5 9 2 СПИНОВЫЕ ВОЛНЫ t r f t . 8
(4.2.10), полученными без учета5 влияния] размагничивающих полей.
При малых |
к (когда Dk2 |
На) |
|
со* « ГНс ± гПо + г Ѵ і і е /2Нл Dk2, |
(8.2.17) |
||
а при больших |
к (когда Dk2 :§> На) |
|
|
|
а+^ ч У Ш |
я 5 к ± г Я 0. |
(8.2.18) |
Таким образом, закои дисперсии спиновых волн рассматривае мого антиферромагнетика является приближенно квадратичным при малых к и линейным — при больших.
ПриѲк Ф 0 корни уравнения (8.2.14) — частоты спиновых волы не свпадают с со+ исо_; учет магнитного взаимодействия приводит к зависимости частот спиновых волн от угла 0к. Решения урав нения (8.2.14) имеют вид
со+ ,п |
= ~ |
(со; + со! + co'f„ s i n 2 Ѳк) ф |
|
|
+ |
l ^ ( c o ! — c o l)2 + 2c0m (co+ — co_)2 s i n 2 0 ,r + |
co?n s i n 4 0 * , ( 8 . 2 . 1 9 ) |
где |
com определяется выражением (8.2.15). Величина com обычно |
||
мала по сравнению с со+ и со_ (кроме случая, |
когда Н 0 близко к |
||
Нс и со_ становится малым), но не обязательно мала по сравнению
с (со+ — со_) = |
2Н 0. |
|
|
Рассмотрим |
случай Н 0 = 0. Тогда из (8.2.19) следует |
||
|
— -------â------------- |
/ |
2лМпsill2 0,. \ |
|
/ |
^ 1 |
-)------------ щ -------- J , ( 8 . 2 . 2 0 ) |
|
со5 + со!, Sin2 Ѳ* Ä со0 |
||
где со0 — частота спиновых волн при |
|
= 0 и Н 0 = 0 — опре |
|
деляется выражением (8.2.16). Таким |
образом, с учетом магнит |
||
ного взаимодействия частоты двух ветвей спин-волнового спект ра при Н 0 = 0 не являются (при =f= 0) вырожденными. Частота одной из ветвей совпадает с частотой со0 (которая получается без учета магнитного взаимодействия), а частота другой — отличает ся от нее и зависит от Ѳ^. Зависимости частот обеих ветвей (второй— при Ѳк = я/2) от к показаны на рис. 8.2.2 (средняя пара кривых).
При достаточно больших полях, когда сот <^_ уН 0, из |
(8.2.19) |
следует |
|
1 |
(8.2.21) |
ш±Пг = C Ü + - P — Sin20h. |
В этом случае магнитное взаимодействие приводит к увеличению частот обеих ветвей спектра спиновых воли на одинаковую, зави сящую от угла Ѳл величину. Зависимости частот спиновых волн
§ 8.2] ВОЛНЫ В АНТИФЕРРОМ АГНЕТИКАХ И Ф ЕРРИМ АГНЕТИКАХ 393
от к при промежуточном значении Н0, рассчитанные по общей формуле (8.2.19), приведены на рис. 8.2.2.
Как видно из формул (8.2.20) и (8.2.21) (с учетом того, что М 0<^ <§2 Н е ) и и з рис. 8 . 2 .2 , «расщепление» спектра спиновых волн антиферромагиетика, обусловленное магнитным взаимодействием весьма невелико. Это, конечно, будет справедливо и для других основных состояний и для других антиферромагнетиков.
Для процессов релаксации и нелинейных явлений в антифер ромагнетиках, так же как и в случае ферромагнетиков, большой интерес представляет иссле дование вопроса о вырожде нии (совпадении частот) од нородного резонанса со спи новыми волнами. С этой точ ки зрения влияние магнитно го взаимодействия на спект ры спиновых волн оказывает ся довольно существенным.
Без учета магнитного взаи модействия, как видно из сравнения формул (8.2.16) и (4.2.10) или из рис. 8.2.1, имеет место лишь вырожде ние (при Н 0=f=0) верхней вет ви однородного резонанса <во+ с нижней ветвью спиновых
волн со_. При учете |
же |
маг |
Рис. |
8.2.2. Спектры спиновых воли в |
одноос |
||||||||
нитного взаимодействия, |
ко |
ном |
антиферромагнетпке с учетом |
магнит- |
|||||||||
пого |
взаимодействия. Основное |
состояние |
и |
||||||||||
торое приводит к зависимости |
значения |
параметров — те же, |
что |
и |
на |
||||||||
частот спиновых волн от |
Ѳй, |
рис. |
8.2.1; |
Я 2 = |
|
300 э. Кружки — частоты |
|||||||
|
|
|
однородного резонанса сферы. |
|
|
||||||||
а частот однородного резо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
нанса — от формы |
образца |
|
|
и при Н 0 = 0, а также между |
|||||||||
(§4.2) J), вырождение имеет место |
|||||||||||||
«одноименными» ветвями спектра |
(<г>о+ |
с со+ и |
соо_ |
с со_). Это иллюстри |
|||||||||
рует рис. 8.2.2, на котором, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
наряду со спектрами спиновых волн, |
||||||||||
показаны и частоты однородного |
резонанса |
антиферромагнитной |
|||||||||||
сферы.х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х) Для рассмотренного |
основного |
состояния |
постоянный |
магнитный |
|||||||||
момент равен нулю, и поэтому поле Н 0, входящее в приведенные выше в этом параграфе формулы (вообще говоря, оно должно было бы являться внутренним постоянным полом), совпадает с внешним полем. Для других основных состояний необходимо было бы учитывать в Н 0 постоянное размаг ничивающее поле, вследствпе чего частоты спиновых волн стали бы зависеть
от |
формы |
образца. Очевидно, что эта |
поправка, как и другие |
связанные |
с |
учетом |
магнитного взаимодействия |
в антиферромагиетнках, |
невелика, |
кр оме случая очень больших внешних полей, сравнимых с НЕ. |
|
|||
394 |
СПИНОВЫЕ в о л н ы |
[ГЛ . 8 |
Антиферромагнетпк в поле, перпендикулярном оси. Рассмот рим теперь аптиферромагнетик с легкой осью анизотропии в случае, когда постоянное поле приложено перпендикулярно оси. Основное состояние для этого случая и частоты однородных коле баний (без учета магнитного взаимодействия) были получены в § 4.2. Вычисляя спектр спиновых волн, будем также пренебре гать магнитным взаимодействием. Тогда, как ясно из предыдуще го примера, частоты спиновых волн совпадут с полюсами тензора
X, определенного для плоской волны с учетом неоднородного об менного взаимодействия. Однако вычислять компоненты этого тензора, т. е. решать уравнения движения с правой частью, нет необходимости. Частоты спиновых волн могут быть найдены из условия обращения в нуль определителя системы однородных уравнений движения, в которые войдут эффективные поля обмен ного взаимодействия (8.2.4).
С учетом обозначений (8.2.6) эффективные поля (8.2.4) запи шутся в виде
( 8. 2.22)
Добавим в однородные уравнения движения (4.1.25) (без дис сипации) члены YMI ,M X h , !, 2 и спроектируем эти уравнения на оси координат с учетом (4.2.44). Складывая и вычитая соответ ствующие уравнения полученной системы, мы (так же, как и для однородного резонанса) придем к двум независимым систе мам для проекций векторов m = mx -f- ш2 и 1 = nij — m2. При равнивая нулю определители этих систем, можно найти частоты соответствующих ветвей спектра спиновых волн. Учитывая, что
Н а <С Н е и Нк, Нк <С Н е х), и пренебрегая, как и раньше, |
разли |
|
чием дц и gj_ в (8.2.12), получим |
|
|
( |
~ 2 Н е (Н а + D Ä ») + Я 0\ |
(8.2.23) |
|
|
(8.2.24) |
где величина D по-прежнему определяется согласно (8.2.13). Заметим, что условие Н 0<С Не при этом не использовано, т. е. выражения (8.2.23) и (8.2.24) справедливы, так же как и выраже ния (4.2.13) и (4.2.14), при любых значениях постоянного поля
!) Первое условие (IIА НЕ), как уже неоднократно отмечалось, хорошо
выполняется для большинства антпферромагнетиков. Второе условие также хорошо выполняется при длинах спиновых волн, много больших, чем постоянная решетки, что является условием применимости рассматриваемой континуальной теории.
§ 8.2] |
В О Л Н Ы В |
АНТИФЕРРОМ АГНЕТИКАХ И Ф ЕРРИМ АГНЕТИКАХ 395 |
|
(О |
ІІп 2Не), |
при которых имеет место данное основное со |
|
стояние. |
|
|
|
Частоты сдиновых волн для опрокинутого основного состоя-» |
|||
ния |
(Нс |
И |
2 Не) при Н 0! z0 могут быть получены таким |
же способом, как и выражения (8.2.23) и (8.2.24). Приведем лишь окончательные формулы в том же приближении Н а , Я*, Нк<€:
<Я Е:
( ~ f = я ; - |
2Н ВН А + Dir |
, |
(8.2.25) |
if)'= Dlf № |
’- ■ § ; ) ■ |
|
(8-2-26) |
При k -+■ 0 они переходят (с учетом того, что На |
Не) в выра |
||
жения (4.2.11) для частот однородного резонанса в опрокинутом основном состоянии.
Слабый ферромагнетик с легкой плоскостью анизотропии. Ос
тановимся |
теперь |
на случае |
отрицательной |
анизотропии |
( Н а <С 0), |
когда |
равновесные |
намагниченности |
подрешеток |
в отсутствие внешнего поля (а также при поле, перпендикуляр ном оси) лежат в базисной — перпендикулярной оси плоскости. Такой антиферромагнетик был подробно рассмотрен в § 4.3. Он
интересен |
тем, что для него возможен слабый ферромагнетизм, |
и тем, что |
одна из ветвей спектра однородных колебаний в нем |
является «бесщелевой». Как указывалось в § 4.3, неколлинеар ность векторов намагниченностей подрешеток, приводящая к сла бому ферромагнетизму, может быть связана с двумя типами инва риантов в выражении для энергии кристалла: (4.3.13) и (4.3.14).
Мы рассмотрим спектр |
спиновых волн для инварианта |
(4.3.13), |
который возможен в |
кристаллах всех одноосных |
сингоний |
(табл. 4.3.1). |
|
|
Для вычисления спектра спиновых волн с учетом магнитного взаимодействия используем тот же метод, который был применен
выше. Найдем прежде всего тензор восприимчивости % с учетом пространственной дисперсии, обусловленной неоднородным об-
менным взаимодействием. Тензор х без учета этого взаимодей ствия вычислялся в § 4.3. Уравнения движения свелись тогда к
двум независимым системам: |
(4.3.27) |
для переменных т х, Іу, |
тг и системе для переменных |
lx.; ту, L |
(которая не была приве |
дена в § 4.3). Теперь мы должны добавить в эти уравнения про екции членов о X hg 1>2, где эффективные поля неоднородного обменного взаимодействия hg lt2по-прежнему имеют вид (8.2.22).
Для сокращения выкладок ограничимся сразу приближением
Н а , Нк, Нк, Ни |
Н е и , в |
отличие |
от предыдущего примера, |
|
Но |
Н е - Тогда |
уравнения |
движения |
(без учета диссипации) |