330 |
М А Г Н И Т О С Т А Т И Ч Е С К И Е |
К О Л Е Б А Н И Я |
И В О Л Н Ы |
[ Г Л . 7 |
||
ческого |
кристалла, то из (7.1.26) следзшт: для осей <100) (Ѳ = 0) — |
|||||
формула (7.1.25), для осей <111) |
(Ѳ = arccos |
(1/J^3) = |
54°44') |
|||
(co/r)2 = |
Я,о----g- Н а1 |
Я,о---- ^ Н Аі + 4яМ0 sin2 Ѳ„ |
, (7.1.27) |
|||
и для |
осей |
<110) (Ѳ = |
я/2) |
|
|
|
(со/Г)2 = |
(Ніо + Н А1) (Яі0 - |
2НАі) + |
|
|
||
|
+ 4лМ0 [Я« + |
H Al ^--- 2—1—2~cos |
|
(7.1.28) |
||
Сравнивая (7.1.25) и (7.1.27) с формулой (7.1.9), мы видим, что выражения для спектра магнитостатических волн в одноосном и кубическом кристаллах для этих направлений не содержат угла Фгс и отличаются от спектра в изотропной среде лишь заменой
Я іо—>Я і0 + Я°; |
(7.1.29) |
поле На принимает (при учете только первой константы анизотро пии) значения, приведенные в табл. 7.1.1.
|
|
|
Т а б л и ц а |
7.1.1 |
|
|
|
Значения поля Н а |
|
|
|
|
Кристалл |
Одноосный |
Кубический |
|
|
Направление Мо |
Ось |
<100> |
<111> |
||
W |
я * |
2К\ |
|
4 |
К х |
№ |
|
Мо |
— |
3 |
Мо |
|
|
|
|
|
|
Заметим, что и в случае однородного резонанса (§ 2.2) собствен ные частоты для приведенных в табл. 7.1.1 направлений М0 отли чались от частот изотропных образцов заменой (7.1.29). Очевидно, что это связано с общим свойством решений электродинамических задач. Действительно, если для анизотропной среды с магнитной проницаемостью вида (7.1.16) окажется
= [Tj, и ps = 0, |
(7.1.30) |
то все уравнения электродинамики (в частности, магнитостатиче ское уравнение (7.1.20)) будут иметь такой же вид, как и для изо тропной среды. Из (7.1.17) и (7.1.19) видно, что (7.1.30) имеет ме сто, когда
Nu — N 22= TVj_ и 7Ѵ?г = 0. |
(7.1.31) |
При выполнении условий (7.1.31) выражения (7.1.17) для |
= цѵ |
§ ? .іЗ М А Г Н И Т О С Т А Т И Ч Е С К И Е В О Й Н Ы в н е о г р а н и ч е н н о й с р е д е |
Ш |
и ца отличаются от выражений для р и ра изотропной среды только заменой (7.1.29), где
H a = (Na± - N a33)M 0. |
(7.1.32) |
Следовательно, при выполнении условий (7.1.31) решениялюбых ма гнитостатических задач, полученные для изотропной среды, будут справедливы и для кристалла при замене (7.1.29), (7.1.32).
Легко убедиться с помощью выражений (2.2.8) и (2.2.27), что для приведенных в табл. 7.1.1 направлений и только для них ус ловия (7.1.31) выполняются, а значения На в этой таблице, следу ют из (7.1.32). Для всех других направлений намагничения, в том
о |
за ' |
ео |
щ° о |
£ іо о > |
|
a m |
</w> |
Рис. 7.1.3. Зависимости частоты магнитостатических волн от направления постоянной
намагниченности для разных направлений |
распространения волны в кубическом кри |
|
сталле. Ѳ — угол между М„ и осью <100> в |
плоскости (НО). М 0 = 140 гс, Л , = —6-103 |
|
(иттриіі-желсзный гранат при комнатной температуре); |
= 2500 э, что соответствует |
|
частоте однородной прецессии в сфере |
ш/2я = 8,05 Гец. |
|
числе и для лежащих в базисной плоскости одноосного кристалла и направлений <110> в кубическом кристалле, спектр магнитостати ческих волн зависит от угла фк и не может быть получен заменой (7.1.29) из спектра (7.1.9) для изотропной среды.
На рис. 7.1.3 приведены в качестве примера зависимости часто ты магнитостатических волн в кубическом кристалле от направ ления намагничения для разных направлений распространения волны. Как видно из рис. 7.1.3, даже в таком кристалле с малой константой анизотропии, как иттрий-железный гранат, анизотро пия спектра магнитостатических волн, в том числе и зависимость от угла фіс, весьма существенна. Эта зависимость, как уже отме-
332 М А Г Н И Т О С Т А Т И Ч Е С К И Е К О Л Е Б А Н И Й И В О Л Н Ь І І'ГЛ . 1
чалось, отсутствует для направлений намагничения < 100) и <111) и оказывается максимальной (см. рис. 7.1.3) для направлений
< 110> .
Остановимся теперь на вопросе о совпадении частот (вырожде нии) плоских магнитостатических волн и однородной прецессии намагниченности эллипсоида для случая анизотропной среды. При выполнении (7.1.31), т. е. для направлений, приведенных в табл. 7.1.1, условие перехода частоты однородной прецессии со0 через верхнюю границу спектра магнитостатических волн получится из «изотропного» условия (7.1.12) при замене
Н 0 Н 0 + На, |
(7.1.33) |
а условие (7.1.13) для сферы будет по-прежнему справедливо. Для других направлений намагниченности это уже не будет иметь ме ста, и условия перехода м0 через верхнюю границу спектра магни тостатических волн должны быть получены путем сравнения часто ты <и0 и максимальной частоты магнитостатических воли, которая будет зависеть теперь от углов 0fc и еря-. Так, например, нетрудно убедиться, что для направлений <110) в сфере из кубического кристалла (с учетом только первой контакты анизотропии) условия того, чтобы со0 лежала выше верхней границы спектра плоских магнитостатических волн, будут иметь следующий вид:
при |
^ |
> 0 |
# 0 |
< - |- 4 яМо- 4ЯАі, |
(7.1.34) |
|
при |
^ ! < 0 |
7/о |
< |
АпМ0— 5 1IIаі ]■ |
(7.1.35) |
|
§ 7.2. Магнитостатические волны в пластинах и стержнях
Перейдем теперь к изучению магнитостатических волн в более сложных системах, содержащих поверхности раздела разных сред. При этом для простоты мы ограничимся случаем изотропного (в отсутствие постоянного поля) намагниченного до насыщения ферромагнетика. Простейшей из таких систем является неогра ниченная в двух измерениях плоскопараллельная ферромагнит ная пластина.
Нормально намагниченная пластина с металлическим покры тием. Остановимся прежде всего на случае пластины, намагни ченной постоянным полем перпендикулярно ее плоскости (рис. 7.2.1). Пусть сначала пластина будет ограничена с обеих сторон идеально проводящими металлическими стенками. Тогда необ ходимо рассмотреть лишь поле в области 0 •< z < d (рис. 7.2.1). Это поле определяется уравнениями (7.1.5) и (7.1.7) и граничным условием, которое, согласно (5.1.3) и (7.1.5), запишется в виде
(цѴф)п„ = 0, |
(7.2.1) |
§ 7.2'j М А Г Н И Т О С Т А Т И Ч Е С К И Е В О Л Н Ы В П Л А С Т И Н А Х Й С Т Е Р Ж Н Я Х |
ЗЗЗ |
где ио — единичный вектор нормали к границе с металлом. В дан ном случае эта граница перпендикулярна направлению постоянно го намагничения (n0 = z0) и из (7.2.1) следует
= 0 при z = О и z = d. |
(7.2.2) |
Нас интересуют волны, распространяющиеся вдоль пластины. Совместив с направлением распространения ось у и рассматривая волны, не зависящие от х, запишем решение уравнения (7.1.7) в виде
ф = (А cos k,z + В sin kzz) &~lkvv . (7.2.3)
Наложение граничных условий (7.2.2) дает
А= 0 и
К= ^ - (д = 0, 1, 2 ,...). (7.2.4)
Подставляя решение (7.2.3) в уравне ние (7.1.7), получим
__.. 1.2 __ 7,2 |
,п Q с Рис. |
7.2.1. |
Нормально |
і/ — |
( 1 .4 .0 намагниченная |
пластина. |
|
Поскольку граничные условия требуют вещественности kz, рас
пространяющиеся волны (ку 0) возможны (так же как и в не ограниченной среде) только при таких частотах—лежащих в интер вале (7.1.10)—при которых р, ■< 0. При этом в пластине может су ществовать бесконечное количество типов волн, различающихся значениями п.
Выражения (7.2.4) и (7.2.5) с учетом частотной зависимости р, (1.2.34) определяют дисперсионное соотношение со (ку) для иссле дуемой волны. Его можно записать в виде
р (со) == ■ |
X I |
( 7 .2 . 6 ) |
|
СО" < |
( V ) 2 ’ |
где в данном |
случае нормально намагниченной пластины со# = |
- уН 0 — сом, |
а |
|
Х п = пл |
(величина coj_ определяется формулой (5.2.57)). Уравнение (7.2.6) можно решить относительно со:
or = СОя соя + |
сом |
( 7 .2 . 7 ) |
|
|
1 + (V)* |
результаты расчета зависимостей со (к у) по формуле (7.2.7) приве дены на рис. 7.2.2. Как видно из (7.2.7) и из рис. 7.2.2, частоты
334 М А Г Н И Т О С Т А Т И Ч Е С К И Е К О Л Е Б А Н И Я И В О Л Н Ы [ГЛ. 1
магнитостатических волн в данном случае'умеиыпаются с увеличе нием п и (при п Ф 0) растут с ростом к у. При к ѵ->'.оо они стре мятся к величине CÖJ_(которая следует из формулы (7.1.9) для неог
раниченной среды при 0fc = л/2). Предельные значения со = |
<г>я |
и со = coj_, строго говоря, не достигаются (при гг ф 0), так |
как |
магнитостатическое безобменное приближение справедливо лишь в указанных выше ограниченных пределах изменения волновых
Рпс. 7.2.2. Спектры магнитостатических волн в нормально намагниченной ферритовой пластине с металлическим покрытием, м д = 0.5 ыд/.
чисел. Что же касается случая п — 0 (т. е. kz = 0), то можно счи
тать, ЧТО рост со ОТ СОя ДО CÖ_L происходит скачком при ку == 0 . «Волна» с ку = kz = 0 представляет собой однородную прецессию, частота которой для нормально намагниченной пластины, согласно (1.4.20), составляет соя.
Подчеркнем, что зависимость со от волнового числа к ѵ (формула (7.2.7), рис. 7.2.2), как и наличие дискретных типов волн, появи лась в результате учета граничных условий задачи. В неограничен ной среде частота магнитостатических безобменных волн от волно вого числа не зависит.
Нормально намагниченная пластина в свободном пространстве. Рассмотрим теперь магнитостатические волны в нормально намаг ниченной пластине без металлического покрытия. Эта задача1) не сколько сложнее предыдущей, так как мы должны рассматривать поля и во внешних по отношению к пластине областях: при z <[ 0 и при z <( d (рис. 7.2.1). Уравнение (7.1.7) для внешних областейх
х) Она была рассмотрена Ахиезером, Барьяхтаром и Кагановым [217, 3]. Цилиндрические магнитостатические волны в нормально намагниченной пластине исследовали Дэймон и Ван де Ваарт [221].