Материал: Глава I
Пример 40. Найти
.
Решение:
Обозначим
тогда
откуда
В результате
получим интеграл
,
который вычисляется разложением на
сумму простейших дробей (см. 1.5).
В итоге
,
где
1.7. Интегрирование тригонометрических функций
1o. Рассмотрим интегралы вида
(1)
где
и
целые
числа.
Если
нечетное
положительное число, то полагают
Аналогично поступают, если нечетное положительное число.
Пример 41.
Найти
Решение.
Если и четные положительные числа, то подынтегральное выражение (1) преобразуют с помощью формул понижения степени:
.
Пример 42. Найти
.
Решение.
Если
и
целые
отрицательные числа одинаковой четности,
то
В частности, к этому случаю сводятся интегралы
и
Пример 43. Найти
Решение.
.
Пример 44. Найти
Решение.
.
Пример 45.
Найти
.
Решение.
Перенесем последний интеграл влево и получим
2o.
Интегралы
вида
(или
),
где
целое
положительное число, вычисляются с
помощью формулы
(или соответственно
).
Пример
46.
Найти
Решение.
.
4) В общем случае
интегралы
вида (1) вычисляются с помощью рекуррентных
формул, выводимых
обычно интегрированием по частям.
3o.
Интегралы
вида
и
вычисляются с применением формул:
;
.
Пример
47. Найти
.
Решение.
4o. Интегралы вида
(2)
где
рациональная
функция, в общем случае вычисляются с
помощью подстановки
откуда
.
Тогда интегралы
вида (2) приводятся к интегралам от
рациональных функций новой переменной
Если имеет место тождество
то для приведения
интеграла (2) к рациональному виду можно
применить подставку
что упрощает вычисления.
Здесь
и
Пример
48. Найти
Решение. Полагая будем иметь:
Пример
49. Найти
(3)
Решение. Полагая
будем иметь:
Заметим, что
интеграл (3) вычисляется проще, если
предварительно числитель и знаменатель
дроби разделить на
.
.
Укажем
некоторые интегралы от тригонометрических
функций, которые берутся нестандартными
методами.
Пример
50. Найти
Решение.
Умножим
числитель и
знаменатель
на
.
Замечание.
Если в знаменателе стоит произведение
поступаем аналогично: умножаем и делим
на
.
Если в знаменателе подынтегрального
выражения стоит произведение
,
то умножаем и делим на
.
В
интегралах вида
целесообразно положить
,
где
и
–
постоянные (неопределенные коэффициенты).
Пример
51. Найти
.
Решение. Положим
и
найдем, приравняв коэффициенты при
и
.