Материал: Гурбич Лабораторныы практикум по курсу Обшчая физика раздел Електричество 2014
где имеющее размерность времени произведение RC, обозначенное буквой τ, называют временем релаксации. Из (3.10) видно, что τ есть промежуток времени, в течение которого заряд конденсатора уменьшается в e раз. Поскольку напряжение на конденсаторе пропорционально заряду, то его зависимость от времени будет аналогичной:
U (t) =U0e− |
t |
|
τ , |
(3.11) |
где U0 = q0/C – начальное напряжение на конденсаторе. Закон изменения тока найдем, подставляя (3.10) в (3.4):
I = −dqdt = I0e−τt ,
где I0 = q0/τ – сила тока в момент t=0. Теперь рассмотрим цепь, содержащую
первоначально незаряженный конденсатор емкости C, включенный последовательно с сопротивлением R и источником ЭДС ε (рис. 3.2). При замыкании ключа в момент времени t = 0 в цепи начинает протекать ток, заряжающий конденсатор. Ток будем считать положительным, когда он течет к положительно заряженной обкладке конденсатора, т.е.
(3.12)
Рис. 3.2
I = |
dq |
. |
(3.13) |
|
|||
|
dt |
|
|
Применяя закон Ома для неоднородного участка цепи, запишем
RI = ϕ1 −ϕ2 +ε. |
(3.14) |
Учитывая, что поле в конденсаторе направлено от обкладки 2 к обкладке 1, для разности потенциалов между точками 1 и 2 получим
ϕ −ϕ |
|
= −U = − |
q |
. |
(3.15) |
2 |
|
||||
1 |
|
C |
|
||
|
|
|
|
||
Тогда с учетом (3.13) и (3.15) соотношение (3.14) можно переписать, как
dq |
= |
ε−q / C |
. |
(3.16) |
dt |
|
|||
|
R |
|
||
21
Введя обозначение ε – q/C = u и разделяя переменные, получим
|
du |
|
= − |
|
1 |
dt . |
|
|
(3.17) |
|||
|
u |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
RC |
|
|
|
|||||
Интегрируя, найдем |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ln u = − |
|
t +ln const . |
(3.18) |
|||||||||
|
RC |
|||||||||||
Таким образом, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
u = const e− |
t |
|
|
(3.19) |
||||||||
RC |
|
|
|
|||||||||
или с учетом введенного обозначения |
|
|
|
|||||||||
ε−q / C = const e− |
t |
|
||||||||||
τ |
, |
(3.20) |
||||||||||
где τ = RC – время релаксации.
Для определения константы заметим, что при t = 0 конденсатор не заряжен, т.е. q(0) = 0. Тогда const = ε. Окончательно для зависимости заряда на конденсаторе от времени получим
q(t) = qm (1−e− |
t |
|
τ ) , |
(3.21) |
где qm = εC – предельное значение заряда на конденсаторе при t ∞.
Поскольку U = q/C, напряжение на конденсаторе при зарядке будет возрастать по тому же закону:
U (t) =ε(1−e− |
t |
|
τ ) , |
(3.22) |
асимптотически приближаясь к ε, а ток со временем согласно (13) и (21) будет экспоненциально убывать:
|
I = |
dq |
= I0e− |
t |
|
|
|
τ |
, |
(3.23) |
|||
|
|
|||||
|
|
dt |
|
|||
|
где I0 = ε/R – сила тока в началь- |
|||||
|
ный момент. |
|
||||
|
Графики зависимости |
напря- |
||||
|
жения на конденсаторе от време- |
|||||
|
ни в процессе разрядки (3.11) и |
|||||
|
зарядки (3.22) показаны на рис. |
|||||
|
3.3 слева и справа соответствен- |
|||||
Рис. 3.5 |
но. Именно из этих зависимостей, |
|||||
22
наблюдаемых при помощи осциллографа, в лабораторной работе определяется время релаксации τ. При известных параметрах цепи (R и C) оно может быть получено и расчетным путем.
Рис. 3.3
Оборудование и методика
Принципиальная схема используемой в работе установки приведена на рис. 3.4. Для зарядки и разрядки конденсатора используется периодический импульсный сигнал прямоугольной формы. Конденсатор заряжается в течение длительности импульса и разряжается через выходную цепь генератора в промежутках между импульсами. Для того чтобы конденса-
тор успевал практически полностью зарядиться до амплитудного значения импульса U0, длительность импульса tимп должна быть намного больше времени релаксации τ, а для обеспечения почти полной разрядки временной интервал между импульсами (T – tимп, где T – период) должен существенно превышать τ. Сказанное проиллюстрировано на рис. 3.5, где показано изменение напряжения на конденсаторе при различных соотношениях между τ и tимп.
Для наблюдения одновременно входного сигнала прямоугольной формы и напряжения на конденсаторе в работе используется двухканальный осциллограф HM400 (см. приложение в конце по-
23
собия с описанием принципов работы и органов управления осциллографом). Сигнал прямоугольной формы (Y1 на рис. 3.4) подается на один из каналов, а напряжение на конденсаторе (Y2)– на другой. В результате на экране осциллографа наблюдается картинка, подобная показанной на рис. 3.5. Структурная схема установки приведена на рис. 3.6.
Рис. 3.6
Прямоугольные импульсы для зарядки конденсатора подаются с преобразователя ФПЭ-09, который формирует их из сигнала синусоидальной формы, поступающего на вход преобразователя от генератора ГЗ-106. Питание преобразователя осуществляется от внешнего источника. В конструкции преобразователя предусмотрена возможность грубой (клавишами) и точной (ручкой) регулировки скважности1) импульсов. Требуемые значения сопротивления и емкости устанавливаются в схеме при помощи соответствующих магазинов.
Порядок выполнения работы
Подготовительные операции.
1.Собрать схему согласно рис. 3.6.
1)Скважностью называется отношение периода следования импульсов к их длительности.
24
2.Включить в сеть генератор, осциллограф и блок питания преобразователя импульсов.
3.Установить генератор в режим синусоидальных колебаний с частотой 100 Гц и амплитудой около 1 В.
4.Нажатием клавиши «_|–|_» перевести преобразователь импульсов в режим генерации сигналов прямоугольной формы.
5.Выбрать на осциллографе режим Dual и добиться устойчивого изображения на экране прямоугольного сигнала, поступающего по первому каналу (CHI).
6.Наблюдая прямоугольный сигнал, установить его скважность ручками «Грубо» и «Плавно» преобразователя импульсов таким образом, чтобы длительность импульса (см. рис. 3.5) была максимальной.
7.Установить в схеме сопротивление 20 кОм и емкость 1 нФ.
8.Перемещая по вертикали изображения сигналов поступающих по каналам CHI и CHII, получить на экране осциллографа кар-
тинку, подобную показанной на рис. 3.5 для τ << tимп.
Упражнение 1. Определение времени релаксации из кривой разрядки конденсатора.
1.Перемещая по вертикали и горизонтали изображения сигналов, поступающих по каналам CHI и CHII и подбирая длительность развертки и величину усиления в каналах, получить на экране осциллографа картинку, подобную показанной на рис. 3.7, a.
2.Определить амплитуду напряжения U0 в делениях шкалы и вычислить значение U0/e.
Рис. 3.7
25