Материал: Интегральное исчисление функции одной переменной. Дурова В.Н., Зайцева М.И

1

A

B

C

D

E

F

.

t 5 t

1 t 5

t 4

t 3

t 2

t

t 1

Найдем неизвестные коэффициенты:

1 A t 1 Bt t 1 Ct 2 t 1 Dt 3 t 1 Et 4 t 1 Ft 5 .

t

5

F

E

0

A

1

4

t

D

E

0

B

1

t3

C

D

0

C

1

t2

B

C

0

D

1

t

1

A

B

0

E

1

A

1

t0

F

1

1

1

1

1

1

1

1

.

t 5 t

1 t 5

t 4

t 3

t 2

t t

1

J

dt

dt

dt

dt

dt

dt

10

t5

t4

t3

t2

t

t 1

1

1

1

1

ln

t

ln

t

1

10

c

4t4

3t3 2t2

t

5

10

5

10

10ln

t

10ln

t 1

c.

2t4

3t3

t2

t

5

10

5

10

J

10ln

10 x

5

10

5

10

x

2

x

3

x

x

2

3

10ln

10

x

1

c.

2. Интегрирование выражений вида

R

x; m

ax

b

; n

ax

b

;...

d

cx

d

cx

ax

b

t N ,

cx

d

где N – наименьшее общее кратное чисел m, n,…

Находим х: ax b cxt N

dt N ; x

t N d

b

t

a ct N

Здесь х = φ(t) – рациональная функция

от t, поэтому

t – тоже рациональная функция. Значит

и dx

t dt

N N

ax

b

ax

b

tNd

R x; m

; n

;... dx

R

,t m ,t m ,... t dt

cx

d

cx

d

a

ctN

Здесь

N

,

N

,...

целые

числа.

Поэтому получили

m

n

dx

4tdt

;

t2

1

1

1

1

1

1

t

2 2

1 t 2 1 t 2

1 t 2

1 t 2

2 2 1 t 2

1

1

.

2 1

t 2

1

dt

1

dt

t

1

J

4

ln

2arctgt

c

2

1

t 2

2 1

t 2

t

1

1

x

1

ln

1

x

2arctg

1

x

c.

1

x

1

x

1

1

x

3. Интегрирование выражений вида R

x,

ax2

bx

c

Интеграл

J

R

x,

ax2

bx

c dx

преобразуем

к

ax2 bx c a x 2

2

b

x

b2

b2

c

2a

4a 2

4a 2

a

b

2

4ac

b2

b

2

4ac b2

a x

a x

D; D

2a

4a 2

2a

4a

1. D

0

a

0 ,

то

J

R

z, z 2

α 2

dz, где 2

D

1

2

2. D

0

a

0 ,

то J

R

z,

z 2

a 2

dz, где

D

1

2

3. D

0

a

0 ,

то

J

R

z,

α 2

z 2

dz, где

D

1

Полученные интегралы рационализируются, например,

с помощью тригонометрических подстановок:

1.

adt

z

atgt; dz

;

z 2 a 2

a 2 (tg

2t

1)

.

cos2 t

cost

J

a

R1

atgt,

a

dt