§ 7.3] |
Н Е О Д Н О Р О Д Н Ы Е М А І'Н И 'Г О С 'Г А 'Г И Ч Е С ІШ Е Н О Л Е Б А Н И Я |
ЗбЗ |
||
|
оо. Можно убедиться, используя асимптотические свойства |
|||
полиномов |
(£) [42], что уравнение (7.3.28) при а |
1 |
перехо |
|
дит |
в (7.3.13). |
анализ уравнения (7.3.28), проведенный |
Уокером |
|
Детальный |
||||
[200], показал, что многие свойства магнитостатических колеба ний, которые были отмечены выше для случая сферы, имеют место и для произвольного сфероида. В частности, и для сфероида типы колебаний могут характеризоваться индексами п, т и г, где г определяет номер корня уравнения (7.3.28) для данных п и т.
Число |
этих корней, |
т. е. различных типов колебаний с данными |
||||||||||
/ г и т , |
составляет, |
как |
и для |
сферы, р + 1 |
|
|
|
|||||
при т > 0 и р при т ^ |
0, где р определя |
|
|
|
||||||||
ется выражением (7.3.15). |
|
|
|
|
|
|
||||||
Серии колебаний с р — 0, т. е. (т, т, 0) |
|
|
|
|||||||||
и (т |
+ |
1, т , 0), и в случае сфероида харак |
|
|
|
|||||||
теризуются круговой поляризацией поля и |
|
|
|
|||||||||
намагниченности, независимостью |
распреде |
|
|
|
||||||||
ления поля и намагниченности от Н0 и М 0 и |
|
|
|
|||||||||
независимостью разности (ю — сон) от Я„. |
|
|
|
|||||||||
Собственные частоты колебаний этих серий в |
|
|
|
|||||||||
зависимости |
от отношения |
осей сфероида а |
|
|
|
|||||||
показаны на рис. 7.3.6. Тип колебаний (1, 1,0) |
|
|
|
|||||||||
и в случае произвольного сфероида представ |
|
|
|
|||||||||
ляет собой однородную (киттелевскую) пре |
|
|
|
|||||||||
цессию намагниченности. |
|
|
|
Рис. 7.3.5. Намагничен |
||||||||
Для магнитостатических |
колебаний сфе |
|||||||||||
ный эллипсоид |
враще |
|||||||||||
роида |
по-прежнему справедливы неравенст |
|
ния. |
|
||||||||
ва (7.2.30), |
где теперь соя = |
|
у(Н 0— N ZM 0). |
|
спектр |
маг |
||||||
При |
а — 0 |
(тонкий нормально намагниченный диск) |
||||||||||
нитостатических колебаний сфероида «сжимается» в точку |
|
|||||||||||
|
|
|
|
со = |
соя = |
Т(Яо — 4яМ 0), |
|
|
|
|||
а при |
а —> оо (тонкий |
продольно |
намагниченный |
цилиндр) — |
||||||||
в точку |
|
|
£ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
со = |
|
|
= Т (Я0 + 2яМ0). |
|
|
||||
|
|
|
Ын + ~2~ |
|
|
|
||||||
Это свойство спектра магнитостатических колебаний сфероида иллюстрирует рис. 7.3.6.
Затухающие я вынужденные колебания. Следуя общей схеме изучения колебательных процессов (см. §§ 1.3, 1.4, 6.3), мы долж ны перейти теперь к рассмотрению свободных запгухающих магни тостатических колебаний. Для этого достаточно в характеристи ческие уравнения (7.3.1), (7.3.13), (7.3.28) подставить выражения (л и |.іа с учетом диссипации (§ 1.3). Решения характеристических уравнений окажутся комплексными, их мнимые части со" будут
364 М А Г Н И Т О С Т А Т И Ч Е С К И Е К О Л Е Б А Н И Й Й В О Л Й Ы № Л . t
характеризовать затухание свободных колебаний. Вычисления, к которым это приводит, достаточно громоздки, а результаты ые являются особенно интересными: добротности неоднородных маг нитостатических колебаний оказываются одного порядка с доб ротностью однородной прецессии, что подтверждается и экспе риментально (см., например, [202]).
Рис. 7.3.6. Зависимости частот магнитостатических колебаний |
0) и (т + 1, т, 0) |
от формы эллипсоида вращения [200]. |
|
Переходя к рассмотрению вынужденных колебаний, отметим прежде всего, что магнитостатические колебания удовлетворяют соотношениям ортогональности [209, 240], которые являются след ствиями уравнения Уокера (7.1.7) и граничных условий на по верхности образца. Приведем одно из этих соотношений:
^ ш , X mv'dF = 0 при v=jfc=v'. |
(7.3.29) |
у |
|
Здесь интегрирование производится по объему образца, а ѵ и ѵ' означают совокупности индексов, характеризующих тип колеба ний, например, для сфероида (сферы) — индексов п, т и г. На магниченности собственных магнитостатических колебаний, удо влетворяющие условиям ортогональности, образуют (в рамках магнитостатического приближения) полную систему функций, по которой можно вести разложение произвольной переменной намагниченности.
Ортогональность и полнота (в рамках магнитостатического при ближения) системы собственных функций — намагниченностей магнитостатических колебаний — позволяет построить теорию вынужденных колебаний, аналогичную теории вынужденных элект ромагнитных колебаний полых резонаторов (§ 6.3). Простейшей задачей такой теории является задача о возбуждении магнито
§ ? .з ] |
Н Е О Д Н О Р О Д Н Ы Е |
М А Г Н И Т О С Т А Т И Ч Е С К И Е |
К О Л Е Б А Н И Я |
365 |
статических колебаний |
заданным внешним |
переменным |
полем |
|
(h (г) |
— его комплексная амплитуда, а со — частота). Комплекс |
|||
ную амплитуду намагниченности образца можно искать в виде ряда по намагниченностям собственных колебаний, определенным образом нормированным:
ш (г) = |
2 Сѵт ѵ(г)- |
(7.3.30) |
Для коэффициентов этого ряда получатся формулы вида |
||
|
J h (r) m*(г) dV |
|
Сѵ = Сю2 |
V_____________ |
(7.3.31) |
<o2 — со2 + 2ic<vco2 ’ |
|
|
где cov и av — собственные |
частоты и параметры |
диссипации |
магнитостатических колебаний, а С — константа, зависящая от нормировки собственных функций; интегрирование в (7.3.31) производится по объему образца.
Если параметры аѵ достаточно малы (что имеет место для по лированных образцов из хороших монокристаллов, например иттрий-железиого граната), то, как правило, будет происходить поочередное возбуждение различных типов прецессии при изме нении частоты возбуждающего поля а> или величины внешнего постоянного поля (влияющего на собственные частоты соѵ). Это и имело место в опытах по возбуждению магнитостатических ко лебаний в сферах [199, 202], дисках и цилиндрах [207]. Некоторые из полученных в таких опытах серий резонансных кривых приве дены на рис. 7.3.7 и рис. 7.3.8.
Условием возбуждения данного магнитостатического типа ко лебаний является неравенство нулю интеграла возбуждения, стоящего в числителе формулы (7.3.31). При однородном внешнем поле h интеграл возбуждения не обращается в нуль только для однородной прецессии (1,1,0). Для возбуждения других — неод нородных типов колебаний необходимо неоднородное переменное поле, и интенсивность их будет тем больше, чем ближе структура переменного поля к структуре намагниченности данного типа. Этот вопрос исследовался экспериментально (см., например, [202]), и было получено удовлетворительное совпадение с теорией. В частности, тип колебаний (2, 1, 0), характеризующийся, как видно из (7.3.23), линейной зависимостью намагниченности от z, возбуж дается (см. рис. 7.3.7) только в том случае, когда имеет место не четная зависимость поперечного магнитного поля от z.
Правда, магнитостатические типы колебаний возбуждаются часто и тогда, когда интеграл в (7.3.31), казалось бы, должен об ращаться в нуль, например при помещении образца в область
366 |
М А Г Н И Т О С Ф А 'Т Й Ч Ё С К Й Ё К О Л Й В а И Й Й и в о л н ы |
[ Г Л . 7 |
t u , О!
Но |
j-----------А ~ |
L |
|
згоо |
1 Нд э |
Рис. 7.3.7. Кривые резонансного поглощения при расположении |
ферритовой сферы в |
|
переменных магнитных полях с различной симметрией [202]. Частота 9 Ггц. Сфера диамет ром 1,1 мм из монокристалла иттрий-железного граната помещалась в различных точках прямоуго льного резонатора ТЕИ0. Начала отсчета на осях абсцисс смещены таким об разом, чтобы линии однородной прецессии (которые расположены при различных полях из-за разных ориентаций сферы) оказались па одной вертикали. Пунктиром показаны си
ловые линии переменного магнитного поля.
§ 7 .3] Н Е О Д П О Р О Д И Ы Е М А Г Н И Т О С Т А Т И Ч Е С К И Е К О Л Е Б А Н И Я 367
однородного поля резонатора. Это бывает связано с неточностью расположения образца, искажениями поля в резонаторе неоднород ностью внутреннего ноля вследствие неэллипсоидальной формы образца (рис. 7.3.8), а также с влиянием анизотропии и размеров образца, на котором мы остановимся несколько ниже.
Задача о возбуждении магнитостатических типов колебаний может быть поставлена и по-другому, с учетом свойств той полой системы, в которой находит ся ферромагнитный образец.
Пусть, например, такой си стемой является полый резо натор. Тогда может быть сформулирована задача об определении поля в резона торе и намагниченности об разца при заданных возбуж дающих токах и полях на отверстиях резонатора. Это, по существу, та же задача, которая рассматривалась в §6.3. Градиентная функция фл в (6.3.21) совпадает с маг нитостатическим потенциа лом главы 7, и ее можно ис кать в виде ряда по собствен ным магнитостатическим ти пам колебаний образца.
Влияние кристаллографи ческой анизотропии. До сих пор, рассматривая магнито статические колебания, мы принимали для тензора маг нитной проницаемости выра жение (1.2.33), т. е. считали, что среда (в отсутствие посто янного намагничения) изот
ропна. Но эксперименты проводятся обычно на монокристаллах. Поэтому интересно выяснить, какое влияние оказывает на маг нитостатические колебания кристаллографическая анизотропия вещества.
В § 7.1 было показано, что решения магнитостатических задач, полученные для изотропной среды, справедливы для монокрис талла при замене (7.1.29), если выполняются условия (7.1.31). Отсюда следует, что резонансные частоты всех магнитостатичес ких колебаний при выполнении этих условий будут сдвинуты от носительно резонансных частот в изотропных образцах той же