Материал: Гидравлические и тепловые расчеты в электрических машинах. Писаревский Ю.В., Писаревский А.Ю

. (4.47)

Отсюда

. (4.48)

Учитывая (4.53) имеем:

, (4.49)

. (4.50)

Рассмотрим идеальный или точечный тепловой импульс, устремляя δ к нулю.

Пусть, т.е. 2δυ₀ = 1, то при стремлении δ к нулю υ₀ будет стремиться к бесконечности.

При υ₀ → ∞ , δ → 0 имеем

. (4.51)

Решение (4.59) для точечного теплового импульса есть фундаментальное решение при значении параметра ξ = х₀.

Рис. 4.3. Распространение теплоты после точечного теплового импульса.

Максимум температуры достигается в точке приложения импульса х = х₀ и равен

, (4.52)

где а – коэффициент температуропроводности.

. (4.53)

При t = 0 функция φ_х0 (х,f) не определена.

Очевидно, что в каждый момент времени максимальная температура тем меньше, чем больше коэффициент теплопроводности λ и чем меньше удельная теплоемкость С.

В каждой фиксированной точке х ≠ х₀ зависимость температуры от времени имеет вид кривых на рис. 4.4.

Рис. 4.4

4.5. Простейшие задачи теплопроводности

Стационарные одномерные температурные поля в плоской и цилиндрической стенках.

Пусть плита, ограниченная параллельными плоскостями, имеет во всех точках одинаковую не зависящую от направления теплопроводность λ и пусть через неё в положительном направлении оси X и перпендикулярном плоскости плиты, протекает тепловой поток. Причём удельный тепловой поток р_x = const, p_y = 0.

Данные условия выполняются в каждой точке плиты.

Рис. 4.5. Тепловое сопротивление плоской стенки

Согласно (3.9) получим

. (4.54)

Это означает, что в направлении Y температура не изменяется. Таким образом, температура внутри плиты изменяется только в направлении X и поле температур является одномерным (х).

В этом случае p_x= const и λ_x= const, а частная производная (3.9) обращается в полную

. (4.55)

Зависимость (х) представляется прямой линией

. (4.56)

При x₁=0, =₁. При x₂= δ, =₂.

. (4.57)

. (4.58)

. (4.59)

Полагаем .

Следовательно, перепад температуры в теле можно записать в виде

, (4.60)

где R – тепловое сопротивление плоской стенки, .

Понятия о тепловом сопротивлении

и тепловой проводимости

Аналогия между законом Ома для электропроводности и законом Ома для теплопередачи представляет определенный интерес. Так по закону Ома для электропроводности имеем

,

где U – падение напряжения вдоль проводника на длине ; γ – удельная электропроводность; j – плотность тока.

или

,

где I – ток в проводнике; – длина проводника; S – сечение проводника.

Следовательно, в выражении (4.60) постоянная R соответствует величине , а не электрическому сопротивлению .

Однако, если выделить элемент среды, имеющий определённое сечение и длину, то аналогично можно продолжить далее.

Рис. 4.6. Тепловой поток в выделенном элементе среды

, (4.61)

где Р – тепловой поток, Вт.

В электромашиностроении исходной величиной всегда является удельная тепловая нагрузка Р, поэтому формула (3.60) более предпочтительна.

Тепловое сопротивление R в (3.60) можно интерпретировать, как удельное сопротивление на единицу поверхности.

Таким образом, отношение перепада температуры к тепловому потоку называется термическим сопротивлением, которое аналогично электрическому сопротивлению

. (4.62)

Для цилиндрической стенки решение уравнения теплопроводности имеет вид

, (4.63)

где и - температуры внутренней и внешней поверхности стенки, радиусы которых r_вт и r_вш.

Термическое сопротивление цилиндрической стенки

, (4.64)

где – аксиальная длина стенки.

Для плоской стенки толщиной 2δ с однородным охлаждением боковых поверхностей и плотностью тепловыделений Ра/Vа уравнение теплопроводности записывается в виде

. (4.65)

Рис. 4.7. Распределение температуры в плоской и цилиндрической стенках

без внутренних источников тепла

После двойного интегрирования получаем

, (4.66)

где С = Т_max (граничное условие Т = Т_max при х = 0).

Формулы 4.23 и 4.24 верны также для пластины толщиной δ, охлаждаемой с одной стороны.

Термическое сопротивление такой пластины площадью S

, (4.67)

а средняя температура

. (4.68)

Если определить термическое сопротивление по разности средней температуры и температуры охлаждаемой поверхности Те, то

. (4.69)

Сравнение (4.25) и (4.27) с (4.20) показывает, что пластина толщиной δ и площадью S с распределенными источниками теплоты интенсивностью Ра/Vа по термическому сопротивлению эквивалентна пластине без теплоисточников, к боковой поверхности S которой подводится тепловой поток Ра, а толщина пластины равна δ/3.

4.6. Основное уравнение конвективного процесса

Коэффициент теплоотдачи α оказывает, в большинстве случаев решающее влияние на результаты теплового расчета. Коэффициент теплоотдачи дает общую количественную оценку интенсивности теплоотдачи при таких сложных физических явлениях, как конвекция и излучение, в том числе при их совместном действии.

Конвективный процесс переноса теплоты, происходящий в подвижной среде, можно описать следующими дифференциальными уравнениями: движения, энергии и неразрывности.

Уравнение движения

Уравнение движения, или уравнение Навье – Стокса, выводится через баланс количества движения в единице объема, занимающего фиксированное положение в движущейся жидкости.

Скорость прироста количества движения равна сумме сил, действующих на объем, и скорости поступления дополнительного количества движения за счет конвективного переноса. Пренебрегая сжимаемостью газа получаем уравнение Навье – Стокса в более простом виде

, (4.70)

где – оператор полной или субстационной производной;

– оператор Гамильтона;

– оператор Лапласа;

ρ – плотность жидкости; р – давление; ν – кинематическая вязкость; f – ускорение силы тяжести.

Уравнение энергии

Это уравнение отражает баланс тепловой энергии в фиксированной единице объема. Уравнение энергии для движущейся среды, в случае, когда можно пренебречь выделением или поглощением теплоты (р₀ = 0) имеет вид

, (4.71)

где – коэффициент теплопроводности; λ – коэффициент теплопроводности;

с – теплоемкость среды; ρ – плотность среды.

Уравнение неразрывности

Это уравнение выражает закон сохранения массы в движущемся потоке при условии, что ни в какой точке пространства не происходит накопления вещества или возникновения пустот (разрывов)

. (4.72)

Рассмотренные уравнения составляют систему, представляющую математическую основу для анализа и расчета конвективного процесса теплопереноса.

Очевидно, что непосредственное решение этих уравнений в общем виде чрезвычайно затруднительно и возможно для простейших случаев и при дополнительных допущениях.

Важной областью практического использования рассмотренной математической модели является теоретическое обоснование метода физического подобия, на основе которого выполняются анализ и обобщение опытных данных по конвективному теплообмену, разрабатываются программы экспериментальных исследований и способы обработки их результатов.