Материал: Глава I

.

Замечание. Если подынтегральное выражение имеет вид , то есть в знаменателе стоит корень квадратный из квадратного трехчлена и перед ним линейный множитель в какой-то степени, то всегда берется замена .

Пример 9. Найти .

Решение. Сделаем замену , тогда ; ; (воспользовались тем, что ). В результате получаем

.

Пример 10. Найти .

Решение. Обозначим , , продифференцировав обе части этого равенства, получим, , откуда

.

. Тригонометрические подстановки.

Подстановки типа используются часто для вычисления интегралов, которые содержат корни вида: ; ; , и в этом случае они называются тригонометрическими подстановками.

1. Если интеграл содержит радикал , то обычно полагают константу здесь и в остальных случаях полагают положительной, , тогда

.

так как при .

2) Если интеграл содержит радикал , то полагают , где

.

3) Если интеграл содержит радикал то полагают . Здесь , поэтому

Пример 11. Найти .

Решение. Применим подстановку , тогда , , , .

.

Пример 12. Найти

Решение. Полагаем Следовательно,

,

так как .

Кроме стандартных тригонометрических подстановок могут быть использованы и другие подстановки, позволяющие избавиться от корня, например, .

Пример 13. Найти .

Решение. Возьмём , где , тогда , а подынтегральная функция примет вид:

.

Имеем

.

Вернёмся к исходной переменной , , .

.

.

Наряду с тригонометрическими подстановками используются гиперболические подстановки.

1) Если интеграл содержит , то полагают , тогда (так как ).

2) Если интеграл содержит , то полагают , тогда так как .

Пример 14. Найти ,

применяя гиперболическую подстановку .

Решение. Имеем и .

Отсюда

.

Вернёмся к исходной переменной

,

осталось найти . Так как , поэтому , .

Окончательно получаем:

.