Материал: Глава I

.

Рациональная дробь , поэтому .

Дифференцируя обе части этого равенства, получаем

откуда вытекает равенство многочленов:

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем систему

Решая эту систему, находим , , , , , . Итак,

.

1.6. Интегрирование некоторых иррациональных функций

1^o. Интегралы вида

, (1)

где рациональная функция и целые числа, находятся с помощью подстановки

где – наименьшее общее кратное чисел .

Пример 35. Найти

Решение. Подстановка приводит интеграл к виду

Пример 36. Найти интеграл

Решение. Наименьшее общее кратное показателей корней в подынтегральном выражении равно 6, поэтому делаем подстановку откуда то есть

Пример 37. Найти интеграл

Решение. Сделаем подстановку .

Отсюда , т.е. , .

Таким образом,

2^o. Интегралы вида

(2)

где многочлен степени , , вычисляют по формуле

(3)

где многочлен степени с неопределенными коэффициентами и число. Коэффициенты многочлена и число находятся при помощи дифференцирования тождества (3).

Пример 38. Найти .

Решение.

Отсюда

Умножая на и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим:

Следовательно,

Замечание. К интегралам вида (2) сводятся интегралы , так как

.

3^o . Интегралы вида

(4)

приводятся к интегралам вида (2) с помощью подстановки

4^o . Интеграл от дифференциального бинома

(5)

где и рациональные числа, выражаются через конечную комбинацию элементарных функций лишь в следующих трех случаях (теорема Чебышева):

1. если целое число. Тогда полагают , где – общий знаменатель дробей и ;

2. если целое число. Здесь применяется подстановка , где знаменатель дроби ;

3. если целое число. В этом случае используется подстановка , где – знаменатель дроби .

Если , то эти случаи эквивалентны следующим:

1) – целое; 2) – целое; 3) – целое.

Пример 39. Найти .

Решение. Здесь

Следовательно, имеет место 2-й случай интегрируемости.

Подстановка

дает:

Поэтому

где

5^o . Интегралы вида

могут быть сведены к интегралам от рациональных функций подстановками Эйлера

если

если

,

где и различные действительные корни квадратного трехчлена (Знаки в правых частях равенств можно брать в любых комбинациях).