Материал: Гуревич, А. Г. Магнитный резонанс в ферритах и антиферромагнетиках

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

§ 7.3] Н Е О Д Н О Р О Д Н Ы Е М А Г Н И Т О С Т А Т И Ч Е С К И Е К О Л Е Б А Н И Я 353

случае

Лр

	~Т~
когда справедливо приближенное выражение (7.2.38).				сkz = \kz\
Суперпозиция двух «волноводных» решений (7.2.33)				сkz = \kz\
и kz = — \kz I даст потенциал		для	рассматриваемого резонато
ра. С учетом граничных условий
-	0 при	z = О	и z = I
он запишется в виде
1]) =	CJm (хр) cos kzz е_ітч>.			(7.3.2)

Здесь kz = яp/l, х = kz/]/r— ц, а С — постоянный множитель, кото рый остается неопределенным, поскольку мы рассматриваем сво бодные колебания и не нормируем собственные функции. Конеч но, к выражениям (7.3.2) и (7.3.1) можно было бы прийти без вся ких ссылок на задачу о волноводе — путем решения уравнения Уокера (7.2.31) и учета граничных условий на боковой поверхно сти и на торцевых металлических плоскостях.

Из выражения (7.3.2) можно непосредственно получить состав ляющие магнитного поля собственных колебаний в цилиндриче ской системе координат:

г, _ Зф	» _	1	Эф	h _ Ü	(7.3.3)
пр -	’ Лф -	Т	W	dz

Для магнитостатических колебаний и волн наибольший инте-

рес представляет переменная намагниченность m = %h. Для вы числения составляющих m можно записать составляющие поля в декартовой системе координат и затем, используя «обычный»

тензор %(1.2.19), получить пгх и тпу (mz = 0). Но проще восполь

зоваться записью тензора %в цилиндрической системе и получить выражения для тп9и /тгф непосредственно из hPи hv. В нашем слу чае, когда ось цилиндрической системы совпадает с направлением

постоянного намагничения, тензор % имеет в цилиндрической си стеме такой же вид, как и в декартовой. Для составляющих намаг ниченности получаются тогда следующие выражения:

ТПр = С [ x x / i n (Х р ) - ^rXa —	J m ( Я р ) ] COS	k zZ Ѳ~
т<р= — І С \ X a K J m (Я р ) +	( x p )	COS kzZ вriwup“ *	(7.3.4)

Простейшими типами колебаний являются такие, для которых Р = 0 или т = 0, а остальные индексы равны 1. Нетрудно убе-12

12 А. Г. Гуревич

354 М А Г Н И Т О С Т А Т И Ч Е С К И Е К О Л Е Б А Н И Я И В О Л Н Ы [ Г Л . 7

диться, что при р — О и т — 1 возможен только один тип колеба ний (п = 1), для него тх и ти не зависят от координат и т у = = — ітх. Этот тип колебаний представляет собой однородную прецессию намагничеииости.

Рассмотренная задача не только представляет интерес как про стой пример магнитостатических колебаний, но и имеет опреде ленное практическое значение — магнитостатический цилиндриче ский резонатор было предложено [505] использовать для измере ния параметров ферритов.

Сфера. Как уже неоднократно отмечалось, для исследований резонанса в неметаллических ферро- и ферри- (а в последнее время и антиферро-) магнетиках наиболее широко используются сферичес


кие образцы. Сферы	из монокристаллов			ферритов		применяют
	ся и в ферритовых устройствах диапа
	зона СВЧ (см., например, [486, 489]).
	Естественно,		что изучению магнитоста
	тических колебаний в сферах было
	уделено наибольшее				внимание. Сфера
	является	частным случаем эллипсоида
	вращения,	магнитостатические колеба
	ния которого		были		теоретически ис
	следованы	Уокером			[200].	Однако мы
	рассмотрим случай сферы непосредствен
	но, следуя в основном работе Флетчера и
	Бэлла [204].			ферромагнитную непро
	Рассмотрим
	водящую сферу			(рис. 7.3.2), намагни
Рис. 7..3.2. Намагниченная	ченную до насыщения внешним однород
сфера.	ным іполем.		Пренебрегая			диссипацией

и анизотропией, примем для компонент тензора магнитной проницаемости вещества сферы выражения (1.2.34) и [1.2.35). Ограничимся случаем сферы в свободном про странстве (без металлического покрытия), который представляет наибольший практический интерес.

Если удовлетворяются условия (7.1.1) и (7.1.15) справедливо сти магнитостатического безобменного приближения, то задача сводится к нахождению магнитостатического потенциала ф, удов летворяющего уравнению Уокера (7.1.7) внутри сферы, уравне нию Лапласа (7.2.8) — вне ее и граничным условиям на поверх ности сферы. Граничные условия заключаются, как обычно, в непрерывности касательных составляющих магнитного поля и нормальных составляющих магнитной индукции. Из первого усло вия, также как и в рассмотренных ранее задачах, следует

ф = ф0	при Г — Я,		(7.3.5)
а из второго—
Г I \	при	г - R.	(7.3.6)

§ 7.3]

Н Е О Д Н О Р О Д Н Ы Е М А Г Н И Т О С Т А Т И Ч Е С К И Е К О Л Е Б А Н И Я

355

Здесь г0 — единичный вектор, направленный по радиусу, а индек сы 0 соответствуют внешней области (r^>R)', величины, относя щиеся к внутренней области (г < R), мы пишем без индексов.

Необходимость наложения граничных условий требует, чтобы поверхность сферы (г = R) была координатной поверхностью в той системе координат, в которой мы собираемся решать задачу. Ясно, что этому условию удовлетворяет сферическая система координат г, 0, <р. Решения уравнения Лапласа (для внешней об ласти) в сферической системе координат, конечные при г-»-оо, имеют следующий вид [38]:

ф0 = Сг"'7г-1.РІГ* (cos Ѳ) ѳ~ітф,

(7.3.7)

хде -РІГ* — присоединенные полиномы Лежандра [42], п — 1, 2, 3,...

..., т = 0, ± 1 , ± 2 , . . ., ± п , С — постоянная величина.

К сожалению, уравнение (7.1.7) не может быть решено в сфе рической системе координат. Но оно переходит в уравнение Лапла са при замене

г-**'/У ІГ .

(7.3.8)

Поэтому наша задача была бы решена, если бы мы нашли коорди наты, удовлетворяющие следующим условиям:

а) при замене (7.3.8) они должны переходить в какие-либо ко

ординаты, для которых решение		уравнения Лапласа	известно1,
б) поверхность г — R должна быть для них (как и для сфери
ческой системы) координатной поверхностью.			связанные
Этим условиям удовлетворяют		координаты £, т\|, ф,
с X, у, z соотношениями
X =	У іГ = Т R	sin Г] COS ф,
у =	У ц — 1 R У і2 — 1 sin г] sin ф,		(7.3.9)
Z =	] / " ( ( ! — 1 ) / р	COS Г).

Действительно, при замене (7.3.8) они переходят в сфероидальные координаты, для которых решение уравнения Лапласа известно [38].

С другой стороны, как легко убедиться, при г = Уж2 + у2+ z2 = R

(5)^в = Ь і = ] / Г1г^ т	И	(Т\|)^* = Ѳ,	(7.3.10)
т. е. поверхность сферы является	поверхностью £ =		const.
Итак, решение уравнения (7.1.7)	в координатах £, т], ф			будет
иметь такой же вид, как решение	уравнения Лапласа в			сферо
идальных координатах. Учитывая условие		конечности при г = 0
и опуская нормировочную константу, можно записать
Ф = Р1п' Ц) P'n' (cos Tj) er™.			(7.3.11)

12*

356 М А Г Н И Т О С Т А Т И Ч Е С К И Е К О Л Е Б А Н И Я И В О Л Н Ы [ Г Л . 7

Здесь, как и в (7.3.7), Pj"11 — присоединенные полиномы Лежанд ра, п = 1, 2, 3, . . ., т = 0, ± 1, ± 2, . . ., ±ге.

Наложим теперь на решения (7.3.11) и (7.3.7) граничные ус ловия. Из условия (7.3.5) с учетом (7.3.10) следует, что значения ?і и т в (7.3.7) и (7.3.11) одинаковы, а постоянная

		С = Д"+ірН ( I R ) .							(7.3.12)
Выражение в левой части условия (7.3.6) можно вычислить
следующим	образом:
г0 (и-Ѵ'Ф) =	sin Ѳcos cp [\i -Ц - +			ijie		j +
		-j- sin Ѳsin cp I				i.Uc-Jr +		M' -ff-) + cose-Jir-
Производные я)) по x, у и z определяются из выражения
	Эф _	Эф	Э£	.	Эф	Эг\|	Эф	Эср
	дх	ЭЕ,	дх	'	Эр	дх	Эф	дх
и аналогичных выражений для					у	и z,	а производные		т) и ср

по X, у и z легко вычислить, дифференцируя, например, соотно шения

		у2
	6я— Г +		^ -	= 0 * - 1 ) Я*.
x2-\-yz	I	\|lz2	=	( ( і - 1 ) R \	fceq»,
siu2 Т\|	'	cos2 Т]	=	( ( і - 1 ) R \	fceq»,

непосредственно следующие из (7.3.9). Правая часть условия (7.3.6) определяется прямым дифференцированием (7.3.7). Учиты вая затем (7.3.10) и принимая во внимание (7.1.12), мы, после некоторых преобразований, придем к «неожиданно» простому уравнению х)

	ÉRрѴ пІ(0 -- ± Ѵ-аI т\:+ д + 1 = 0,	(7.3.13)
где	определяется согласно (7.3.10), а штрих обозначает, как

обычно, дифференцирование по аргументу. Знаки плюс и минус перед вторым членом (7.3.13) соответствуют положительному и от рицательному знаку т, т. е. разным (соответственно, правому и левому) направлениям изменения фазы ф (а следовательно и поля, и намагниченности) при изменении азимутального угла. При этом предполагается, что ось z всегда совпадает с направлением посто янного намагничения и, таким образом, для |х„ всегда принимает ся выражение (1.2.35).*)

*) Простота его связана, конечно, с высокой степенью симметрии сферы

§ 7.3]	Н Е О Д Н О Р О Д Н Ы Е	М А Г Н И Т О С Т А Т И Ч Е С К И Е	К О Л Е Б А Н И Я	357
Выражение (7.3.13) с		учетом зависимостей	(1.2.34) и	(1.2.35)

|х и ц0 от частоты представляет собой уравнение для определения собственных частот магнитостатических колебаний сферы. При нимая во внимание известную формулу [42]

К Г(1) = ( 1 - ^ ( ^ ) > Л 1 ) ,

где Р п (£) — полиномы Лежандра, уравнение (7.3.13) можно пре образовать к виду

Gif' (£д) +	(Ц ± \|ів) I т I + п + 1 = 0,	(7.3.130
где
Г\М	_ и т ^ щ+1Рп ц)	(7.3.14)
"	( W N P n R )	(7.3.14)
"	( W N P n R )

Анализ уравнения (7.3.13) в общем случае произвольных т и п довольно сложен, но некоторые общие заключения могут быть легко сделаны. Прежде всего следует отметить, что в это уравне ние радиус сферы R не входит, т. е. собственные частоты магнито статических колебаний, как и следовало ожидать, от размера об разца не зависят. Они зависят от параметров соя и сом, входящих в выражения для р, и ра (т. е. от постоянного поля Н 0 и постоян

ной намагниченности М 0) и от	трех индексов,	характеризующих
тип колебаний: п = 1, 2, 3, .	. .; т = 0, ± 1 ,	± 2, . . ., + п и

третьего индекса г, определяющего номер корня уравнения

(7.3.13) при данных п и т.
Следуя Уокеру [200], введем число г — 0, 1, 2, . . ., р таким
образом, чтобы порядковый номер корня был г +						1 при т ) > 0 и
г при т	^	0 (значению г =	0 при	т	0 не	соответствует
корня).	Тогда	число корней	будет	равно р +		1 при т )> 0 и
р при т	0. Анализ уравнения (7.3.13) (на котором мы здесь не

останавливаемся) показывает, что	при такой нумерации корней
Р= 2 {п	I то I) ,	(7.3.15)

где квадратные скобки обозначают целую часть числа, стоящего в них.

Зная потенциалы (7.3.7) и (7.3.11), можно вычислит* состав ляющие поля собственных колебаний внутри (h = ѵф) и вне (h„ = Ѵф0) сферы и составляющие «собственной» намагниченно-

сти m = %h. В выражения для этих составляющих войдут явно только индексы п и т. Однако на самом деле поле и намагничен ность будут зависеть и от третьего индекса г, от которого зависит собственная частота, а следовательно и параметры вещества ц и Ца, входящие в выражения для поля и намагниченности.

Источник: https://tut-files.ru/previewfile/155615

Смотрите также:





Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)