Материал: Гуревич, А. Г. Магнитный резонанс в ферритах и антиферромагнетиках

С учетом этих соотношений и аналогичных — для электрических

ч-> <-+

полей и тензоров ес и еас — выражение (5.3.7) запишется в виде

div (ех X h2 — е2 X hi) +

Если |д, и е являются симметричными тензорами (цас —

= еас = 0), в частности скалярными величинами, то (5.3.7') переходит в обычную лемму Лоренца [33]

div (ei X h2 — è2 X hi) + jCT2ві — jCTxe2 = 0. (5.3.8)

Эта лемма является дифференциальной формулировкой теоремы взаимности (см. [37]), которая широко используется в электро­ технике и радиотехнике. Как видно из (Ъ.ЗЛ'), эта теорема (в диф­ ференциальной форме) справедлива только для сред, параметры которых являются симметричными тензорами (в частности, ска­ лярами), т. е. для сред, не обладающих гиротропией.

Интегрирование (5.3.8) по некоторому объему V дает инте­ гральную формулировку теоремы взаимности для системы, за­ ключенной в этом объеме:

Здесь S — поверхность, ограничивающая объем V, a n0 — еди­ ничный вектор нормали к этой поверхности.

Интегрируя по тому же объему V выражение (5.3.7"), мы видим, что условием справедливости интегральной теоремы вза­ имности (5.3.9) для системы, заключенной в объеме V, является

Как известно [41], П представляет собой среднее по времени зна­ чение плотности потока электромагнитной энергии — вектора Пойнтинга, а Рот — среднее значение мощности сторонних токов в единице объема. Отсюда ясно, что (5.3.14) является дифферен­ циальной формулировкой уравнения баланса средней энергии, а величина Р представляет собой среднее значение мощности потеръ в единице объема, т. е. энергии, передаваемой в единицу времени электромагнитным полем единице объема вещества и

электромагнитной энергии для гармонических колебаний в объеме V.

Рассмотрим более подробно величину Р, выясним, с какими компонентами тензоров \і и s связана диссипация электромагнит-

4-» <-*■ * * 4-*

ной энергии. Представим р, и е в виде сумм эрмитовых (рэ и еэ)

4-» 4-»

и антиэрмитовых (р.аэ и еаэ) тензоров (см. § 5._1). Легко убедить­

связана только с антиэрмитовыми составляющими ц и е, т. е. с мнимыми частями симметричных компонент и вещественными частями антисимметричных компонент этих тензоров [43]. Среда без диссипации должна была бы иметь вещественные симметрич­

*) Это обстоятельство было учтено в §§ 1.3 и 5.1 при введении обозначений

компонент тензоров ц и е — они были введены таким образом, чтобы дис­ сипация всегда определялась компонентами с двумя штрихами.

9 а . г. Гуревич

Отсюда видно прежде всего, что потери определяются мнимыми частями р, р ц , ра, е, 8ц и еа, т. е. антиэрмитовыми компонентами тензоров (5.1.33) и (5.1.34).

Из выражения (5.3.19) следует также, что диссипация энер­ гии («положительные потери») связана всегда с положительными

значениями р", рц, е" и вц, если знаки перед ними выбраны так, как в (5.3.18). В отношении р0 и еа такого вывода нельзя сде­ лать, так как стоящие при этих величинах множители (hvhx —

— hxhy) и (еуех — ехеѵ) могут иметь различные знаки в зависимо­ сти от поляризации поля. Легко убедиться, что они положитель­ ны для полей с круговой поляризацией и правым вращением (от­ носительно положительного направления оси z, которое задано направлением постоянного намагничения), отрицательны для полей с круговой поляризацией и левым вращением и обращают­ ся в нуль для линейно поляризованных полей. Таким образом,

одни и те же положительные величины ра и еа вносят для полей с круговой поляризацией и правым вращением положительные потери, а для полей с левым вращением —«вносят отрицатель­

ные потери», т. е. приводят к уменьшению диссипации, обуслов-

++

ленной другими компонентами ц. и е; для линейно поляризован­ ных полей компоненты у а и еа не участвуют в диссипации.

Для пассивной среды при любой поляризации поля должно

! И'о I < Ѵ- ' 1 I eâI < в".

быми х).

Формулы возмущений. Трудности, возникающие при решении граничных электродинамических задач, существенно возрастают (как мы убедимся, в частности, в следующей главе) при переходе к гиротропным средам. Это заставляет в случае таких сред обращать особо серьезное внимание на разработку приближенных методов решения граничных задач. Наиболее простым и универ­ сальным является метод возмущений. Согласно этому методу исследуемая система рассматривается как результат малого из­ менения (возмущения) другой, более простой системы, для кото­ рой решение задачи известно. В нашем случае начальной (невоз­ мущенной) системой будет система, не содержащая гиротропных сред, а возмущение будет представлять собой введение в нее об­ разца из гиротропного вещества. ' ’ Щ

При выводе формул электродинамического метода возмущений

можно исходить из основных квадратичных лемм (5.3.5) и (5.3.6). Будем считать, что электромагнитный процесс, характеризую­ щийся индексами 2, соответствует начальному состоянию системы, а процесс с индексами 1 — возмущенному состоянию. Предпо­ ложим, что в начальном состоянии параметры среды являются скалярными и вещественными:

Предположим также, что сторонние токи отсутствуют как в на­ чальном, так и в возмущенном состоянии. Тогда, переходя к но­ вым обозначениям

Рі -> Р, 8і->8, ex->Je, hxf-> h, оц-*®,

в г —> во, ІІ2—> hg, Юг—> ft>oi

из основных квадратичных лемм (5.3.5) и (5.3.6) получим div (е X h0 — е„ X h) +

+[coh0p,h — cöoPohoh — (®е0ее — и08ое0е)] = 0, (5.3.22)

div (е X ho + ej х h) +

+ — [coh0uh — co0u0h0h -f- coe^e — ®0e0eQe] == 0. (5.3.23)

Выражения':т(5.3.22) и (5.3.23) можно назвать леммами воз­ мущений. Применим их] к трем] фундаментальным граничным

^ 'К а к было показано в главе 1, в намагниченном до насыщения ферро-

9*