388 |
СПИНОВЫЕ ВОЛНЫ |
[ГЛ. 8 |
§ 8.2. Спиновые волны в антиферромагнетиках и феррішагнетпках
Рассмотренную в предыдущем параграфе классическую фено менологическую теорию спиновых воли в ферромагнетике можно без особых трудностей обобщить на случай магнитных систем с несколькими подрешетками. При этом следует исходить из ли неаризированных уравнений движения намагпичеииостей подре шеток (4.1.25) и уравнений магнитостатики, например в форме (7.1.21). Вид уравнений магнитостатики не зависит, конечно, от того, какую среду мы рассматриваем, а входящий в них тензор
jit для системы с несколькими подрешетками определяется еледующим образом (см. главу 4):
т ~ == 2 m ~J = |
= 1 + |
у |
|
В уравнениях движения (4.1.25) необходимо теперь учесть эффективное поле неоднородного обменного взаимодействия. Ес ли предположить, аналогично предыдущему параграфу, что по стоянные намагниченности подрешеток не испытывают быстрых изменений в пространстве, то энергию этого взаимодействия, обоб щая (8.1.2), можно записать в виде [21, 3]
|
^ = 4 - 3 |
|
SS W |
3m |
3m |
|
(8.2.1) |
||||
|
2 |
дхг |
дх. |
||||||||
|
|
;=1 з'=і p=l s=i |
|
|
|
|
|
|
|||
где п — число подрешеток. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Остановимся на |
случае двух идентичных подрешеток. Тогда |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
3m _2 3m _2 \ |
, |
3m _2 |
|||
Р = 1 s= lL |
Х |
V |
S |
|
дхр |
dxs |
) ^ |
Vps дхр |
dxs |
||
|
|
|
|
|
|
( 8. 2. 2) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эффективные |
поля |
неоднородного |
обменного |
взаимодействия |
|||||||
определятся |
по формуле (4.1.4): |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
з |
з |
|
3%1 '1,2 |
|
|
3:іп 2,1 |
(8.2.3) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
h<71,2 — |
S |
S |
(?Р,s дх„ дх. |
+ |
qps |
дхпЭх |
||||
Для плоских волн |
P = 1 S = 1 |
' |
Р |
s |
|
|
|
|
|
||
|
m~ lt2 = |
m1,2e1("i-kr), |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
и из (8.2.3) следует (аналогично (8.1.5)) |
|
|
|
|
|||||||
з |
з |
|
|
|
з |
з |
|
|
|
|
|
1,2 — — I S S QpJCv k s j ш 1 .2 — |
^ S S ( f p s ^ p ^ 's j Н 1 2д |
= |
|
||||||||
Р=18=1 |
|
|
|
'р=1 s=l |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
= — (kqk) mli2 — (kq'k) m2il. |
(8.2.4) |
||||||
§ 8.2] ВОЛНЫ В АНТИФЕРРОМАГНЕТИКАХ И ФЕРРИМАГНЕТИКАХ 389
Дисперсионное соотношение для спиновых волн в антиферро магнетике, как и в случае ферромагнетика (§ 8.1), может быть по лучено (в рамках рассматриваемой классической теории) двумя путями; они отличаются последовательностью учета уравнений движения и уравнений магнитостатики. Как мы увидим ниже, учет уравнений магнитостатики, т. е. учет магнитного взаимодей ствия (который дает зависимость закона дисперсии от формы образца и направления распространения волны), для аптиферромагнетиков приводит к малым поправкам. Это имело место и для однородного антиферромагнитного резонанса (§ 4.2) и связано с малыми величинами суммарных намагниченностей антиферромаг нетиков, как постоянной (в не очень сильных магнитных полях) t так и переменной.
В этом параграфе, так же как и в главе 4, мы ограничимся исследованием одноосных аитиферромагнетиков. Спектры спино вых воли в них получили на континуальной модели методом ре шения уравнений движения Каганов и Цукерник [235] и с учетом магнитного взаимодействия — Лудой и Пинкус [241]. Квантовый расчет на континуальной модели был проведен Туровым и Ирхиным [21].
Одноосный антпферромагнетпк в поле, параллельном оси. Как было показано в § 4.2, в одноосном антиферромагнетике с двумя идентичными подрешетками при положительной анизотро пии (легкая ось) и постоянном поле Н0, приложенном вдоль оси, возможны (см. рис. 4.2.2 и табл. 4.2.1) три основных состояния.
При Я 0< ;Я с = Y 2НеН а (первое состояние) равновесные векторы намагниченностей подрешеток направлены по оси (рис. 4.2.2, а). Уравнения движения для этого состояния без учета неоднородного обменного взаимодействия имели вид (4.2.25). Теперь необходимо добавить в них эффективные поля (8.2.4). Тогда, решив эти урав-
нения, мы найдем тензор восприимчивости %с учетом пространственной дисперсии. Следуя первому пути получения дисперси онного соотношения для спиновых волн, мы должны подста-
вить |
компоненты тензора |
% в |
магнитостатическое уравне- |
ние |
(7.1.21). |
тМ1і20 |
X hg 1|2, приходим к урав |
Добавляя в (4.2.25) члены |
|||
нениям |
|
|
|
ісопі! + [г (# о + Я Е + Я л + Ни) + ймйI mi X z0 +
+ Г(ЯЕ + Н'н) m2 X z0 = rM 0h х z0, (8.2.5)
£сот2 + [г(Я0 — НЕ— Н а — Н к) — іасо] т 2 X z0 —
— Т (Не + Н'к) mi X z0 = — уМ0Ь X z0,
390 СПИНОВЫЕ в о л н ы [ГЛ. 8
где введены обозначения:
Н к — М 02 |
2 Qpskpks, |
р |
S |
|
( 8. 2.6) |
Н к — Мо 2 |
2 Qpskpks |
Р |
S |
(величины Не и На определяются по-прежнему согласно (4.2.7) и (4.2.8), а М 0 есть длина векторовМ10 и М20). Сравнивая полу ченные уравнения с (4.2.25), мы видим, что уравнения (4.2.25) переходят в (8.2.5) при замене
Не —+Не -Ь Нк,
(8.2.7)
Я л - ^ Я л + Я , - # ; .
Следовательно, можно произвести эту замену в окончательных
выражениях для компонент тензора % |
который |
по-прежнему |
|||
будет иметь вид |
|
|
|
|
|
|
4"(Х + + Х_) |
-g-(x+-x _) |
0 |
|
|
X = |
і |
1 |
Х_) |
• |
(8.2.8) |
|
— ~2~(Х+ — Х_) |
- ^ ( Х + + |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
|
Производя замену (8.2.7) в выражении (4.2.33) и пренебрегая диссипацией, получим
2ГЛ/„(Ял + //,- //( .)
(8.2.9)
(со — со± ) (со + со+ ) |
’ |
где, согласно (4.2.10),
= / ( 2 Н Е + Н а) Н а +2Н е (Нк- Н 'н)+ 2Н АН к+ Н \ - н } ± Я 0.
(8.2.10)
Магнитостатическое уравнение (7.1.21) для тензора вида (8.2.8) запишется следующим образом:
1 + 2я (Х+ + Х_) sin2 0* = 0. |
(8.2.11) |
Выражение (8.2.11) с учетом (8.2.9), (8.2.10) и (8.2.6) представляет собой дисперсионное соотношение для спиновых волн в рассмат риваемом антиферромагнетике. Оно дает зависимость частоты этих волн со (входящей в х+) от составляющих вектора к (которые вхо
дят в Я(с, Я й и sin26/c = (kl + kl)/7с2).
В рассматриваемом случае в кристалле имеется только одно выделенное направление — ось z. Поэтому тензоры q и q' долж-