§ 6.2] |
ВОЛНОВОД С ПО ПЕРЕЧНО НАМАГНИЧЕННОЙ СРЕДОЙ |
293 |
|
уравнение |
|
|
|
р ctg xh (tg x0g — ctg x0l) + |
1/2 tg x0g ctg x 0l + До + |
|
|
|
|
+ Я(tg x 0g + ctg щі) = 0 . |
(6.2.36) |
Оно отличается от уравнения (6.2.18) для одной пластины лишь заменой tg х 01 —ctg х 01. Так же как уравнение (6.2.18), оно содержит «невзаимный» член, изменяющий знак при изме нении направления распространения или направления намагни чения обеих пластин (т. е. при замене их местами). Во втором слу чае (п четное) равенство нулю определителя системы для незави симых коэффициентов приводит к уравнению, полностью совпа дающему с (6.2.18). В этом нет ничего удивительного, так как структура поля в половине волновода с двумя пластинами для полей с четными п совпадает со структурой поля в волноводе с одной пластиной.
Рассмотренная задача о волноводе с двумя симметрично рас положенными и противоположно намагниченными пластинами представляет интерес как модель так называемых «дискретных» фазовращателей, используемых в технике сверхвысоких частот
всистемах управления диаграммами направленности антенн
[493].В таких фазовращателях используются образцы с замкнутой магнитной цепью в состояниях остаточного намагничения [481]. Перемагничивание их производится импульсами тока; при этом вследствие невзаимности постоянной распространения фазовый сдвиг изменяется на некоторую (дискретную) величину.
В случае одинаково намагниченных пластин (рис. 6.2.10, б, нижний знак в (6.2.35)) все коэффициенты в выражениях (6.2.33) остаются независимыми и равенство нулю определителя системы для этих коэффициентов приводит к довольно громоздкому урав нению. Мы запишем его в частном случае пластин, прилегающих
к узким стенкам волновода (g = 0):
tg 2x0Z[(До + q2) tg2 xh — рг] — 2р0р tg vh = 0. |
(6.2.37) |
|
В это уравнение |
(как и в уравнение при g =j=0) величины Jcv и |
|
ца входят только |
в квадратах. Следовательно, постоянная рас |
|
пространения в волноводе с двумя симметрично расположенными и одинаково намагниченными пластинами будет взаимна в соот ветствии с заключениями, которые были сделаны выше, исходя из анализа в первом приближении, а также из соображений сим метрии.
Найдя решения уравнений (6.2.18), (6.2.36) или (6.2.37) сов местно с выражениями (6.2.7) и (6.2.13), т. е. зная величины к ѵ, X и х0, можно затем определить из соответствующих систем урав нений коэффициенты А, В, С, ... (конечно, с точностью до посто янного множителя), т. е. найти структуру поля в волноводе. Не
294 ВОЛНОВОДЫ И РЕЗОНАТОРЫ С ГИРОТРОПНЫМИ СРЕДАМИ [ГЛ. 6
останавливаясь на этих вычислениях, приведем лишь в качестве примера структуры электрического поля в волноводах с одной и с двумя противоположно и одинаково намагниченными пласти нами (рис. 6.2.11). Заметим, что структура поля является не взаимной даже в тех случаях (пластина в середине волновода, две симметрично расположенные и одинаково намагниченные
Т о
Рис. 6.2.11. Электрическое поле в волноводах с поперечно намагниченными ферритовы ми пластинами. Сплошные линии и пунктир — разные направления распространения.
пластины), когда постоянная распространения взаимна. Невза имность структуры поля используется для создания ферритовых вентилей «со смещением поля» [477, 11]. В одном из таких вен тилей поглощающая пленка помещается в том месте волновода (см. рис. 6 .2 .11), где для одного из направлений распространения электрическое поле мало, а для другого — имеет значительную величину.
§ 6.3, Резонаторы, содержащие гиротропную среду
Перейдем теперь ко второй фундаментальной задаче электро динамики полых систем с гиротропными средами — задаче о ко лебаниях полого электромагнитного резонатора, заполненного целиком или частично гиротропной средой. Теория таких резо наторов является обобщением теории полых резонаторов, за полненных однородной изотропной средой (см., например, [29]), которая была развита Кисунько [33] с использованием введенных Френкелем [43] собственных функций полого электромагнитного резонатора.
296 В О Л Н О В О Д Ы И Р Е З О Н А Т О Р Ы С Г И Р О Т Р О П Н Ы М И С Р Е Д А М И [ Г Л . 6
Исключая ет или hm из (6.3.4), получим, что эти векторы удов летворяют (в отличие от случая однородной изотропной среды [29]) различным уравнениям
2 |
|
rot (p,-1rot em) = - ^ e e m, |
(6.3.6) |
2 |
|
rot (e-1 rot hpu) = |
(6.3.7) |
не совпадающим с уравнением для собственных функций пустого резонатора.
Если е и р, являются симметричными тензорами (в частности, скалярами), компоненты которых при отсутствии диссипации вещественны, то ет и hm удовлетворяют уравнениям с вещест венными коэффициентами и могут быть приняты вещественными. Им соответствуют собственные колебания, имеющие характер стоячих волн. Если же — в случае гиротропной среды — тензоры
р, илще имеют'антисимметричные компоненты, мнимые при от сутствии диссипации, то собственные функции будут комплекс ными. Это означает, что поле собственных колебаний в резонаторе с гиротропной средой не является полем стоячих волн.
Рассмотрим теперь некоторые важные следствия уравнений (6.3.6) и (6.3.7). Умножая скалярно (6.3.6) и (6.3.7), соответствен
но, на вт и hm, интегрируя по объему резонатора и принимая во внимание граничные условия (6.3.5), получим
|
^ |
r o t e j x “ 1 r o l e ^ d V |
5 roth^e-iroth^K |
2 |
о V |
= с2 |
(6.3.8) |
ш,п = с2— |
|||
S e
Формулы (6.3.8), выражающие собственные частоты резонатора через интегралы от его собственных функций, могут быть исполь зованы при вычислении собственных частот. Приближенные, но, как оказывается, достаточно точные их величины могут быть получены по этим формулам при аппроксимации неизвестных соб ственных функций некоторыми разумно выбранными простыми функциями. Хотя собственные функции ет и 1іто комплексны, подынтегральные выражения в (6.3.8) оказываются веществен-
ными в случае эрмитовых тензоров е и (х. Таким образом, собст венные частоты резонатора с гиротропной средой в пренебреже нии диссипацией в среде (и стенках), как и следовало ожидать, вещественны.
298 В О Л Н О В О Д Ы И Р Е З О Н А Т О Р Ы С Г И Р О Т Р О П Н Ы М И С Р Е Д А М И [ Г Л . 6
Если т = п, то интегралы в (6.3.11) и (6.3.12), конечно, не обращаются в нуль и их можно приравнять константам норми ровки соответствующих функций. Из формул (6.3.8) с учетом
(6.3.4) и эрмитовости тензоров ц и е легко получить, что констан ты нормировки электрических и магнитных собственных функций одинаковы. Принимая их равными 1, запишем окончательно условия ортогональности и нормировки в виде
^ e ^ e mdV = ^ h ^ h md7 = А, |
(6.3.13) |
Здесь дельта-символ Кронекера
Атп |
1 |
при |
т = п, |
О |
при |
(6.3.14) |
|
|
m=f=n. |
Остановимся теперь кратко на учете диссипации в среде, на ходящейся в резонаторе. Для собственных частот в этом случае будут по-прежнему справедливы формулы (6.3.8), при выводе
которых не делалось предположения об эрмитовости тензоров р,
и е. Но собственные функции, если определить их так, как было сделано выше для среды без диссипации, не только изменятся, но и перестанут удовлетворять условию ортогональности (при
выводе которого был учтен эрмитов характер р и е). Однако если диссипация в среде мала, то в первом приближении можно под
ставить в (6.3.8) собственные функции резонатора со средой, ко-
+-> <->
торая имеет те же эрмитовы компоненты р, и в, но равные нулю антиэрмитовы компоненты. Собственные частоты при этом ока
жутся комплексными (ют |
= Шт + ш т), и в соответствии с об |
щим определением (1.4.33) |
может быть введена добротность резо |
натора для 771-го типа колебаний, обусловленная потерями в среде
Вынужденные колебания. Предположим, что возбуждение колебаний в резонаторе производится сторонними, токами, заря дами и магнитными моментами в резонаторе и полями на отвер стиях в его стенках. Будем считать их заданными величинами. В действительности они, конечно, в свою очередь, зависят от поля в резонаторе. Но задача о возбуждении резонатора задан ными источниками может служить первым приближением при рассмотрении вынужденных колебаний.
Пусть возбуждающие токи, заряды, моменты и поля зависят от времени по гармоническому закону с частотой со. Если ампли