§ І.з] |
Н Е О Д Н О Р О Д Н Ы Й М А Г Н И Т О С Т А Т И Ч Е С К И Е |
К О Л Е Б А Н И Я |
373 |
Оценка для антиферромагнетика Сг20 3 (М 0 = |
286 гс; IIА ~ |
700 э; |
|
Н е ж |
2,5-10° д [176]) дает |
|
|
|
8 # о Ä 40 а. |
|
|
Как было показано на некоторых примерах в главе 4, тензор
[X для других основных состояний одноосного антиферромагне тика и для аитиферромагнетиков другого типа имеет вид, отлич ный от полдеровского. Для расчетов частот и полей магнитостати ческих колебаний в этих случаях требуется обобщение теории, аналогичное тому, которое необходимо для учета кристаллогра фической анизотропии в ферромагнетике. Выражения для ЬН0, к которым мы придем в результате таких расчетов, будут, конеч но, отличаться от (7.3.42), но порядок величины, видимо, оста нется таким же. Это подтверждается экспериментами, в которых наблюдались неоднородные магнитостатические колебания в ан тиферромагнетиках [211, 330].
t J l A È A S
СПИНОВЫЕ ВОЛНЫ
§ 8.1. Спиновые волны в неограниченном ферромагнетике
Перейдем к изучению неоднородных магнитных колебаний с более быстрыми вариациями переменной намагниченности в про странстве, чем те, которые рассматривались в предыдущей главе. Теперь уже необходимо будет учитывать возрастание энергии обменного взаимодействия вследствие непараллельиости сосед них элементарных магнитных моментов. В первых четырех пара графах этой главы мы будем по-прежнему использовать конти нуальную модель, в которой состояние магнитоупорядочеииой среды описывается классическими векторами намагниченностей подрешеток М;- (для ферромагнетика — одним вектором М), яв ляющимися непрерывными функциями координат. В этой модели возрастание обменной энергии из-за непараллельиости соседних магнитных моментов описывается при помощи неоднородных чле нов обменной энергии, зависящих от производных Mj по коорди натам. Для случая ферромагнетика такие неоднородные члены можно записать в виде (2.1.7).
Намагниченность в (2.1.7) является суммой постоянной и
переменной составляющих: |
|
|
М (г, t) = М0 (г) + |
(г, t) |
(8.1.1) |
(по-прежнему | т ~ | < ^ |7к70|).Мы будем рассматривать в этой гла ве намагниченный до насыщения ферромагнетик (без доменной структуры). При этом постоянная намагниченность М0 не будет быстро изменяться в пространстве и в (2.1.7) войдет только пере менная намагниченность
( 8. 1.2)
С помощью формулы (2.1.14) может быть найдено соответствую щее эффективное поле
3 3
(8.1.3)
§ 8 . 1 ] С П И Н О В Ы Е В О Л Н Ы В Н Е О Г Р А Н И Ч Е Н Н О М Ф Е Р Р О М А Г Н Е Т И К Е 375
Переменную намагниченность |
(г, t) можно |
представить в |
виде суперпозиции плоских волн (фурье-гармоник) |
|
|
mk = m е*К“,-к17 |
(8.1.4) |
|
с различными частотами со и волновыми векторами к. Задача бу дет заключаться прежде всего в определении закона дисперсии этих волн, т. е. зависимости со от к 1). Для волновой зависимости (8.1.4) из выражения (8.1.3) следует
(8.1.5)
где h5 — амплитуда волны эффективного поля, а q — тензор с компонентами qps.
Как отмечалось в предыдущей главе, в неметаллических фер ро-, ферри- и антиферромагнетиках имеется широкая область зна чений 1с, в которой можно не учитывать неоднородного обмена и в то же время при нахождении спектра колебаний не принимать во внимание запаздывания при распространении электромагнит ных волн. Отсюда следует, что, рассматривая обменные спиновые волны в неметаллах, во всяком случае можно пользоваться маг нитостатическим приближением2). Для того чтобы получить спектр этих воли, необходимо решить совместно уравнение дви жения намагниченности (для антиферромагнетика — уравнения движения намагниченностей подрешеток) и уравнения магнито статики с учетом, вообще говоря, граничных условий.
Однако учет граничных условий при нахождении спектра коле баний или волн важен лишь тогда, когда размеры тел сравнимы с длиной волны в среде. Мы убедились в этом, в частности, в §7.2 при рассмотрении дисперсионных соотношений для магнито статических волн в пластинах и стержнях. Отсюда ясно, что по мере перехода к спиновым волнам с большими 1с (для которых не обходим учет неоднородного обмена) роль граничных условий уменьшается, их учет становится существенным лишь для очень
тонких пленок, очень мелких частиц |
и т. п .3). Таким образом, |
||
1) Для беаобменных магнитостатических |
|
неограниченной среде |
|
(§ 7.1) со зависело только от направления |
вектора к. Но теперь, когда в (8.1.2) |
||
|
бол и в |
|
|
входят производные по координатам и параметры qps с размерностью квадра та длппы, мы вправе ожидать зависимости со и от величины к.
а) В металлах длина электромагнитных волн существенно укорачивается из-за влияния проводимости, и область магнитостатических безобменных воли обычно отсутствует. При рассмотрении спиновых волн с не очень боль шими к в металлах нужно использовать полные уравнения Максвелла.
3) Речь идет о граничных условиях для переменных величин. Граничные условия для постоянных величии должны, конечно, всегда приниматься во внимание при определении внутреннего постоянного магнитного поля, ко торое является параметром при рассмотрении колебательных процессов,
1 8 .0 С П И Н О В Ы Е В О Л Н Ы В Н Е О Г Р А Н И Ч Е Н Н О М Ф Е Р Р О М А Г Н Е Т И К Е |
377 |
(1.3.19) и (1.3.20) для компоненту. В частности, теперь
(соя + |
Д/с2 + |
д/с2 -|- |
taco + сом ) — со2 |
(соя -I д/с2 + taco) |
(соя + |
|
(8.1.10)
taco)2 — со2
где, как обычно, а>м — у4яМ0.
Компоненты тензора р, ферромагнетика с учетом неоднородного обменного взаимодействия зависят, таким образом, не только от частоты, но и от волнового вектора к. Такая зависимость носит на звание пространственной дисперсии. Предполагая в выражении
(8.1.2) qps = q, мы получили, что компоненты р. зависят только от /с2, в общем случае они зависели бы от составляющих вектора к.
Для того чтобы найти дисперсионное соотношение (спектр) спиновых волн в изотропном ферромагнетике, достаточно подста вить выражение (8.1.10) в уравнение (7.1.2). В результате получим
со2 — (сод т]к2+ іа в) (сод + |
д/с2 + |
іа» + и>м sin2 Ѳк) = |
0, |
(8.1.11) |
||
где 0fc — угол |
между направлением |
распространения |
и осью z, |
|||
совпадающей |
в данном |
случае |
с |
направлением |
постоянного |
|
поля Н0. |
|
|
|
|
|
|
Выражение (8.1.11) дает (в магнитостатическом приближении) |
||||||
связь между частотой со и |
волновым вектором к для плоской вол |
|||||
ны (8.1.4) в изотропном ферромагнетике. Параметрами в (8.1.11) являются внутреннее постоянное поле Н і0 = Ид/у и постоянная намагниченность М 0 = »мМлу.
Заметим, что к дисперсионному соотношению (8.1.11) можно прийти и, на первый взгляд, несколько иным путем. Этот путь, использованный Херрингом и Киттелем [232], заключается в ин тегрировании уравнения движения, в котором предварительно учитывается связь h с тп, следующая из уравнений магнитоста тики. Легко убедиться, что для плоских воли (8.1.4) такая связь
имеет вид |
|
h = — ^ - k (mk). |
(8.1.12) |
И так как рассматриваются собственные (нормальные) волны при отсутствии внешнего переменного поля, то (8.1.12) представляет собой полное переменное поле. Подставляя его в уравнение дви жения (8.1.7), мы приходим к однородному уравнению
Из условия совместности системы, которая получается в резуль тате проектирования (8.1.13) на оси координат, следует диспер сионное соотношение (8.1.11). Таким образом, рассмотренные два