Материал: Гуревич, А. Г. Магнитный резонанс в ферритах и антиферромагнетиках

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам
Риз. 0.3.2. Возбуждение колебаний резонатора.

§ б.зЗ

РЕЗОНАТОРЫ , СОДЕРЖАЩИЕ ГИРОТРОПНУІО СРЕДУ

299

туды колебаний достаточно малы, то поле в резонаторе будет также гармоническим. Его комплексные амплитуды е и h удовлетворяют уравнениям Максвелла (5.1.10) — (5.1.13). Для того чтобы учесть возмолшость возбуждения сторонними маг­ нитными моментами, примем

b = ціг + 4 я т ст.

(6.3.15)

Тогда первые два уравнения запишутся в виде

rote-j--^-ph = — i

Шст, (6.3.16)

div (ph) = — 4я div mCT. (6.3.17)

Два других уравнения совпадут с (5.1.20) и (5.1.21).

Для того чтобы учесть возможность возбуждения резонатора полями на отверстиях, необходимо задать касательную состав­ ляющую электрического поля Э и нормальную составляющую магнитной индукции Б на отверстиях. Тогда граничные условия запишутся следующим образом (рис. 6.3.2):

П0 X (е X П0) =

Э

на

S 0 (на отверстиях),

 

0

на

S — S0 (на остальной

(6.3.18)

 

 

 

 

поверхности резонатора),

 

 

 

ріі • н0

Б

на

S о,

(6.3.19)

 

 

0

на

S — S,

 

 

 

 

 

В этих уравнениях и граничных условиях р, е, шст, jcr, Э и Б — заданные функции координат, а рст = (i/oo) div jCT.

Комплексные амплитуды поля вынужденных колебаний будем искать в видех)

е =

2 #пе„ — Ѵфе,

(6.3.20)

 

п

 

h =

2 -ffliMn + Ѵт])/„

(6.3.21)

 

?1

 

где еп и hn — введенные

выше собственные

функции резонато­

ра, удовлетворяющие уравнениям (6.3.4) или (6.3.6), (6.3.7) и

х) Различие знаков в (6.3.20) и (6.3.21) связапо только с традицией.

300 ВОЛНОВОДЫ И РЕЗОНАТОРЫ С ГИРОТРОПНЫМИ СРЕДАМИ [ГЛ. 6

граничным условиям (6.3.5). Коэффициенты <§п и Жп, а также «градиентные» функции ф,, и ф/, подлежат определению. Необхо­ димость введения этих функций обусловлена тем, что 1гп и еп, а следовательно, и их суммы удовлетворяют уравнениям (5.1.18), (5.1.19) и (5.1.27), в то время как h и е должны удовлетворять уравнениям с правыми частями (6.3.16), (6.3.17) и (5.1.21).

Подстановка (6.3.20) в (5.1.21) дает уравнение

div (еѴфе) = — 4ярст.

(6.3.22)

Граничное условие для фв может быть принято следующим:

фе = 0 на S.

(6.3.23)

Подстановка (6.3.21) в (6.3.17) дает уравнение для функции фң

йіѵ(рѴфл) = — 4я div ШсХ.

(6.3.24)

Граничное условие для нее следует из (6.3.19):

№Ѵ« " » “

{о

на S - S

a.

(в'3-2о)

С помощью выражений

(6.3.4),

(6.3.5)

и (6.3.23),

учитывая

♦♦ ♦♦

 

 

 

 

эрмитовость тензоров е и р, легко найти условия ортогональности векторных и градиентных функций

^ е^еѴф^У = 0 .

(6.3.26)

У

 

ЦіСрѴф/^У = о.

(6.3.27)

Умножая (6.3.20) на е и затем скалярно на ет , интегрируя по объему резонатора и принимая во внимание условия ортогональ­ ности (6.3.11) и (6.3.26), получим важную формулу

<§т — \ em E e d V .

(6.3.28)

V

 

Аналогично можно получить

 

Жт = ч) h'JhdV .

(6.3.29)

V

 

Найдем теперь окончательные выражения для искомых коэф­ фициентов (от и Жт через заданные функции, характеризующие

источники возбуждения. Умножим (6.3.16) скалярно на 1іт , а

§ 0.3]

Р Е З О Н А Т О Р Ы , С О Д Е Р Ж А Щ И Е

Г И Р О Т Р О П Н У І О С Р Е Д У

301

(5.1.20)

— на е,п и проинтегрируем

по объему резонатора. После

некоторых преобразований, в ходе

которых используются

фор­

мулы (6.3.28) и (6.3.29) и граничные условия и учитывается эрми- +■» **

тов характер тензоров р, и е, мы придем к системе уравнений

m

~1"~

 

Ffn

(6.3.30)

 

 

 

 

где

 

 

 

 

I m ~

^

,

(6.3.31)

 

 

V

 

 

Gm = 4 : J t

^

І І т т х Ш с т С І Т ^ ,

(6.3.32)

 

 

V

 

 

Fm = C

 

X 3) n 0d V .

(6.3.33)

 

So

 

 

 

Выражения (6.3.30) —

(6.3.33)

имеют такой

же вид, как и

для резонатора, заполненного однородной изотропной средой [29J. Но, в отличие от этого частного случая, для тензорных пара­ метров они справедливы строго только при отсутствии диссипа-

ции, когда тензоры р, и е эрмитовы.

Однако если диссипация мала, то ее можно учесть прибли­ женно, заменив в (6.3.30) вещественные собственные частоты на

комплексные частоты ют

 

+ ш т . Тогда, решая уравнения (6.3.30)

получим (принимая во

внимание (1.4.32) и опуская [штрихи

У сот )

 

і(аІт -|- (omFm

шсйт Сп

 

8т =

(6.3.34)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V 771

 

Н О

—

“ п П т

+

т +

м2С п

(6.3.35)

*7ѵт

 

 

 

 

При этом в выражения (6.3.31) — (6.3.33), так же как и в формулы (6.3.8), используемые для расчета комплексных собственных час­ тот, можно подставлять собственные функции резонатора без диссипации. Из (6.3.34) и (6.3.35) видно, что если частота со до­ статочно близка к собственной частоте а>т одного из типов коле­ баний резонатора, то в разложениях (6.3.20) и (6.3.21) можно ограничиться только членами, соответствующими этому типу колебаний.

Итак, поле вынужденных колебаний в резонаторе, содержащем гиротропную среду с не очень большой диссипацией, может быть

302 В О Л Н О В О Д Ы Н Р Е З О Н А Т О Р Ы С Г И Р О Т Р О П Н Ы М И С Р Е Д А М И І!ГЛ . в

сравнительно легко вычислено, если известны собственные функ­ ции и собственные частоты такого резонатора. Однако их опреде­ ление представляет значительные трудности.

Волноводные резонаторы. Строгий расчет электромагнитных систем с гиротропными средами возможен, как уже отмечалось выше, лишь в весьма ограниченном числе случаев. К ним при­ надлежат задачи о регулярных волноводах, рассмотренные в §§ 6.1 и 6.2. Поэтому интересно выяснить, можно ли полученные для этих волноводов результаты применить к расчету резонаторов.

В случае изотропных сред, зная поле и постоянную распро­ странения в регулярном волноводе, легко получить собственные функции и собственные частоты так называемого волноводного резонатора. Волноводный резонатор — это отрезок регулярного волновода, ограниченный двумя металлическими плоскостями, перпендикулярными оси волновода. Собственные функции такого резонатора представляют собой (в случае изотропной среды) стоячие волны, которые образуются в результате суперпозиции двух волн одинакового типа, распространяющихся в волноводе в противоположных направлениях. Собственные частоты определяются из условия

М « т ) = Т ’

(6.3.36)-

где I — длина резонатора, р — целое число,

а кг>(со) — постоян­

ная распространенная в волноводе, которую мы считаем извест­ ной функцией частоты.

Граничные условия на торцевых металлических плоскостях волноводного резонатора заключаются в равенстве нулю попе­ речных (касательных к этим плоскостям) составляющих электри­ ческого поля. Поэтому необходимым условием образования поля стоячей волны в резонаторе в результате суперпозиции двух распространяющихся в противоположных направлениях волн в волноводе является взаимность структуры поперечного элек­ трического поля ej_ в плоскости поперечного сечения волновода:

ex + = e - L - >

(6.3.37)

(знаки плюс и минус соответствуют двум направлениям распро­ странения). Условие (6.3.37) всегда выполняется для изотропных сред и, вообще говоря, не выполняется для волновода, содержа­ щего гиротроппую среду. В таком волноводе двух волн, падающей

иотраженной, недостаточно для выполнения граничного условия е_і_ = 0 на торцевых поверхностях резонатора. Это условие может быть выполнено лишь при наличии бесконечного количества волн

иближних полей в волноводе, образующих в результате поле

собственного колебания в резонаторе. Формула (6.3.36) в этом случае теряет смысл.

Источник: https://tut-files.ru/previewfile/155615

Смотрите также:

Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)