На рис. 3.2 при Kc ≈1,3 частота автоколебаний ωавт ≈ 0,02 c−1 и μaвт = Acавт ≈9 (период Тавт = 2π/ωавт 314 с, амплитуда Aавт = 27

(при с = 3)). Для устранения автоколебаний необходимо уменьшить коэффициент усиления ориентировочно на 20дб (в 10 раз) с целью исключения существования совместного решения уравнений баланса фаз и амплитуд, как показано на рис. 3.2 пунктиром.

− 15 −