Материал: Глава I
Глава 1 неопределенный интеграл
1.1. Основные понятия
Определение
1. Функция
называется первообразной для функции
на
,
если при любом
имеем
.
Замечание.
Если
– первообразная для
,
то
также первообразная для
,
так как
.
Определение
2. Совокупность
всех первообразных функций для функции
на интервале
называется неопределенным интегралом
от функции
.
Эта совокупность обозначается символом
(читается: интеграл от
).
Если – какая-нибудь одна первообразная для функции , то можно записать
,
где
– произвольная постоянная.
.
Основные правила интегрирования.
1.
,
где
– постоянная величина.
2.
где
постоянная величина.
3.
4. Если
и
,
то
.
В частности,
.
.
Таблица простейших интегралов.
1.
,
2.
3.
4.
5.
6.
7.
,
.
8.
.
9.
.
10.
.
11.
.
12.
.
13.
.
14.
.
15.
.
16.
.
17.
.
Пример 1.
.
.
Интегрирование путем подведения под
знак дифференциала.
Правило 4 значительно расширяет таблицу простейших интегралов. А именно, в силу этого правила таблица интегралов оказывается справедливой независимо от того, является переменная интегрирования независимой переменной или дифференцируемой функцией.
Пример 2.
,
где
.
Использовалось правило 4 и табличный
интеграл 1.
Пример 3.
,
Здесь использовался
табличный интеграл 5 и равенство
.
Пример 4.
в силу правила
4 и табличного интеграла 7.
Пример 5.
В примерах 2, 3, 4, 5 прежде чем использовать тот или иной табличный интеграл, мы приводили данный интеграл к виду
,
где
.
Такого рода преобразование называется подведением под знак дифференциала.
Полезно отметить часто применяемые преобразования дифференциалов, которые, в частности, использовались в этих примерах:
а)
б)
и т.п.
1.2. Метод подстановки
1o. Замена переменной в неопределенном интеграле.
Полагая
,
где
– новая переменная и
– непрерывно дифференцируемая монотонная
функция, будем иметь:
. (1)
Функцию стараются выбирать таким образом, чтобы правая часть формулы (1) приобрела удобный для интегрирования вид.
Пример
6. Найти
.
Решение.
Обозначим
,
тогда
.
Получим
.
Возвращаясь к
исходной переменной
,
получим
.
Чаще используется
подстановка вида
,
где
монотонная непрерывная функция, откуда
находится
,
причем функция
должна быть непрерывно дифференцируемой.
После чего находим
.
Пример 7.
Найти
.
Решение. Естественно
положить
,
отсюда
,
и
Следовательно,
.
Замечание.
Если подынтегральная функция имеет
вид
,
как правило, этот корень надо взять за
.
Пример 8. Найти
.
Решение.
Сделаем подстановку
,
тогда
,
;
получим
