§ 8.1] СПИНОВЫЕ ВОЛНЫ В НЕОГРАНИЧЕННОМ ФЕРРОМАГНЕТИКЕ 379
=О х). При увеличении к значения постоянного поля уменьшаются
иобращаются в нуль при некоторых значениях кмакс (Он)- В част
ности, при Ѳд = О
• # макс (0) - со/г, |
/Смаке (0) = |
• |
(8.1.17) |
Для иттрий-железиого граната при комнатной температуре
Рис. 8.1.1. Спектры незатухающих спиновых волн в изотропном ферро магнетике. Мд — 140 гс, Г) = 0,1 (иттрий-железный гранат при ком натной температуре), а — шд = 0,5 шэд (Яіо = 870 в): б — ш = 0,75 Шдг
(ш/2 я = 365 Mail).
т] = 0,1 и для со/2я = 1010 гц (длина |
электромагнитной волны |
||
в свободном пространстве |
3 см) |
|
|
Н макс (0) = 3 5 0 0 |
Э, |
/С м а кс(0 ) |
= 8 - І О 6 СМ~К)* |
*) При к —> 0 излагаемая теория и, в частности, выражение (8.1.14), строго говоря, несправедливы: для больших образцов (с размерами, сравни мым с длиной электромагнитной волны) — вследствие неучета «запазды вающих» членов в уравнениях Максвелла, а для малых образцов — вслед ствие пеучота граничных условий. Однако как уже неоднократно отмечалось, при таких малых к нет необходимости учета обменного взаимодействия, п соответствующие задачи уже рассматривались в главах 6 и 7.
§ 8.1] С П И Н О В Ы Е В О Л Н Ы В Н Е О Г Р А Н И Ч Е Н Н О М Ф Е Р Р О М А Г Н Е Т И К Е 381
имеют круговую поляризацию с правым вращением. Для углов 0)j =j=0 поляризация становится эллиптической, но она мало от личается от круговой при сом < сон + г]/с2 и приближается к ней с ростом к.
Затухание спиновых волн. При учете диссипации (а =/= 0) дис персионное уравнение, естественно, не может удовлетворяться при вещественных со и к. Возможны две простейшие постановки зада чи. В первом случае рассматриваются стационарные волны (со вещественно), которые при наличии диссипации затухают в про странстве (к комплексно). Во втором случае мы предполагаем, что к вещественно, и рассматриваем затухание во времени (со комплексно) волны с постоянной в пространстве амплитудой. Осуществление той или иной ситуации (или промежуточной, когда и со, и к комплексны) зависит, конечно, от условий возбуж дения воли.
Рассмотрим первую задачу, т. е. примем, что в (8.1.11) со ве щественно, а
к = к' — ік".
Предположим, что направление распространения и направление затухания волны совпадают1), т. е. векторы к' и к" параллельны. В этом случае
(kl + kl)JB = sin2 0,,
где Bh — угол между направлением векторов к' и к" и осью z, который мы считаем заданным. Тогда два вещественных уравне ния, эквивалентных (8.1.11), дают связь к' и к" с со и Ѳц.
Остановимся сначала иа случае любого затухания, т. е. примем а < 1 и
(8.1.21)
Пренебрегая в (8.1.11) малыми величинами порядка выше первого, получим для к' (со) прежнее выражение (8.1.14), а для к" — соот ношение
к |
асо |
(8.1.22) |
|
2rjF ' |
|||
|
|
||
Согласно (8.1.22) при очень больших к', когда со |
ц/с'2, |
||
к" |
а |
|
|
~г к’. |
|
||
При малых же к', когда со почти не зависит от к' (либо в том слу чае, когда частота является заданной, а к' регулируется изме
1),Это предположение не является, вообще говоря, обязательным. Электро магнитные волны с несовпадающими направлениями распространения п за тухания были рассмотрены Френкелем [43].
382 |
СПИНОВЫЕ ВОЛНЫ |
[ГЛ. 8 |
нением постоянного поля или угла 0(f), к" обратно пропорцио нально к'. Однако, как только к" становится сравнимым с к', рассматриваемое приближение перестает быть справедливым. Подставляя (8.1.22) в (8.1.21), получим условие его справедли вости:
к' > Ѵ ^ Ц - = Ѵ - f ÄMaKc(0) = /<np. |
(8.1.23) |
Если условие (8.1.23) не выполняется, то величины к' и к" должны быть найдены путем точного решения уравнения (8.1.11). Подставляя к — к' — ік" в (8.1.11) и приравнивая нулю вещест венные и мнимые части, получим
со2 — [сон + ц (к'2 — /с"2)] [сон + л (к'2— /с"2) -f ам sin2 Ѳк] +
+ |
(аа> - |
2т]к'к"У = 0, |
(8.1.24) |
(асо — 2цк'к") [2а>я + 2ц (/с'2 - |
/с"2) + |
солг sin2 Ѳк] = 0. |
(8.1.25) |
Выражение в квадратных скобках в (8.1.25) не может обращаться в нуль, так как тогда при к" -> 0 для к' получилось бы выражение, которое ничего общего не имеет с (8.1.14) и в которое вообще не входит частота со. Следовательно, в (8.1.25) обращается в нуль первая скобка. Таким образом, соотношение (8.1.22), которое бы ло получено раньше для случая к'^> к", справедливо и в общем случае. Уравнение (8.1.24) тогда отличается от (8.1.14) лишь за меной к2 на к'2 — к"2. Оно может быть легко решено совместно с (8.1.22) относительно к' и к". Введем обозначения:
к' |
к" = -jf- » |
ß |
1 |
\/~ “ 2 + |
[~т0)Л< ЯІІі2 ѳ* |
|
aw |
|
|||||
пр |
Лпр |
|
|
|||
|
|
|
|
сои ■ |
■COjVf S in 2 0(f |
(8.1.26) |
где &пр определяется согласно (8.1.23). Тогда решение запишется в форме
%’ = Y V W T ^ + ß, к" = i Z / F + T ^ ß |
(8.1.27) |
(соотношение (8.1.22) в обозначениях (8.1.26) примет вид к'к" =
= !)• Зависимости к' и к" от ß показаны на рис. 8.1.3. На том же
рисунке приведены результаты расчета в первом приближении,
когда к' вычисляется без учета диссипации, а к" — из соотноше ния (8.1.22). Из рис. 8.1.3 видно, что приближенное решение, как и следовало ожидать, практически совпадает с точным при ß ^> 1, когда к'^> к". Однако как только ß приближается к 1 (т. е. к" — к к'), точный спектр начинает существенно отличаться от приближенного. Приближенный спектр существует только при